^ i.n , ,. ~ P« = cosnOH ' ■ cos(n

H ; ~7 ^. COS n— 4 0 4-... .

UVRE SEœND. - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE. 391

la série qui figure dans le second nombre devant être prolongée jusqu'à ce que les termes deviennent égaux à zéro. Cette fonction P„ est ce que devient la fonction X„ définie (315), lorsqu'on y remplace x par cosô; tous les coefficients étant positifs dans le second membre de l'équation (2), on voit que l'hypothèse $ = o lui fera acquérir sa valeur maxima ; cette valeur est le coefficient de a" dans le développement de

Il est donc égal à l'unité, et puisqu'il est la valeur maxima de P„, la fonction X,, est toujours moindre que l'unité lorsqu'on y suppose x = cosô, c'est-à-dire quand on lui attribue une valeur quelconque comprise entre — 1 et H- i .

390. Supposons enfin une fonction j définie par l'équation (1) langj=cosa.langa:.

Cherchons le développement de y en série ordonnée suivant les puissances de tang-.

L'équation (i) équivaut à

: = COS a

OU bien

on en déduit

eW-iH-^->'V^ e^V^-^H-e-*^'

= COSa

oî

c ^ H- lang' -

p'irv— • = ■ : ■ \ — = f =

2'•-.^l cos«(e^'v/-'— i) lane»* e^'^^^-i '

lang* ou enfin

V^=ie^'V^-^l

i -h lang' - éf