LIVRE PREMIER. - INTÉGRALES DÉFINIES ET INDÉFINIES, permis de supposer

I 4- A logn + B lopv . .4- C logo>.

A, B C étant des constantes et i, u, v,..., w des fonctions algébriques de t.

Nous nous bornerons à rapporter la démonstration relative au cas où l’intégrale est supposée exprimable par une fonction appartenant à la classe de celles que que-M. Liouville nomm e fonctions transcendantes de première espece, cl dans laquelle les signes relatifs aux opérations transcendantes (logarithmes et exponentielles) ne portent que sur des fonctions algébriques.

Soit donc supposé

I yilx ~f(x, e',e'.

logie,...).

u, v, ... if,... désignant des fonctions algébriques de x, et le signe / une fonction algébrique des diverses quantités sur lesquelles il porte. Nulle relation algébrique ne peut évidemment exister entre x, e“, c1’,..., loger,..., car on pourrait sans cela considérer l’une d’elles comme fonction algébrique des autres et la supprimer, J y dx

étant exprimable alors en fonction algébrique d'un moindre nombre d’expressions simples.

D'après cette remarque, si l'on trouve une relation algébrique, telle que F(x, **, logie,. ..) = o,

elle ne pourra contenir e", e",... qu'en apparence, et devra être satisfaite indépendamment des valeurs de ces fonctions, c'est-à-dire quand bien même on les remplacerait soit par d'autres fonctions de x tout à fait arbitraires, soit par de simples lettres indéterminées.

Ce principe étant admis, on peut démontrer d’abord que l'expression de l'intégrale Cyrix ne peut contenir aucune exponentielle. Soit, en effet, e* = 0, une des

exponentielles que l'on suppose devoir y entrer; et, pour la mettre en évidence, écrivons simplement

(3) • Jydx = <f{x, 0),

la fonction ç(x, 5) pouvant contenir algébriquement des exponentielles antres que 5 et certains logarithmes qu'il est inutile de désigner explicitement. I.a différentiation de (3) donne

relation algébrique entre les transcendantes monômes que ç (x, 9) renferme, et dans laquelle on pourra, par conséquent, d’après ce qu’on a vu, écrire p.9 à la place de 5, fi étant une constante arbitraire. La nouvelle valeur de y qui résulte de ce changement doit cire égale à l’ancienne, et l’on a, par conséquent,

Çx(x, (iS)-t- o^#(x, uO)aOu' = ?x(x, 0) + ?',(*, 0) u'O,

et en multipliant les deux membres par d.r et en les intégrant,

(4) o(ar, u0) = o (x, 6) 4- C.

Pour chaque valeur numérique de pi, la constante C a une valeur déterminée, et lequation (4). qui est algébrique, doit avoir lieu, quel que soit 5 et indépendamment de sa liaison avec x; on a donc identiquement, en remplaçant C par sj» (fl).

9 ( x, fj.6 ) = ç ( x, 6 ) -+• ij) ( ,u ).

Dans cette équation, qui a lieu indépendamment de la relation qui lie x h 9, on peut considérer x comme une constante, ainsi que les autres transcendantes qui n’ont pas été explicitement mentionnées. Posons, pour mettre celte supposition en évidence,

on aura

Dans cette équation, 9 étant arbitraire, on peut le remplacer par l’unité, et l’on en déduira

et, par conséquent.

Il est aisé de déduire de cette équation la forme de la fonction F : en différentiant, en effet, par rapport à pi, puis par rapport à 9, on en déduit

6F'(j*0) = F'(fi), f*F'(,u0) = F'(fl),

et, par conséquent,

(*F'(fx)= 6F'(S|.

Le produit 5F' f 9) est donc une constante C indépendante de la variable 5, et F' (5 ) est égal a d’où l’on conclut