L'équation

étant, par définition, une conséquence de

on a

et, par conséquent,

du d\z t

dz dz 3'

résultat facile à vérifier directement d'après la valeur de U.

372. Définitionde z^'pourunevaleurquelconquede m. -^SiVonhxi z = œ-hy^'- r, on a, d'après ce qui précède,

( I ) z = eP-*'^^^

pet q ayant les valeurs trouvées au paragraphe (370). L'expression z'^ est Jonc équivalente h

Pour élever Texponentielle à la puissance m, nous admettrons, comme définition, qu'il faut multiplier l'exposant par m et nous poserons, en conséquence,

q contenant dans son expression un multiple arbitraire de 27r, qui, sans influer sur la valeur de l'expression (i), change, au contraire, après la multiplication de q par m, la valeur de l'exponentielle (3) ; z*" n'est donc pas une fonction bien déterminée de z.

Si l'exposant m est réel et égal à -> A et ^ étant entiers, on aura

1 f^"f^ -fl hq /— . AgX

et si, dans cette expression, on remplace, comme cela est permis, q par q -h -ikn, elle prendra un nombre de valeurs distinctes précisément égal au dénominateur g. Si l'exposant m est imaginaire et égal à r(cosw -f- V— ' sinoû), on aura, en posant

P'\-q^—i = p(cos<p-|-v^— isiny),

2m=3 ^tp[c08(ç,H- a>) + V^sin (ç>H-«)] ^ ^rpCOS(ç,-^60 [COS rp Sin{<p-h«)] -4- V^

cette expression fournissant d'ailleurs pour z'" une infinité de valeurs distinctes,

puisque l'angle ç qui y figure dépend de l'expression p -^ qyj—if dans laquelle il est permis d'ajouter à ^ un multiple quelconque de 2n.

Sur les fonctions qui sont mal déterminées.

373. Parmi les fonctions que nous venons de définir, il faut distinguer avec soin e^, sinz, cosz, tangz, et z'" lorsque m est entier, qui sont des fonctions bien déterminées. Chacune d'elles, pour une valeur réelle ou imaginaire de z, est définie sans ambiguïté. Les fonctions Iz, z*", lorsque m n'est pas entier, admettent, au contraire, pour chaque valeur de z, plusieurs valeurs distinctes également conformes à leur définition. Il est important cependant, dans un grand nombre de cas, de pouvoir préciser celle dont on veut s'occuper, et nous allons donner sur ce point quelques développements.

Lorsque l'on considère des valeurs isolées de œ et de y, la définition laissant, par hypothèse, la fonction indéterminée, on peut adopter indifféremment l'une quelconque des expressions qu'elle fournit; mais, ce premier choix une fois fait, si l'on fait varier iT et jà partir des valeurs primitivement considérées, les valeurs successives de la fonction supposée continue sont en général déterminées, et toute ambiguïté disparait.

Soit, par exemple, 9 {a?-4-yv/— 1) unç fonction dont la définition, quelle qu'elle soit d'ailleurs, laisse subsister, pour des valeurs données de x et de y, une certaine indétermination, permettant de choisir entre des valeurs distinctes; dans certains cas, lorsque par exemple ç (a^-h jy^— i) = 1 (^ H-J v^— » ), le nombre de ces valeurs est infini.

Attribuons à a? et à y des valeurs initiales a;© , 7© » pour lesquelles nous choisirons arbitrairement, parmi les valeurs conformes à la définition, celles que nous voulons adopter pour représenter (p(a?o-h/o V— O* Faisons ensuite variera? et 7 d'une manière continue et suivant une loi telle que le point don t ^ et 7 sont les coordonnées, décrive sur le plan une courbe arbitraire commençant au point dont les coordonnées sonta?o,7oî ïsi condition de varier infiniment peu lorsque la variable change ellemême infiniment peu, dissipera toute ambiguïté, et l'on devra adopter, en chaque point, pour la fonction, la valeur, en général unique, qui, satisfaisant à la définition, diffère infiniment peu de celle qui correspond au point infiniment voisin qui précède. Une seule exception correspond au cas où, pour l'un des points considérés, deux valeurs de la fonction deviendraient exceptionnellement égales entre elles; si la loi de continuité conduit à adopter ces valeurs, en continuant à suivre la courbe qui représente la loi de variation de x et de j, on se trouvera, pour un point infiniment voisin de celui dont il est question, en présence de deux valeurs infiniment peu différentes l'une de l'autre qui, satisfaisant l'une et l'autre a la loi de continuité adoptée comme critérium, pourront être acceptées toutes deux;, ces valeurs se sépareront ensuite et acquerront une différence finie, en sorte que l'ambiguïté reparaîtra pour tous les points situés au delà de ce point critique oii elle a pris naissance.

