FONCTIONS D'UNE VARIABLE IMAGINAIRE
Définition d'une fonction imaginaire.
359. Lorsqu'une foDction ^(z) est donnée pour toutes les valeurs réelles de la variable z dont elle dépend» elle n'acquiert pour cela aucun sens lorsqu'on y remplace z par une expression imaginaire x -hyyj — i : l'expression, y (jj-h/v'— i), ne peut donc s'introduire dans les calculs ou dans les raisonnements, sans une définition précise qui, pour toutes les valeurs réelles de x et dey^ en fasse connaître la partie réelle et la partie imaginaire, en permettant d'écrire
P'et Q étant deux fonctions réelles connues de x et de y.
Il ne faut pas croire cependant que les deux fonctions P et Q puissent être choisies arbitrairement; toute expression de la forme
P-+-Qv^-i,
où P et Q sont des fonctions de x et de y, n'est pas une fonction de x-i-y^—i; pour la considérer comme telle, on exige une condition sans laquelle disparaitrait toute analogie entre les fonctions imaginaires et les fonctions réelles; pour que la somme P-hQv'— i soit considérée comme une fonction de x -hyy/— i » il ne suffit pas que cette expression soit déterminée lorsqu'on se donne x et y, il faut encore qu'elle ait une dérivée déterminée et que le rapport de son accroissement infiniment petit, à l'accroissement correspondant dx-h dy^ — i de la variable, soit indépendant du rapport arbitraire -^« Si l'on voulait s'affranchir de cette condition, la théorie des fonctions imaginaires serait simplement celle des fonctions de deux variables et leur étude spéciale n'offrirait aucun intérêt.
360. Lorsqu'on attribue à a? et à j les accroissements infiniment petits dx et dy, l'accroissement de P -+- Q V — i est
(ix
Pour que le rapport de cet accroissement à dx-^-dj^J—i soit indépendant de ^* on
doit avoir
rfP , rfQ
dx dx v^ — I
et Ton voit, après avoir chassé le dénominateur, que cette équation équivaut à deux autres
rfP rfQ rfP rfQ
dx dy dy dx
Ces deux équations sont nécessaires et suffisantes, d'après notre définition, pour que P-t-QV— I soit une fonction de ojh-jv/— » i ; lorsqu'elles sont satisfaites, on a
rf.fP-4-Ov^^r7j rfP — rfo rfO / rfP
d[x-^ysl—\) dx dx dy ^ dy
on en conclut que <p (z) désignant une fonction quelconque de la variable imaginaire z égale à ^H-/\/"~ i> ^t ?'(2) étant la dérivée de f («)» on a
Ces équations pourraient être écrites à priori comme conséquences de la règle de difTérentiation des fonctions de fonctions, s'il était permis d'invoquer cette règle avant d'avoir constaté l'existence d'une dérivée déterminée et indépendante du rapport des accroissements infiniment petits attribués à a? et à j.
361. Les équations du paragraphe précédent qui lient l'une à l'autre les fonctions P et Q, permettent d'éliminer l'une d'elles et fournissent une équation importante k laquelle l'autre, considérée isolément, doit satisfaire. En ajoutant ces équations après avoir différentié la première par rapport à a; et la seconde par rapport à y^ on trouve en effet
rf»P rf'P
dx^ ^ dy^ ~ ""'
et en les retranchant après avoir différentié la première par rapport à j et la seconde par rapport à a;, on a
rf»Q rf^Q dx' "^ dy' ""°'
Ces conditions imposées aux fonctions P et Q expliquent comment une fonction ima-
ginaire possède, ainsi que nous le verrons, un grand nombre de propriétés trèsprécises et indépendantes de sa définition; il ne faut pas en effet, on le comprend dès à présent, attacher à une fonction imaginaire quelconque» l'idée d'une indétermination aussi complète que celle d'une fonction réelle quelconque. Pour chaque valeur de la variable, une fonction réelle peut être choisie arbitrairement, et les seules restrictions auxquelles sont soumises ses variations sont celles qui résultent
de la loi de continuité; la partie réelle et le coefficient de \/ — i dans une fonction imaginaire sont assujettis au contraire à des conditions très-précises exprimées par les équations que nous venons d'obtenir et d'après lesquelles chacune d'elles représente l'ordonnée d'une surface qui, loin d'être arbitraire, appartient à une classe toute particulière dont on conçoit fort bien que l'on puisse étudier les propriétés sans avoir besoin de rien préciser davantage.
