On a trouvé

B,, B2, B3,... étant les nombres de BernouUi dont la valeurj^été donnée. Or on

cot^

En développant — ^1= — à l'aide de la formule ( 1 ) dans laquelle on change x en 2a7v^— 1, on a

cotjr =

I {^xsf^x 2 1.2 1.2.3.4 JJ

et en réduisant

col .3^ — — — — — ^— — — — — ^— — « ^ ^ ^ . j^'»-^' —

il est facile de vérifier la concordance des premiers coefficients avec les valeurs numériques trouvées (304).

388. Le développement de cota? permet d'en obtenir plusieurs autres; on a

tangj: = cotx — 2 cot2 x, ( et Ton en déduit

coseca: = lang h col^,

coséc^=- -^-2 2 — I ^-^--^ r7 ^2. ^ J^ !..

nous trouverons plus loin les conditions de convergence de ces diverses séries.

389. Reprenons la fonction (i — aaz h- a*)"i déjà considérée (315); remplaçons z par cosS, et cos9 par sa valeur

on aura, comme on le vérifie aisément,

(i— 25ccos0-ha»r^ =(i— «/^V^')"^' {i—ae-^'J-'rK

En appliquant la formule du binôme à chacun des deux facteurs du second membre, on a

Soit P„ le coefficient de a" dans le produit de ces deux séries, on a, comme on le voit aisément,