La définition de la fonction yx-hyyj— 1, lui assigne deux valeurs égales et de signes contraires, qui deviennent égales pour ^ = o, j = o; c'est donc, pour cette fonction, par l'origine des coordonnées qu'on devra s'abstenir de faire passer la courbe qui représente la série des valeurs de x et de 7.

Pour la fonction liî-^x-hysj —-i), le point critique correspond aux valeurs/ =0, 07 = — I, pour lesquelles toutes les valeurs du logarithme deviennent infinies.

374. Il ne faut pas Croire que, pour définir avec précision l'une des valeurs d'une fonction (f{x -I-7V— " 0> il soit nécessaire de spécifier la courbe qui réunit le point correspondant aux valeurs choisies de a; et de j au point arbitraire pour lequel le choix a été fait d'abord. On conçoit, en effet, que les valeurs possibles de la fonction ne formant pas une série continue, le changement dans la forme delà courbe étant supposé se faire graduellement et par un mouvement continu, la fonction doit nécessairement rester invariable jusqu'au moment où se produit un changement brusque qui lui fait acquérir une valeur nouvelle, et recevoir tout à coup un accroissement

Mi PREMIÈRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL.

iini. S'il s'agît, par exemple, de la fonction 1 {x-^yy/ — i ) , pour des valeurs données de X et de y, on sait que, si elle change, elle ne peut s'accroître que d'un multiple de in\l— I . Or nous allons montrer que ces changements brusques ne sont possibles que quand la courbe, en se déformant, franchit Tun de3 points qui correspondent aux valeurs égales, infinies, ou indéterminées de la fonction.

Considérons en effet un point initial A ayant pour coordonnées o^o « /o « et soit un point B dont les coordonnées sont ^i,/i ; supposons qu'un point mobile M parte de A et se rende en B en suivant une certaine courbe; si l'on se donne en A la valeur de la fonction 9(^0-+-/© V— 0» ^^ condition que nous lui imposons d'être continue, déterminera celle qu'il faudra adopter en B pour la fonction (f{x^ -f-j^ yj— 1 ) lorsque a? et j auront été pris successivement égaux aux coordonnées variables du point mobile M. Supposons ensuite que l'on passe du point A au point B en suivant une courbe infiniment peu différente et telle, qu'trucun des points dont nous avons

parlé ne soit compris entre elle et la précédente; en adoptant pour y (o^o-l-joV^—O ^^ même valeur que dans le cas précédent, on trouvera la même valeur aussi pour ?(^i -^y% V— 1). Concevons en effet que deux points mobiles M et M' parcourant nos deux courbes, partent en même temps de A, pour arriver en même temps en B, et suivant une loi telle, que leur distance soit constamment infiniment petite. Lorsque le point M parcourt la première courbe, les valeurs que prend successivement la fonction sont déterminées par l'obligation de former une suite continue; mais, pour chaque point considéré isolément, la définition de la fonction permettrait de choisir entre diverses valeurs toujours inégales par hypothèse. Soit A un nombre moindre que le plus petit module de la différence entre deux valeurs possibles de la fonction en un point quelconque de cette courbe; il est clair que pour deux points infiniment voisins dont l'un est situé sur la courbe, le module de la différence entre deux valeurs de 9 compatibles avec la définition de la fonction, sera aussi supérieur à À, s'il n'est pas infiniment petit. Au point initial dont les coordonnées sont ^0» JKo> la valeur de la fonction a été choisie, et lorsque les deux courbes sont parcourues simultanément par des mobiles partant de ce point, la différence initiale entre les valeurs de la fonction est nulle et a zéro pour module. Ce module étant assujetti, comme nous l'avons dit, à la condition d'être toujours infiniment petit ou supérieur à A, ne peut, à aucun instant, cesser d'être infiniment petit, car il devrait, pour cela, changer brusquement de valeur pour devenir supérieur à A. Lorsque les deux points arriveront ensemble en B, les valeurs correspondantes de 9 différeront donc infiniment peu, et cela ne peut être sans qu'elles soient rigoureusement égales, car au point B toutes les valeurs possibles de la fonction sont par hypothèse distinctes et leurs différences ont des modules finis.

