n L 2(2Ai — i) 2.4.(2/1 l)(2/l 3) J

Si l'on fait successivement n = o, n= i, n= 2,..., on aura les valeurs suivantes :

As — — M X " ■■ . 2 JT* ■^^ / JT •

355. Le théorème de Lagrange nous a conduits (315) à une expression de .la fonction X^ dans laquelle on peut facilement transformer celle que nous venons d'obtenir.

Remarquons d'abord que Ton a, quel que soit le nombre entier n,

il suffit, pour le démontrer, de remarquer que le changement de n et n-h i, introduit, toutes réductions faites, les mêmes facteurs dans les deux membres, et que l'égalité se vérifie aisément pour les premières valeurs de n.

D'après cela, le terme général de l'expression de X« (354) est égal à

a"( 1.2.3... /i) 2.4. . . ini[2.n — i)(2n — 3). .. (2/1 — 2m-h«)

que Ton peut écrire, en supprimant les facteurs communs,

c'est-à -dire

. I ft(n— i) ... (/i — m -+- I ) rf* . :r*"-**

2"(i.2.3.../i) 1.2.3... m rfjr"

et X;, est la n"""' dérivée de

c'est-à dire que l'on a enfin

1 rf"(a'— i)"

2" . 1 . 2 . 3 . . . /t dx""

ce qui est l'expression déjà obtenue (315) et donnée pour la première fois par 0. Rodrigues.