Si dans la formule
^^ / TV / TV / i^^T i.2...n^ I 2.3... (w-hi) ^
on suppose 07 = 0, puis que l'on remplace la lettre h par la lettre a?, on aura
et la série indéfinie ordonnée suivant les puissances de x, que l'on obtient en faisant croître n indéfiniment, a pour limite <p(^), toutes les fois que le reste tend vers zéro.
Cette série est désignée sous le nom de série de Maclduririy quoiqu'elle ne soit qu'un cas particulier de celle de Taylor, et que Maclaurin, en la faisant connaître dans son Traité des Fluxions, ajoute immédiatement : This theorem was given hy Taylor,
279. Il est aisé devoir que le seul développement possible d'une fonction en série ordonnée suivant les puissances de la variable est celui qui résulte du théorème de
Maclaurin. Soit, en effet,
un développement qui, comme on sait (258), est convergent pour les valeurs de x inférieures à une certaine limite, et dont on obtient les dérivées successives en prenant celles (267) de ses différents termes. D'après cela, si Ton forme <f'[oc), (p"(a7),...,<p"(ir), et que Ton y suppose ensuite a? = o, on aura évidemment
A=<p(o), A, = <p'(o), ik-,= ^"[o]y ?..3.A3 = ç"'(o),..., i.2.3...nA„ = <p''(o), et les coefficients sont, par conséquent, ceux de la série de Maclaurin.
Quelques développements en série,
280. Le théorème de Taylor est applicable à toutes les fonctions, et le nombre des séries que Ton en peut déduire est illimité. Nous nous bornerons à l'appliquer ici a la démonstration des développements les plus célèbres et les plus souvent employés.
Développement de a'. — La formule
donne
Quelle que soit la valeur de Xy le reste
a:''-^'(Ia)"-^' fjj,
tend vers zéro lorsque n augmente. On peut, en effet, l'écrire de la manière suivante :
Il est clair qu'à partir de celui d'un certain rang, tous les facteurs de ce produit sont aussi petits que Ton veut; leur produit converge, par conséquent, vers zéro, et l'on a pour toute valeur de x
a- =z \ -^ x\a ^ — {\aY -^ . . ,-\ % (Ir/j^-h
Si Ton suppose a = «, la formule devient
En bornant le développement à son premier terme, on a
a*= i-f-a;laa^'.
Si l'on pose a= -> a: = -•» on déduit de là, pour le logarithme d'un nombre \-, une expression qui sera utilisée plus tard.
281. Développement rf« 1 (i + a;). — La formule de Maclaurin donne immédiatement
Si l'on suppose x plus grand que l'unité en valeur absolue, la série à laquelle le second membre se réduit quand n est infini, n'est pas conyergente, car le rapport d'un terme au précédent a pour limite j?, et cette limite étant plus grande que l'unité, les termes vont en croissant. C'est donc seulement pour des valeurs de x comprises entre — i et H- i qu'il faut chercher si le reste tend vers zéro. Si X est positif et moindre que l'unité, le reste
tend évidemment vers zéro. Car on peut l'écrire
et la fraction étant moindre que x^ sa puissance nf^^^ tend vers zéro, et il
en est, à fortiori, de même du produit de cette puissance par -• On a donc, pour les valeurs de x comprises entre o et i ,
cette série étant applicable au cas extrême où l'on a a; = i , car dans ce cas le reste I. 3,
tend vers zéro, à cause du facteur -•. qui est multiplié par une quantité évidemment moindre que l'unité.
Si X est négatif et qu'on le représente par — x\ on ne voit pas immédiatement quelle est, pour des valeurs croissantes de n, la limite du reste
et l'emploi de la seconde forme du reste est ici très-utile.
Cette seconde forme donne (274) dans le cas actuel, pour l'expression du reste de la série.
Or, la fraction __ , est moindre que l'unité et en diffère, quel que soit 6, d'une
quantité finie. Sa puissance {n — i/^'"* tend donc vers zéro, et, par conséquent, le reste a aussi pour limite zéro, en sorte que la série de Taylor est dans ce cas convergente et représente 1 (i — a?').
On a donc enfin
pour toutes les valeurs de x comprises entre — i et -t- i . Nous avons fait remarquer que cette formule est applicable au cas extrême où l'on a x= -h i; elle l'est également au cas où l'on a a? = — i , car alors le premier membre est égal à — X) , et le second se change en une série divergente,
282. La série qui représente I (1 h- a?) peut évidemment s'écrire de la manière suivante :
En réduisant, en effet, les termes semblables dont le nombre est au plus égal à deux, on vérifie l'identité de cette formule avec la précédente. Si Ton suppose cependant X = ïy la formule (1) n'est plus exacte, car elle donnerait I2 = o. Cette anomalie tient à ce que pour la valeur x = 1 \e développement de 1 (n-x) n'est pas convergent indépendamment des signes de ses termes, et que l'on n'a pas, dans ce cas, le droit d'intervertir l'ordre des termes positifs et négatifs.
