Considérons, pour premier exemple, l'intégrale

égale, comme on sait, au logarithme Népérien de x, et cherchons, s’il est possible, de l’exprimer algébriquement. Comme ou a ici

l'intégrale u, si elle est exprimable algébriquement, doit être, d’après le théorème précédent, une fonction rationnelle de x, et l’on doit avoir par conséquent, dans cette hypothèse.

i*=sf4

Hx)

f(x) et F(xy désignant des fonctions entières de x : une telle identité est évidemment impossible. Si l’on y suppose en effet x infini, on voit que les deux membres

ne peuvent pas être des infinis de même ordre, la fonction devenant infinie

avec x, est, en effet, au moins comparable à x, et Ix est infiniment plus petit.

110. La démonstration précédente suppose que l'expression de Ix soit applicable à toutes les valeurs de x. On peut se demander s’il est possible qu’elle soit exacte entre certaines limites seulement, mais une telle supposition n’est pas admissible. Si l'équation

F(jc)

était exacte en

effet pour les valeurs de x comprises entre deux limites données, les