L'équation
a toutes ses racines réelles et comprises entre o et i . C'est Ik un théorème important, dont la démonstration résulte de l'expression précédente de X„. On sait en efiet que lorsqu'une équation a toutes ses racines réelles, sa dérivée les a également réelles et toutes comprises entre la plus grande et la plus petite racine de la proposée. Or l'équation
a évidemment 2» racines réelle*s, savoir n égales a — 1, et n égales à -4- 1; les dérivées successives ont donc toutes leurs racines réelles et comprises entre — i et -4- r, et comme X„ est, à un facteur près, l'une de ces dérivées, le théorème se trouve démontré.
357. Nous donnerons enfin une équation différentielle du second ordre, à laquelle satisfait la fonction X„, et qui, sans la caractériser complètement, a été souvent utilisée dans l'étude de ses propriétés.
UVRE SEœND. - DÉVELOPPEMENTS EN SÉBIE. 357
Pour obtenir cette équation, posons
on en conclut
du
dx~
du
- axz-^z^y
{i — ^xz-^-z^y {i—nxz-^-z'y
de là résulte
du
rftt 2 2*
dz~ i'
(l-2XZ-h2')'
et par conséquent,
c'est-à-dire
,, d^u du d^u du
dx dx dz dz
Si dans cette équation on remplace u par sa valeur,
u=i H-X,2-hX,2»-i-...-i-X«z«-h..., en égalant à zéro le coefficient de z"^ on aura
, rfX,
^- h/i(«-hi)X, = o,
c'est-à-dire
rf*X„ rfX„ , , .XV
^- ~^^■rfï^""'''^l^"^'*^'''^'^■^•^''• 358. Nous ferons connaître, pour terminer cette digression, une relation simple
qui lie trois fonctions consécutives X„, X;,+|, X„|, et qui a été plusieurs fois
utilisée dans l'étude de ces fonctions.
On a par définition
(i) {i--2xz-hz'f' =i-+-X.z 4-X,2'-h...-f-X„2--h...,
3o8 PREMIÈRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL,
on en déduit, en différentiant par rapport à z,
(2) ^^— ? 3 =X.-f-2X,2-|-...-^/lX„3"-'-^...,
(l 2XZ-\-Z^)^
et par conséquent, en multipliant les deux membres par i — 2xz -^ z^,
{jC — Z){i —7.XZ-hZ'f^ =(l — 2JCZ-|-^')(X,-h2X,Z-f-. . . -h /l X, Z'-' "h . . . )•
Si dans le premier membre de cette équation on remplace (i — ^œz-hz^)"^ par son développement, et que Ton égale les coefficients de z" dans les deux membres, on trouve
(3) (/i-hi)X„+, — (ara-h i)^X,-i-nX,-, =o.
En différentiant Téquation (i) par rapport à x, on trouve, après avoir supprimé le facteur z,
(l — HXZ-h -8')
Cette valeur de (1—2072-1-2') ' substituée dans Téquation (2) donne, si l'on égale les coefficients de z""* dans les deux membres,
f - . rfX„ dXn-i ^ V .
mais l'équation (4) peut s'écrire
En remplaçant le premier membre par son développement, et égalant les coefficients de z" dans les deux membres, on en déduit
H la comparaison des formules (5) et (6) donne
-rfï 3--(2.l^l)X..
On en conclut, en changeant/! en n — 2, n— 4,..., et ajoutant les équations ainsi
obtenues
^^=(2/i-hi)X, + (2/i-3)X„-,4-(2/i-7)X..-f-...;
le dernier terme étant 3Xj si n est impair, et SXj si n est pair.
EXERCICES-
1 . Dans le développement de ( i -h x)*i en série ordonnée suivant les puissances de x, les coefficients des divers termes sont des fractions rationnelles qui, réduites à leur plus simple expression, n'admettent pour facteurs premiers de leurs dénominateurs que des diviseurs de q.
2. Dans le développement de (i — x^)lt tous les coefficients sont entiers.
