LIVRE PREMIER. - INTÉGRALES DÉFINIES ET INDÉFINIES. 9B

seules solutions ralionnelles sont entières. Supposons en effet

L’ et V étant des polynômes entiers. Nous ferons voir que V ne contient pas x, eu démontrant qu'il ne peut être divisible par aucun l'acleur linéaire de la forme (x -+- a). Posons en effet, s'il est possible.

W étant, bien entendu, un polynôme non divisible par x + a: nous aurons

dO «U Wli' — UW'

<ix ~ WiÆ + rt)’-*' W>(* + «)*’

el l'équation (17) devient

(18) + = -t-(WU'-UW')T- l UW '4î.

[x -h ni ni dx

Celle équation prouve que le produit TUW doit être divisible par x 4- a, et comme ce binôme ne peut diviser ni U. qui est premier avec V, ni W, il est nécessaire qu’il divise T. Faisons donc

R étant premier avec x -i -a.

On aura

En substituant les valeurs de T et de et divisant par (x-4-n)'\ l’équalion (18) devient

W’MR (* + «)“=— R(WU'- UW') —

i:w ,/it

m ( ix

UWR

égalité absurde, car elle exige que L’WR soit divisible par x -h a. qui, d’après nos suppositions, ne divise ni U, ni W, ni R.

Il est donc enfin prouvé que l'intégrale

f M dx

J ~ff'

où M et T sont des polynômes entiers, si elle est exprimable algébriquement, est

nécessairement de la forme

6 étant un polynôme entier.

Le degré du polynôme 0 doit être, lorsqu'il existe bien entendu, inférieur d'une unité à celui de M. On doit avoir, en effet,

dO </T

M dx i îtx .

et si dans cette équation on fait croître x indéfiniment, on voit que les deux

* rfT

membres ne peuvent être de même ordre que si ^ et 0 tous deux évidemment de degré inférieur d’une unité '» celui de 0. sont de même degré que M.

D'après cette remarque! la méthode des coefficients indéterminés permettra de trouver l'intégrale, si elle est algébrique, ou de prouver qu'elle est impossible sous cette forme.