I . 2 . . Al — I
Pour calculer les termes de ce développement, formons l'expression générale de F^(/). Ona
Or, si l'on attribue à t des accroissements successifs égaux entre eux, a?-f-A/ et y-^-kt, considérés comme deux variables distinctes, croîtront aussi par degrés égaux, et la formule donnée (162) pour représenter la différentielle n''"^ d'une fonction de deux variables, sera applicable au calcul derf"F(/). Cette formule suppose, en effet, que deux variables quelconques, u et s>, reçoivent simultanément des accroissements constants et quelconques du et dv\ or, en supposant ici x-{-ht=Uf
v-f-A:/ = (', et prenant du = hdt^ dv = kdt, la diflerentielle d''<p{u, v) ne différera pas de la différentielle dPY[t) qui répond a raecroissement dt de la variable/ répété /? fois; on a donc (162) symboliquement
les produits de la forme
m ip^'-'
dPff
devant être remplacés après le développement par , kjp-i'
En divisant par dif^ les deux membres de Téquation (2) et ayant égard a ce que, par hypothèse, du = hdt, dv = kdty on en déduit
r^, dPV /rf«p, dff ,\P
la même convention étant faite, bien entendu, sur la signification des puissances des dérivées.
Lorsque dans les dérivées de la fonction <f[u^v) par rapport aux variables 2/ et V, on supposera /= o, elles ne différeront pas évidemment des dérivées correspondantes de (f [oc, y) par rapport a a; et à j; on a donc enfin
en entendant toujours qu'après le développement du second membre tout produit te» que 3^, ^d^it ét'*^ remplacé par^^j^,.
Le facteur Y'^[Qt) qui figure dans le dernier terme de l'équation (i), s'obtiendra aussi à l'aide de la formule (3). Après avoir formé l'expression
et effectué dans le résultat les substitutions qui doivent être faites, on devra remplacer dans chaque dérivée, M par a? -h 6 A^ et ^ par 7 -h 9 A/; on peut donc écrire symboliquement
X et j devant être remplacés, dans le résultat, par 074-6 A/, y-hôkt, qui deviendront x-\-Oh, y-hôk, lorsqu'on fera ; = i .
392. D'après les explications précédentes, on a, en faisant i = i dans la formule ( I ) du numéro précédent,
Bh
le dernier terme étant ce que devient le {n-\- i)'^'"'' terme' de la série, lorsque, après l'avoir régulièrement formé, on y remplace x par x -h 6 h et y par j -h Ok, 6 étant un nombre plus petit que l'unité.
Lorsque, pour des valeurs croissantes de /i, le dernier terme du second membre tend vers zéro, il est permis de remplacer 9(0? -f- A, y •+ k) par une série convergente indéfinie. On peut remarquer que cela aura toujours lieu si, lorsqu'on remplace x par x -hôh et y par j^ + ôk^ aucune des dérivées de la fonction ne peut devenir infinie. Si, en effet, toutes les dérivées qui figurent dans l'expression du terme complémentaire sont plus petites en valeur absolue qu'un nombre H, ce terme est évidemment moindre que
expression qui tend vers zéro lorsque n augmente indéfiniment.
393. Si, dans le développement que l'on vient de trouver, on remplace h par dx et k par dy, l'ensemble des termes de degré p par rapport di dx et ^^ dy représente rf'^y, et l'on a
ff{x-hdx, y-\-dr)=:^{x,x)-hdf-\'^d^f-h- -^rf'?-h...H —^ rf«ç -h . . . ,
on voit que l'expression de l'accroissement d'une fonction de deux variables ne diffère pas de celle qui a été trouvée pour l'accroissement d'une fonction d'une seule variable.
Si rficetrf^ sont infiniment petits du premier ordre, chaque terme de ce développement est infiniment petit par rapport au précédent, et l'erreur commise en s'arrêtant à un terme d'ordre n est infiniment petit d'ordre /i 4- 1 .
394. Si dans le développement de 9 (a? -+- A, j -f- A), on suppose x ety égaux tous deux à zéro, on obtiendra le développement d'une fonction quelconque de deux variables, 9 (A, k) en série ordonnée suivant les puissances des variables h et ky et leurs produits deux à deux. On aura, en remplaçant h et^, qui sont entièrement arbitraires, par a? et j,
Le terme complémentaire, lorsqu'on s'arrête après le n''"" terme, est ce que devient l'expression
^ ^•" -r-^ -H n^ Y -1 ^ + X r j TT— , 4- • . . -h >•" -7-^ 1
i.'?..3.. ni dx^ -^ dx^~'dy 1.2 *^ dx^-'dy^ ^ dy'' }
quand on y remplace dans les diverses dérivées qui y figurent, x par Ox, et y par Qy, 0 étant un nombre inconnu plus petit que l'unité.
395. L'artifice qui nous a donné les développements précédents, s'étend sans modification au cas où la fonction considérée contient trois ou un plus grand nombre de variables.
Soit (p{x,y, z) une fonction de trois variables x, y, z, auxquelles on attribue respectivement les accroissements A, k, /; pour développer 9(^1: + A, j -1- A:, z + /), on considérera d'abord la fonction f{x -\- ht, y -^ kt, z -\- II) que l'on développera en série ordonnée suivant les puissances de /, et l'on supposera ensuite ^ = i . On trouve ainsi, absolument comme dans le cas de deux variables,
' /i,</'» ,,d't „dU ,, d'o ,, d'if ,,d'<f\,
le terme général pouvant s'écrire symboliquement