362. Il sera utile d'exprimer les conditions nécessaires pour que la somme
P-hQv^=7,
où P et Q désignent les fonctions des variables p et u, soit une fonction de
p(cosw -H v/ — 1 sinw).
Si l'on change peu p'\-dp, et w en w -f- rfw, l'accroissjement de P -i- Q V -— i ^t
dp ^ Cfw ^ \"P df^y ) '
l'accroissement correspondant de la variable est
^/pfcosw-h v^ — I sinw) -h pdtà ( — sin w -t- v — i oosw).
Pour que le rapport de ces deux accroissements soit indépendant de ^» il faut et
il suffit que l'on ait
rfP I dQ rfP , dQ
op a p a M a ta
cosM-f-v'' — isinw p( — sin wM- v' — i cosûi;
en multipliant par /9 \l — \ les deux termes du premier membre, les dénominateurs
deviennent égaux, et l'on a, en égalant les parties réelles des numérateurs, et les
coefficients de v^— i ,
rfP rfO ^ dp rfw '
dQ___dV dp dtù
Telles soDty d'après dos conventions, les conditions nécessaires et suffisantes pour que la somme P-i-Qv/— i soit une fonction de j9(coswh-v^— i sin w).
363. Les conditions précédentes sont les seules qui soient imposées aux fonctions imaginaires, et pourvu qu'elles soient remplies, la définition reste entièrement arbitraire. On conçoit cependant qu'une fonction imaginaire ne s'introduira avantageusement dans les calculs que lorsqu'elle sera réellement la généralisation de la fonction réelle de même nom, à laquelle elle se réduit quand on suppose j=o, et qu'elle partagera ses .propriétés caractéristiques. Cette analogie, regardée à priori comme une condition essentielle, est la base des définitions que nous allons donner de quelques-unes des fonctions les plus simples.
364. Les propriétés générales des fonctions réelles doivent aussi s'appliquer aux fonctions imaginaires; les définitions doivent être telles que cela ait lieu, et si cette condition impliquait contradiction, la théorie des fonctions imaginaires devrait être abandonnée comme inutile. C'est pour cela, par exemple, qu'une expression déterminée lorsque x -^ysl— i est donné, ne reçoit pas cependant le nom de fonction de a?-*-/ v^— i, si elle n'a pas, par rapport à cette variable, une dérivée déterminée. Rien ne s'opposerait certainement à ce qu'on lui accordât ce nom, mais cela aurait l'inconvénient d'éveiller par analogie des idées inexactes.
Parmi les théorèmes applicables également aux fonctions imaginaires et réelles, nous nous bornerons à citer le suivant : Deux fonctions imaginaires qui ont même dérivée, ont Une dilTérence constante. Soient
les deux fonctions considérées. D'après les résultats obtenus (360), les dérivées de u et de u^ étant égales, on a
rfp rfp,
dx- dx'
rfQ dQ, dx dx '
rfp rfp,
dy dy'
dQ rfQ.
dy dy '
et ces équations prouvent que les dérivées des différences P — P<, et Q — Q,, par rapport à x et par rapport a j, sont égales à zéro ; ces différences sont donc indépendantes de X et de/, et par conséquent constantes.
Définition de quelques Jonctions simples.
365. Définition de z"* lorsque m est entier. — On est conduit, dès les éléments, à remplacer dans la fonction jz*", la variable z par x-hy^—i; on a, en appliquant la
foi*inuIe du biDÔme qui» dans le cas de Texposant entier, résulte des règles delà
multiplication,
Il est aisé de voir que cette expression remplit la condition précédemment exprimée, et que la dérivée de z"*, par rapport à z, est mz'""*, précisément comme dans le cas où z est réel. La démonstration repose en effet (26) uniquement sur le développement de {z-hh)"*, qui s'applique sans modifications au cas où z et A sont imaginaires.
