LIVRE PREMIER. - INTÉGRALES DÉFINIES ET INDÉFINIES. Ri

93. l.'intégralion par parties permet de réduire successivement les différentielles de la formp xm sin -vdx, .r'" cas J’ dx, xm aT d. r, on a

Ç r” sin .r d.t — — x" ru SX m jxm ' cos x dx,

I x" cosx dx x- sin x — m j xr% ' sin X d.r,

, xmaT m P .

• dx — - — — |i* '«■rfr.

ht lu .

Lorsque m est entier, l’application répétée de ces formules ramène les intégrales cherchées à l’une des suivantes :

jsinxdx — cosr. | cosx dx sinx, jii’dx—.y -

On trouvera par exemple :

Ç xsinxdx sinx — x ros.r,

j r’ sinx dx - ? .r sin.r — (x’ — ? I ros.r,

j x’ sinxf/x =: (3x: — 6) sinx — (x’ — tixjcosx,

j x‘ sinx dx — (4x3 — î^x) sinx — (x‘— nx‘+ *4) cosx,

et ainsi de suite;

f x rosx dx ~ cosx 4- x sinx,

J x1 cos xdx~ axeosx 4- (x’ — a) sinx, j x’cosxi/x = (3x’— 6) cosx 4- (x1— 6x) sinx,

I x‘ cosx dx — (4x*— x^x) cosx + (x‘ — lax'-t- ï4)sinx> et ainsi de suite.

94. Parmi les formules analogues aux précédentes, nous citerons celle qui permet d'abaisser l’exposant n dans l’intégrale

On a

Ç xdx

J sin"x

d nx cosx 4- sinx n’x sin’x — n (n 4- i )x

dx