Si les deux courbes comprenaient, entre elle^, un des points pour lesquels deux va-

leurs de ç deviennent égales entre elles» la quantité désignée par A serait infiniment petite, et le raisonnement précédent serait en défaut. La valeur de la fonction «p relative au point B peut donc varier pour une même valeur initiale correspondant au point Â, lorsque la courbe qui unit ces deux points et par laquelle on représente les valeurs intermédiaires de la variable, se déforme infiniment peu en franchissant un des points pour lesquels deux valeurs de la fonction <p deviennent égales entre elles.

375. Pour éclairer ce qui précède par un exemple, considérons la fonction

qui peut avoir, pour chaque point, deux valeurs égales et de signes contraires. Donnons-nous, pour a? = i , j = o.

Cette hypothèse détermine la fonction pour des valeurs quelconques de a? et de y supposées reliées aux valeurs initiales a? = i , j = o, par une série continue de valeurs intermédiaires parmi lesquelles ne figurent pas 07 = 0, j = o, pour lesquelles les deux valeurs de la fonction sont nulles toutes deux et par conséquent égales. Si Ton considère un point mobile partant du point A, dont les, coordonnées sont a? = i,j=ro, et revenant au même point après avoir décrit une courbe continue, et que Ton attribue a a? et à y les valeurs correspondantes aux coordonnées des points de cette courbe, en revenant aux valeurs primitives Xq /o» ^^ fonction reprendra sa valeur initiale si la courbe ne contient pas dans son intérieur l'origine des coordonnées; on pourra en effet, dans ce cas, en- conservant les deux mêmes extrémités réunies en A, la réduire à zéro par une déformation continue, sans qu'elle ait à franchir ce point critique, et par conséquent sans altération de la valeur finale de 9. Il en sera autrement si l'origine est située dans l'intérieur de la courbe. Supposons par exemple que, partant du point dont les coordonnées sont ^=">^==o, on se déplace sur le cercle du rayon unité décrit de l'origine comme centre, et soit 9 l'angle décrit sur ce cercle à partir du point initial, dans le sens de la rotation qu'il faudrait imprimer à l'axe des X positifs pour le coucher sur celui des Y positifs, on aura

x-\-x^^\ = cosip -h v^— I sincp, v/^-hjv'—i =±(cos?--hv/^sm-j'

Lorsque 9 est nul, nous adoptons par convention la valeur -h i et par conséquent le signe + en dehors de la parenthèse. La continuité exige dès lors que l'on prenne toujours le signe -h, cardia parenthèse n'étant jamais nulle, le changement du signe -h en signe — entraînerait un changement brusque dans la valeur de la

fonction. Lors donc qu'après avoir fait le tour de cercle on aura 9 = :2 rr, on aura

Vcos2ir-h^-hi sin2ir = vT=-|-(cosir-|- v^— I sinir) = — I. Ainsi donc, quoiqu'on soit revenu au point de départ, la fonction n'a pas repris

sa valeur primitive qui était -4- i. La fonction z^ est donc essentiellement ambiguë. Lorsque» par un choix arbitraire, on écarte Tune des valeurs correspondant à une valeur donnée de z, on la voit reparaître comme conséquence de la continuité.