LIVRE PREMIER. — INTÉGRALES DÉFÎMES ET INDÉFINIES. iOI

et en remplaçant 0 parla valeur primitive e"

F(9) = Ck + C\

en sorte que l'exponentielle e* n'entre pas réellement dans la fonction F et la transcendante 0 n'entre pas réellement dans l’expression d cjydx.

116. L’intégrale explicite d'une fonction algébrique, lorsqu’elle est une fonction transcendante de première espèce, ne peut donc contenir que des logarithmes, et nous allons prouver qu'ils n'y peuvent figurer que sous forme linéaire.

Soit, en effet, 8 = lu un de ces logarithmes. Posons, pour le mettre en évidence,

(5j fydxz= <?{x, fl).

On en déduit

équation dont le second membre ne doit plus contenir 8 qu'en apparence, car elle serait sans cela une relation algébrique entre les diverses transcendantes (115) qui n’en peuvent avoir. Il est donc permis de remplacer 8 par fi + 8, /jl étant une constante arbitraire, et l'on aura

(7) ' ?',(*’ + 9)-*- Ÿ*(*. f» + 9)^ = ?»(*. fl)-F9'e(x, 8)^,

d’où l’on tire, en intégrant,

(8) 9(x, u + 8) =r ?(jr, 0) + const.

Cette relation étant algébrique, elle doit, pour chaque valeur de [x, avoir lieu identiquement; mais la constante peut changer avec (u. Posons C = (u), cl, comme dans le cas précédent, posons

en considérant x comme une constante, ce qui est permis, puisque la relation (8), étant algébrique, a lieu indépendamment de la relation qui lie x i» 0. On aura alors

et en faisant 8 = o par conséquent.

F(f.-t-fl)=F(9)-t-+((t), F(p) = F(o) -t-

F(u-Ffl) = F(ft)-FF{8)-F(o).

En diflèrentianl par rapport à ;x, puis par rapport à 5, on en déduit

F. a dérivée F'(0) est donc constante et F (6) de la forme