CO 4- C

C etC' étant indépendants de 5, niais pouvant renfermera; elles aul res transcendantes. Posons donc

ydx — 0 F, ( x ) 4- F, ( x ).

Si l’on remplace, comme il est permis, 0 par 0 4-fx, on devra avoir

fr dx — (9 4- f») F, (x) 4- F,(x ),

et cette équation n’est compatible avec la précédente que si F, (x) est une constante.

Il est donc prouvé enfin que la transcendante 0 = logu ne peut entrer dans la valeur frtùv que sous forme linéaire et avec un coefficient constant A, en sorte

que l’expression de celle intégrale, si elle est possible explicitement par une fonction transcendante de première espèce, est de la forme

fyd

’x = / 4- A logo 4 B loge 4- ... 4- C logie.

A, B,..., C étant des constantes, et t, u, v «'des fondions algébriques. Il reste ii

prouver, pour compléter la démonstration du théorème, que l’intégrale j’j'd. v d’une

fonction algébrique ne peut être exprimée par aucune fonction transcendante d'espèce supérieure à la première.

1 17. Nous indiquerons suffisamment la marche à suivre dans tous les cas en faisant voir que cette intégrale ne peut être une fonction transcendante de seconde espèce.

En supposant, ce qui est permis, que les transcendantes monômes de seconde espèce contenues dans Ç ydx aient été réduites au moindre nombre possible, en

sorte que nulle équation algébrique ne puisse les lier ensemble et avec des transcendantes d’un ordre inférieur, on prouvera absolument, comme (115 , que, u, désignant une transcendante de première espèce, l’intégrale ï ydx ne peut pas con-