C logie

quelle que soit la valeur de X, pourvu qu’elle satisfasse à l'équation irréductible V = o, qui lui sert de définition.

Soient /, !.. u,, t v,, v*,..., u», «v les valeurs

des fonctions t, u, c,..., tu qui correspondent aux diverses valeurs de X. L'équation

I ytlx = t 4- Alogu 4- B loge 4-.. .4- C logiv

donnera, pour le premier membre, qui reste toujours le même, u. expressions de même forme, et l’on aura, en les ajoutant,

fi iydx = t, + t,+...+ tp+k logn, u,. . -t- B loge, «•,. . .ty -4-, . -t- C logiv, te,. . .<ty.

Mais, par la théorie des Ibuclions symétriques,

U, «. .. H», e, v,... ty,

IC, IV, . . . «y

peuvent s'exprimer rationnellement en fonction de x et dey, et par conséquent si J ydx peut s’exprimer par une somme de la forme (i), les diverses fonctions qui y figurent peuvent être remplacées par des fonctions rationnelles de x et dey.

1 15. .M. Liou ville est allé plus loin encore, en prouvant que y étant une fonction algébrique de x, si l'intégrale Jj'dx est exprimable explicitement sous forme finie à l'aide de signes algébriques exponentiels cl logarithmiques, il sera toujours