LIVRE PREMIER. - INTEGRALES DÉFINIES ET INDÉFINIES

tenir dans ses expressions explicites e*', el que si lu, y figure, ce ne peut être que sous forme linéaire el multiplié par une constante.

Posons donc, s’il est possible.

{ cj ) j ydx = t, + A log«, -4- B logi', +... + C logos,

o', étant des fonctions transcendantes de première espèce, et A, B C

des constantes.

Or nous allons prouver que ces transcendantes prétendues ne peuvent contenir ni exponentielles ni logarithmes et sont par conséquent des fonctions algébriques. Soit en effet 8 = e“, u étant algébrique, et supposons que 9 ligure dans les expressions de t,, u iv, ; posons pour la mettre en évidence

et, par conséquent,

(io) l ydx —f(x, Q) + k logF (x, 6) + . . . 4- C logj'fx, 8);

on en déduit, par la différentiation,

y — fx[x, 0) +/»' (x, 0)0u‘ + A

Cette équation, qui ne contient plus de transcendante de seconde espèce, est nécessairement identique par rapport à 5. Elle permettrait en effet, sans cela, de considérer 9 comme une fonction algébrique des autres transcendantes de première espèce qui figurent dans (9), et d'en réduire par conséquent le nombre. Le second membre de (11) est donc égal à l’expression qu’on obtient en y remplaçant 0 par et si l’on intègre les deux membres de l'équation ainsi formée, on en déduira, en désignant le second membre de (10) par n (8),

jt( u6) = r{0 ) 4- consl.,

Inconstante étant une fonction de jx, égale évidemment à “'ji, — r(t).

On a donc enfin

et celle équation prouve, comme ( 115), que jr (5) est de la forme élogd, k étant indépendant de 8; mais, d'après la valeur e‘ de S, logS est algébrique, et l'exponentielle considérée ne ligure donc pas véritablement dans l'intégrale.

1 18. Considérons en second lieu un logarithme et posons

u étant algébrique.

Soit, s'il est possible.

log« — 0,

(ia) J ydx = f{x , 6) + A logF(x, 6)4- B log? (x, 6)4-... + Clog+(x, 6).

En différcnliant les deux membres, on obtiendra encore une relation algébrique entre 0 et les autres transcendantes, qui, pour la raison déjà plusieurs fois indiquée, devra être identique par rapport à Ô. On y pourra, par conséquent, remplacer S par [x -h 6, et en intégrant les équations obtenues en égalant les deux valeurs ainsi formées par^, on verra qu'en désignant parnfÔj le second membre de (ia), et traitant 5 comme une variable indépendante de x, on a

la constante variant avec la valeur de p, et devant être évidemment égale à n(p) — r(o). Or l’équation

*(« + 6) = ir(u)-t-R(6) — ~{o)

montre que it{0) est de la forme AS, A étant une constante; c’est-à-dire, d’après le point de vue où nous nous plaçons en représentant l’intégrale par n(8j une fonction de x indépendante de S, on aura

ÇydxBskO 4-/(x),

k et /(x) ne contenant pas S. Mais comme il est permis, d'après ce qui a été dit, de remplacer 5 par 0 ■+■ p, il faut nécessairement que A soit une constante, et enfin î ne peut figurer qu’au premier degré et multiplié par une constante, il ne se trouve donc sous aucun signe logarithmique, et sa présence dans l’intégrale ne rend pas la transcendante de seconde espèce.

1 19. Lorsque l'intégrale d’une différentielle algébrique die est exprimable explicitement à l’aide des fondions simples précédemment considérées, elle est nécessairement de la forme

j ydx I 4- A log« 4- Il loge 4- . • .4- Clog«\

A, 11,..., C étant des constantes, et /, u w des fonctions algébriques. Si l’on

suppose que les logarithmes qui tigurent dans le second membre aient été réduits