La même conclusion s'applique évidemment à une fonction entière quelconque de la variable z, et toute expression de la forme
(1) Az-H-A.z^-'-hAaa— » H-...-hA,«,-3-HA«,
où A,, Aa,..., A;;,, représentent des constantes réelles ou imaginaires, est une fonction de z qui a pour dérivée
mA^'—'-hfm — OA.-z*"-^-!-. . .+ Aa,-,.
Si le polynôme ( i ) est remplacé par une série indéfini^, on a vu (262) que, pour les valeurs de la variable qui rendent la série convergente, la série des dérivées est elle-même convergente et représente la dérivée de la série. Nous pouvons par conséquent étendre nos conclusions aux séries convergentes ordonnées suivant les puissances de la variable. C'est la une remarque très-importante et qui, lorsqu'une fonction réelle est développable en série convergente, permet, comme nous allons en donner des exemples, d'en étendre la définition au cas où la variable est imaginaire.
366. Définition de e*. — La fonction ^, lorsque z est réel, est représentée par la série toujours convergente
En remplaçant z para?-h/V— 1> ^^ forme l'expression
que nous prendrons comme définition de c'W~« . Il est facile de sommer cette série et d'en trouver la partie réelle et la partie imaginaire. En développant en effet les
puissances de {o(^ -h y \f--^) qui figurent dans les différents termes de la série, et réunissant dans ces divers développements les coefficients de « , on trouve
La partie réelle est
XP
et la partie imaginaire, ^
xPsf^ l r^ , r* \ xP /-— .
.■.■3...pi^-i:3+....3.4-5— •)==... .3. ..p^-'^'"^'
le terme en af est donc
-j-^^ ( cos/ 4- sl^^i sin j) ,
et la série (i) se réduit à
(cos jM- v^^sinj) (n-^H h- . -H 0 h. . . 1 =6?* (cos/-h v^ — 1 sinj);
on a donc enfin,
(2) e'-*-^*^ = e' (cosj-h v^ — I sinj). '
On peut remarquer que dans la démonstration précédente les termes .de la série considérée ont été intervertis, mais, leurs modules formant une série convergente, cela n*a aucun inconvénient.
367. La fonction ^ étant, d'après la définition même, représentée par une seule et même série pour les valeurs réelles ou imaginaires de z, une seule et même série représentera aussi les dérivées dans les deux cas, et il en résulte que l'équation
t ^ de' ^
s'applique aux valeurs imaginaires comme aux valeurs réelles de z. 11 est d'ailleurs bien facile de vérifier directement que l'expression
e*(cos jH- v^— I sinj)
satisfait aux conditions données (359) et qu'elle est égale a sa dérivée. On peut
aussi vérifier la formule
qui a lieu pour toutes les valeurs des exposants z et u. Le succès de cette vérification ne doit d'ailleurs causer aucune surprise, e' et e" étant en effet représentés par des séries telles, que l'équation (2) soit identique quand les variables sont réelles, il est tout simple que cette équation reste vraie quand on substitue à x des expressions imaginaires quelconques.
En supposant a? = o, on a
^^*^ = cosj H- v^— 1 siij j, et en changeant/ en —y,
e-7^-^=z cosy — v^ — i sin/'; on déduit de ces formules
cosjr =
sin >' =
368. Définitions de sin z et de cosz. — Les fonctions sinz et cos2 sont représentées, lorsque z est réel, par les séries toujours convergentes
smz = z-
En remplaçant z par x H-y V— i , on aura deux séries, toujours convergentes aussi, que nous adopterons comme définitions de sin {x 4- y\l— 1) et de cos {x -♦- yyj— i) . Il résulte immédiatement des définitions de e', sinz et cosz, que l'on a pour toutes les valeurs réelles ou imaginaires de z
^-1/3; __ pQg2 — ^ — , sin 2, et, par conséquent,
fOSZ = ,
sin z = ^ — = — .