283. Déi^eloppement de (i-f-o?)'". — En appliquant la formule générale, on trouve
, , mim — i), m [m — i)...(m — w-l-^i)..
Pour que la série indéfinie
mim — 1 1 . . . ( m — /i -h- 1 ) , , v«. » I .2.3. . . n
mim — i) , mim — i)...(m — /1-+-2)
soit convergente, il faut que x ne surpasse pas l'unité en valeur absolue; le rapport d'un terme au précédent est, en effet,
Xy
et il a pour limite — Xy lorsque n augmente indéfiniment. Il ne peut donc y avoir convergence que pour les valeurs de x comprises entre — i et -h i , et c'est dans ce cas seulement qu'il y a lieu d'examiner si le reste tend vers zéro. Ce reste
mim — i){m — 2). ..(m — /iH-i) , , ,
— ^^ ^- r-^ ^ — -^ X^il^^X V"-"
1 .2.3. . .n ' tend vers zéro si x est positif; on peut, en effet, l'écrire (2) rm(m-i)...(m-n + ,) 1 V ; 1
Or le second facteur est moindre que l'unité, et le premier tend vers zéro ; car si n augmente d'une unité, il se multiplie par
Xy
qui diffère peu de —a? lorsque n est grand, n augmentant indéfiniment, le produit placé dans la première parenthèse de l'expression (a) se multipliera successivement par un nombre aussi considérable qu'on le voudra de facteurs peu différents de —0?, et dont le produit tend évidemment vers zéro. On a donc, pour des valeurs positives de x inférieures à l'unité,
... . . m(m — i) , /n(m — i). . .(m — /i-hi) .
Si X est négatif, le raisonnement précédent n'est plus applicable, et il faut
recourir à la seconde forme du reste, qui est, dans le cas actuel,
/n(m — i)...(/w — n-hi) , ., , ^ ,
Le facteur
tend vers zéro, d'après ce qui a été dit; l'autre facteur
devient, en remplaçant a?, qui est négatif, par — x\
Or la fraction , est moindre que l'unité, de même que la différence i — 6a;';
cette expression est donc moindre que l'unité, et son produit par l'autre facteur, qui tend vers zéro, a nécessairement pour limite zéro. On a donc enfin, pour toutes les valeurs de x comprises entre — i et -f- 1,
On déduira sans peine du développement précédent celui de {x 4- A)*", car on a
et pourvu que x soit plus grand que A,
284. La série que nous venons d'obtenir est trop célèbre et trop fréquemment employée pour que nous laissions de côté le cas où l'on a a: = ±: i , et auquel les raisonnements précédents ne sont pas applicables.
La série (i 4- a?)'" devient dans le cas de a; = i ,
■ , , /n.(m— 1) mAm — i)(m — 2) m.(ni — i) — (m — /i-f-i)
1 i-hmH ^ ^H i ^-\ -'-h. ..H /^ „ -^-f-...,
et, dans le cas de a? = — i ,
, , mJm — i) m(m — i)(m — 2) ^,m.(m — i),,,(m — w-hi)
2 1 — m-\ ^^ ^ i ^^5 ^ -h. . .±: — ■ '^ zp . . . .
Cherchons d'abord si les termes de ces séries tendent vers zéro ; car c'est là une condition indispensable de convergence. Le rapport d'un terme au précédent est, en valeur absolue,
Si m est compris entre — i et — oo , chaque terme surpasse donc le précédent en valeur absolue, et la convergence est impossible. Dans le cas extrême où m = — r , tous les termes des séries (i) et (a) ont même valeur absolue, et il ne peut pas non plus y avoir convergence.
Considérons donc le cas où m est compris entre — i et -h oo .
Le rapport ~ étant négatif, la série (i) a ses termes alternativement positifs
et négatifs, et puisqu'ils vont en diminuant, il y a convergence.
La règle de Gauss (242), appliquée à la série (a), montre qu'elle est convergente lorsque m est positif et divergente dans le cas contraire.
En résumé: la série qui donne (i -hi)'", c'est-à-dire
i-h/nH 1 r i-f-. . . ,
est divergente lorsque m est compris entre — i et — oo , et dans ce cas les termes ne tendent pas vers zéro. Lorsque m est compris entre — 1 et + qo , les termes tendent vers zéro et sont alternativement positifs et négatifs, la série est convergente.
Dans le cas où m = — I, tous les termes sont égaux en valeur absolue, et l'on ne peut pas dire qu'il y ait convergence.
Si l'on suppose x = — i , la série devient
elle est convergente pour les valeurs positives de m et divergente pour les valeurs négatives. Il résulte d'ailleurs de ce qui a été dit (265) que la série représente dans le premier cas ( i — i)'", et lorsque m est négatif, cette expression devenant infinie, la série divergente peut être considérée comme donnant aussi un résultat acceptable.
