,*» aA (aA — i). ■ .(A- 4- i) xT i .a. . A a

Jsin-'x ,/x = [S“jgL±l)£ (,*+,) --°S(//£~|,)J 4- • ■

^ (aAH^A^)^,!

On peut aussi simplifier certaines différentielles en décomposant sinmx et cosm.r en produits.

On a trouvé (I. 404)

sinfaA- 4- t)x=C' sinx ^sln’x — sin’ — ^^sin’jr— *ln! ) " ’ (

sin’x — sin’

C' étant une constante aisée à calculer. On a en effet

sinfaA 4- 3)x =• a sln(aA 4- i)x cosax — sinfaA — i)x

= a sinfaA 4- t)x(i — asin’x) — sln(aA — i)x.

et par conséquent, si dans le développement de sin ( ajt -f- i ) ar le coefficient de sin’**' x est C\ dans celui de sin f -+- 3) x il sera — 4C - et comme pour k = i , on a

sin 3.r = 3 sin x — 4 sin’x,

il en résulte, quel que soit k.

par conséquent

sinfiA 4- i)x = { — i ‘a’* sinx (sin’x — sin! — (sin’x — sin’ •

X (sin’x — sin’ t

et comme on a

sin(aA' + i)*=a’1sinx on a aussi

sin’x — sin’a = cos’ a — cos’x,

(cOS’X — COS’ (COS’X — COS’ "(cOS’X — COS'jj^-j-^»

sin iti

7,i • sin x eosx (cos'x — cos’ J (cos’x — cos’ ~j j • • • X (cos’x — cos’ --~^y — - j •

11 suffit, pour le démontrer, de remarquer qu’en vertu de la formule précédente et de l'identité

sinaé' x = asin{ 7 k — i)x cosx 4- sin (ait — a)x.

S'il est démontré que sin (ai — 2 J a* est exprimable par une fonction de la forme sinxF(cosx,, F étant une fonction entière de degré 2 k — .3, sinaX'x sera exprimable par sinx F, < cosx . F, étant une fonction entière de degré ik — 1 . On peut donc écrire

sinaXx = sinx F, (cosx).

et comme les racines de l'équation

sin a A- x

sinx

sont

COSX = dz cos ^ »

COSX = =fc COS — J »

cosx = zt cos -, — t

cosx = o.

on aura