Ces formules permettent de calculer, sans recourir aux séries, la partie réelle et la partie imaginaire d'un sinus ou d'un <;osinus quelconque. On a
ros \x-^x\l — I )= = cosar h y— isinr ?
sin(j:-+-jv — >)= ; = V — " coso? -'-f-sinj;
Si Ton suppose a? = o, ces formules deviennent
/ — er-^-e-y cos jr\ — I = î
/— - er-f — eT e^ — e~y ,
sinrv-"i = — r=^ = — - — V— 'î
on en conclut
cos(j::-I-j V^ — 0 = cosj^cosjv^ — i — sinj;sin/v^ — i,
sin {x-hx v^— I ) = sin JT cosj V — ' "H cos^ sin j v^ — i.
Ces deux formules sont d'ailleurs des cas particuliers des formules plus générales
eos( u-\-if) = cosM cosi' — sin« sinv,
sin(a + i') = sin M cos^-f- sinv cosm,
qui ont lieu pour des valeurs réelles ou imaginaires de u et de ^. On peut vérifier
aussi la formule
(5) sin^zH-cos' 2 = 1,
qui résulte des équations (i) et qui, combinée avec les équations (4). permet d'étendre au cas des variables imaginaires les formules principales de la trigonométrie.
La forme des séries qui représentent sinz et cosz montre enfin que l'on a pour les valeurs imaginaires comme pour les valeurs réelles de z
dsinz
— - — =cosz, dz
dcosz
— -j — = — sinz.
az
369. Définition de tangz. — La fonction tang z n'étant pas développable en série pour toute valeur réelle de z, ne peut pas, lorsque z est imaginaire, être définie par la série qui la représente. Nous poserons, comqie définition,
sinz
iang2 = >
° cosz
ett par conséquent,
nous poserons de même
I cosz e'*'~H-e-**^ / , / 2 \
Les formules
dxsingz
dz cos^z
dcoiz I
dz sin'z'
sont applicables k des valeurs quelconques de z, car la règle de difîérentiatîon des
fractions, appliquée à et à -; — » donne les mêmes résultats, et les réductions
^^ ^ cosz sm^
ultérieures sont les mêmes lorsque l'on suppose z réel ou imaginaire. 370. Définition de\ z. — Lorsque z eiu sont liés par l'équation
on dit que u est le logarithme népérien de z, et l'on écrit
Z étant une fonction de u^ u est une fonction de z. La condition pour qu'il en soit ainsi, est en effet, d'après notre définition, que le rapport ^ soit déterminé, et c'est
ce qui a lieu nécessairement, puisque j- l'est lui-même.
Si l'on suppose z =œ -^yyj— i , la partie réelle et la partie imaginaire de \z «e déduisent aisément de la définition précédente. Soit \z =p -^ Ç^^ > » on doit avoir
(3) x^jr^ — I =.e/'^*^=c.'(cos^-HV^^^sing),
et cette équation équivaut aux deux suivantes :
x=ePcosqf
jr=ePsmq, On en déduit
(5) <?v = x*-f.j», iang5 = ->
et, par conséquent,
(7) 7 = arclang^.
1 {x^ + y) est» bien entendu, le logarithme népérien ordinaire du nombre réel et
positifs* •+- y; arc tang — représente une infinité d'arcs. Soit a le plus petit d'entre
eux; il faut remarquer que, q étant défini par son sinus et par son cosinus, on peut ajouter à âc un multiple de 2 7r, mais non pas un multiple quelconque de rr, comme cela aurait lieu si l'on n'avait égard qu'à l'équation (7); on a donc enfin
a étant le plus petit des arcs dont la tangente est -^^ et A: un nombre entier arbitraire. L'équation
^îirV— » := cOS:2 7r -f- ^ — 1 sintîTr = I
montre d'ailleurs, à priori, que l'on peut ajouter à l'exposant de e un multiple quelconque de ^n^— i sans changer la valeur de l'exponentielle, et qu'il est permis, par conséquent aussi, d'ajouter a un logarithme, un multiple quelconque de
