La différentielle

tir

, a 4- b eosx ' •

peut s'intégrer par des réductions successives.

Posons en effet

i* rfx Asini /' B - Crus. r ,

J {u 4 tcusx,* — (a 4- b eaux," ' ' J | a + b eosx )• ’

A, lî, C élant trois constantes, que nous déterminerons de manière à rendre les deux membres identiques. En dilïérentianl les deux membres de l'équation, et

identifiant les résultats, on trouve

i — A cosx [a 4- A cosx) 4- (n — i) AA sin’x + ;B + C cosx) (a 4- A cosx);

en remplaçant sin’x par i — cos’x, et remarquant que l'équation doit avoir lieu quel que soit cosx, on en déduit

(n — i;Ai 4- Ba = i,

Aa4 B b 4- Ca ss o,

cl par conséquent

et la formule de réduction est

dx __ i b sinx

-h b co$x)“ ai — i a1 —1>‘ ( a -t- b C08*J*"'

i /'(« — *)<* — (« ~ *) b cosx

a -h b cusx 'f '

dx.

On a d'ailleurs

( n — i )a — (ai — n)b cosx — ( ai — a )

jfl+ï cosx)” '

et la formule devient

[a -h iTcosxjr ** ' (û + icosjfjr-'*

( * Aï — 3 ) Al

J (fl ■+- b cosx)'

h sinx n — a i’ ih

(« — i J (a' — A‘j (a 4- b cosx)''" +(n — i)(a* — b3)J (a 4- Acosx)“-‘ ( a n — 3 ) a Ç i/x («— i)( a‘ — b'; J ya 4- bcosx > '*

et par l'application répétée de cette formule, quel que soit l'exposant entier n, on le ramènera à l'unité.

On trouve ainsi

Asin.i n r i/x

{b1 — a (n 4 6 cosx) n—b’Ja + bcosx

i [' i b’ — n:tAsinx 3«Asinx in -t h /* ilx

(A- — a Vf a ,<14- Acosx;1 a [a -ë A cosx) ] a (A*- a’)’ J a 4- A cosx’

et ainsi de suite.