I.2.3.. . (n-hi)^ L

Si Ton pose X — a? = A, et que l'on remplace R par cette valeur dans l'équation (i), on a enfin

I«^ 1.2. ../l I.2.3.i*^fl ~t" ' )

Dans cette formule, n est arbitraire, si on lui attribue une valeur indéfiniment croissante, le second membre, abstraction faite du dernier terme, devient la série

trouvée par Taylor, qui est exacte, par conséquent, toutes les fois que le dernier terme

tend vers zéro lorsque n augmente.

Le reste renfermant dans son expression un nombre indéterminé 0, il sera quelquefois difficile de décider s'il tend ou non vers zéro. On peut remarquer toutefois

que le facteur , — - a toujours une limite nulle, car, en y changeant n en

n-h I, il se multiplie par — — » qui, quel que soit A, tend vers zéro. Quant à

l'autre facteur, ç»""*"* (a? -f- ô A), il est en général fort compliqué, et la présence du nombre indéterminé 0 en rend souvent Tétude difficile; nous y reviendrons dans plusieurs cas particuliers.

Seconde forme du reste.

274. L'expression que nous vçnons de trouver pour le reste est due à Lagrange ; on peut, en modifiant légèrement la démonstration, lui donner une forme différente et quelquefois préférable.

Si dans l'équation

(.) .(X) = ^(^)-f-(\--^)/(x)4-^-^^-^-^ on pose

P étant un nombre inconnu tel que l'équation devienne exacte, il est évident que la différence

l.Ji l.^.O... lit

est nulle quand on suppose 2 = a?, et aussi quand z == X ; la dérivée par rapport à z de cette expression, c'est-à-dire

f .2.3. . ./i ^ est donc nulle pour une valeur de z comprise entre X et x, c'est-à-dire pour

28i PREMIÈRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL.

0 étant un nombre convenablement choisi entre zéro et Tunité, et Ton a, par conséquent,

p^(X-.r( — ar ^^^

et, par suite,

(2) R==[^I^£):^(.ô)nç«..[^ + 0(X ar)];

en posant X — a? = A, l'équation (i) devient alors

Cette seconde forme du reste, donnée par Cauchy, est quelquefois plus avantageuse que la précédente.

Troisième forme du reste.

275. En suivant la même marche que dans les deux démonstrations précédentes, après avoir posé

posons

P étant un nombre inconnu. La fonction de Zy

évidemment nulle quand z = X, Test aussi quand jz = a?, et la dérivée de cette expression par rapport à z^ c'est-à-dire

est nulle, par conséquent, pour une valeur de z comprise entre x et X, c'est-à-dire pour

z = ar-|-ô (X — x)^

6 étant un nombre plus petit que l'unité. On en conclut

et par conséquent

Si Ton pose X -- ^ = A, la formule (i) devient

Cette troisième forme du reste a été trouvée par M. Schlomilch et par M. Roche.

Accroissement infiniment petit (V une fonction.

276. Lorsque, dans le développement de 9(0?-+- A), on suppose h infiniment petit, les termes successifs du développement deviennent des infiniment petits dont Tordre va en augmentant, et quel que soit celui auquel on s'arrête, l'erreur commise est un infiniment petit d'ordre supérieur au dernier des termes conservés. Cette proposition importante se déduit aisément de la considération de l'une quelconque des formes trouvées pour le reste. Si l'on pose, en effet,

^[x^h) = ^{x)^h^'[x)^-^i'{x)^..,-^ ^ 2.3".. n^'^"^)' l'erreur commise est (273)

c'est-à-dire un infiniment petit d'ordre /i -h i , lorsque h est infiniment petit du premier ordre, et la proposition ne peut être en défaut que dans le cas exceptionnel où l'on a 9""^* (a?) = oo . Si l'on représente h par dœ et (p [x) par y, la formule de Taylor peut s'écrire de la manière suivante :

elle est souvent employée sous cette forme, et l'on doit se rappeler que, dx étant infiniment petit, l'erreur commise lorsqu'on arrête le développement est un infiniment petit d'ordre supérieur à celui du dernier terme conservé.

Remarque sur la série de Taylor.

277. La formule de Taylor ainsi bornée au cas d'un accroissement infiniment petit de la variable équivaut à une série de théorèmes^ tous dignes de remarque, et

28r, PREMIÈRE PARTIE. -CALCUL DIFFÉRENTIEL.

qui au fond n'expriment rien autre chose que la continuité de la fonction et de ses

dérivées :

i"" Quelle que soit la fonction 9 (a?), la différence y (a? -f- A) — 9(^7), où A est infiniment petit, peut être considérée comme proportionnelle à A et mise sous la forme ha/ {x), l'erreur commise étant infiniment petite par rapport à la différence même que l'on évalue.

2" L'excès de la différence (p (a?-h A) — qp (a?) sur la valeur approchée h^' [x) peut être considéré comme proportionnel a K- , et la différence

©(ic-i- A) — y (a:) — Aç' (;r) être mise sous la forme — 9" (a?), l'erreur commise

étant infiniment petite par rapport à la quantité même que l'on évalue.

3^ L'erreur commise dans cette nouvelle approximation peut être considérée comme proportionnelle à h?, et la différence

mise sous la forme ^9"' (a?), l'erreur commise étant infiniment petite par rapport à la quantité évaluée.

Ainsi de suite indéfiniment.

La fonction étant entièrement arbitraire, on peut évidemment la choisir de manière à mettre les théorèmes précédents en défaut pour une valeur désignée de x\ mais cela ne peut avoir lieu que pour des valeurs singulières de la variable, et dans ce cas l'une des dérivées devient infinie.

La démonstration directe des propositions précédentes est facile. Posons d'abord

(1) <p(;rH-/0 — (p(x) = Af (jr)-hF(jr, /*),

F (a;, A) étant (276), pour une valeur infiniment petite de A, infiniment petit par rapport à Ajp'(a:). Prenons les dérivées par rapport à A des deux membres de cette équation, nous aurons

dY[xJi)

Mais, en vertu du principe démontré pour une fonction quelconque (45), ç' (or+A) — 9' [x] peut être réduit à A9" {x\ quand on néglige une partie infiniment petite de sa valeur.

Si donc on construit la droite dont l'ordonnée est hn/' [pc]^ h étant l'abscisse, la fonction F {x, h) est l'aire comprise entre l'axe des X et une courbe dont l'ordonnée diffère de celle de cette droite d'une portion infiniment petite de sa valeur,

et par conséquent, F [x^ h) est égal à — tf" {x)y en négligeant une portion infini-

ment petite de sa valeur. Si l'on pose

on trouve, en prenant les dérivées par rapport à h.

et par suite il résulte du théorème général précédemment démontré, appliqué à

la fonction 9' [x), que — 'J^' se réduit à - ^''[x)y quand on néglige une partie

infiniment petite de sa valeur, et l'on en conclura de même que la fonction F^ {x, h),

qui est nulle pour A = o, diffère de 5 <p"'(^)» d'une portion infiniment petite

de sa valeur.

Le mode de raisonnement peut se continuer indéfiniment, et montre que les termes de la série de Taylor forment une série d'approximations d'ordre de plus en plus élevé vers la valeur de 9 (a? 4- A), l'erreur commise après l'addition de chacun d'eux étant infiniment petit par rapport au terme lui-même.

Formule de Maclaurin,