LIVRE PREMIER. - INTÉGRALES DÉFINIES ET INDÉFINIES
dérivées des deux membres seraient égaies, et l’on aurait, entre les mêmes limites,
, , i o'(:r)F(x) — F'(x)ç(jr)
ï“" Ff7ÿ
Cette équation algébrique, ayant lieu pour un nombre infini de valeurs de x, est nécessairement identique. Les deux membres de (8) ont donc même dérivée, quelle que soit x, et différent par conséquent par une constante, qui, évidemment, est ici égale à zéro.
fil. Soit, en second lieu, l’intégrale
X désignant une fonction rationnelle de x. On a, dans ce cas,
et si l’intégrale est algébrique, on aura (107)
(ia) r,/x 7X = P. + P, 7X + P, . . . + P— , (?x r ’,
P0, P,,..., P„, étant des fonctions rationnelles de x.
On peut prouver que toutes ces fonctions sont nécessairement nulles à l’exception de P,.
L’équation (i a) donne en effet, par la différentiation, en y remplaçant yX par y.
«fp,
dx +
. rfP~
dx
dr
Tx
et comme on déduit de (n)
dr dx
dx ni >•— ‘
l’équation (i3) fournit une relation rationnelle entre x et /, qui, d’après un théorème bien connu d’algèbre, doit admettre, quand on y considère y comme inconnue, toutes les racines de l’équation (i i). On a donc le droit d’y remplacer/ par vet, a étant l’une quelconque des racines m“m" de l’unité, et l’on aura par conséquent, en intégrant les deux membres après les avoir multipliés par dx,
a fydx = P, 4- P, a/4- P, a’/’ 4 . . .4- P»., a*-'/**-';
multipliant par a*"-' et faisant la somme des équations analogues relatives aux
m valeurs de a, en remarquant que, pour toute valeur de p inférieure à m, on a
M-3** + ay + ...+ &m—t ~~~ o,
nous aurous ■
et, par conséquent, tous les termes du second membre de (ta) sont nuis, à l'exreption du second P, y.
112. M. Liouville, qui a obtenu le résultat précédent, a prouvé en outre que l’intégrale supposée possible sous la forme trouvée, peut être ramenée a ne contenir pour inconnue qu’un polynôme entier.
Reprenons l’équation
( «6 ) J^Xdx = V,^\,
oit X et P, représentent des fonctions rationnelles de x.
Posons
M et N étant des polynômes entiers, on a
Ou pourra poser de même
yT ’
0 étant une fonction rationnelle de x. Soit donc
r \\éx __ j J "T “7T’
M et T étant deux polynômes entiers donnés, et 5 une fonction rationnelle* inconnue.
On trouve parla différentiation, après avoir chassé les dénominateurs,
