LIVRE PREMIER. - INTEGRALES DÉFINIES ET INDÉFINIES

Intégrales exprimables par les fonctions algébriques et logarithmiques.

1 14. Quelles que soient les fonctions algébriques désignées par t, u, *>,..., tv, la différentielle de

/ -t- A log « -t- B loge . . . -I- C Iog o',

où A, B C représentent des constantes, est évidemment algébrique.

L’équation

(4 ) = / -t- A logu + B loge + . . . 4- C log u',

où /, /, u sont des fonctions algébriques, est possible, par conséquent, dans

un nombre infini de cas.

Abel a prouvé que, lorsqu'elle a lien, /, u, sont toujours exprimables

rationnellement en fonction de x et v, et par conséquent ( 107) en fonction entière de y.

Quelles que soient les fonctions t, u,...,w, on peut toujours trouver une fonction algébrique X telle, qu’elles puissent toutes s’exprimer en fonction de x, de y et de X.

/, u, v w sont en effet chacune racine d’une équation rationnelle qui la lie

h x, et l’on formera, par la multiplication de ces équations diverses, une équation nouvelle à laquelle toutes ces fonctions satisferont. Si l'on pose alors

c, c' c" étant des constantes, on pourra, par un théorème connu de Lagrange,

exprimer en fonction rationnelle de X et des coefficients de l’équation, toute fonction semblable des mêmes racines, et par conséquent toute soinme.formée comme X, en multipliant ces racines par des constantes inégales, et l’on obtiendra ainsi des

équations du premier degré en nombre suffisant pour calculer t, u, v «\

La fonction X sera racine elle-même d’une équation algébrique dont les coefficients seront des fonctions rationnelles de x. Supposons plus généralement qu’ils contiennent x et y. Soit V = o celle équation et fi son degré. Si l’on différentir l’équation

(0 JJ'ér = t -+- A log» 4- B loge -l- . . .4- C logic

après avoir réuni tous ses termes dans le premier membre, on obtiendra une équation