n \dx dy dz f
en entendant que, dans le développement de la puissance indiquée, tout produit de la forme
\djc) \dx) \dz) sera remplacé par
rf"y
dx^dy^dz^-p-^^ et le terme complémentaire étant le terme auquel on s'arrête dans le dévelop-^
pement indéfini, dans lequel x^ y, z sont remplacés par x -h $A, y -hûk^ z -h 61,
ô étant moindre que Tunité.
Si l'on pose A = ctr, k = dy^ l = dz, on aura, comme dans le cas de deux variables,
f{z-^dx,X'hdx,z-hdz) = <^{x,x,z)-hdf-h^d'<f-j-^d'f^,..-h ^^ 3. . ./g ^"y^' " '
Si dxf dy, dz, sont infiniment petits du premier ordre, chaque terme de ce développement est infiniment petit par rapport au précédent, et l'erreur commise en s'arrétant à un terme d'ordre n est infiniment petite d'ordre n -h 1 .
Expression symbolique du théorème de Taylor. 396. Le développement de la fonction
peut se représenter symboliquement sous la forme très-simple
en entendant que l'exponentielle e ^ '"^^ sera développée en série comme si l'exposant avait une valeur déterminée, et que, dans les différents termes qui résulteront de la multiplication par 9, un produit tel que
sera remplacé par
dxfdy^
Si Ton pose A = Aa? et A = ùky, et que Ay désigne Faccroissement correspondant de 9, on aura symboliquement
et l'on en conclura
Cette formule a été donnée par Laplace ; elle est entièrement analogue à celle de Lagrange qui a été donnée (343).
Extension de la formule de La grange aux fonctions de deux variables.
397. Soient m et v> deux fonctions des variables x et y, définies par les équations simultanées
Proposons-nous de développer une fonction donnée de m et de (^ en série ordonnée suivant les puissances de x et de j, et leurs produits deux à deux. Soit z = Y[uyv) la fonction donnée, on a (392)
et pour connaître la série qui représente 2, il faut calculer les valeurs que prennent les diverses dérivées dez par rapport aux variables a? et y, lorsqu'on y supposent: et y égaux a zéro. Pour cela nous ferons usage d'un artifice semblable à celui qui a été employé (311) dans le cas d'une fonction d'une seule variable, et qui consistera ici à exprimer les dérivées par rapport à a? et à j en fonction de dérivés par rapport aux variables a et ft, dans lesquelles les hypothèses œ = o,y = o pourront être introduites avant les opérations et reviendront simplement, comme le montrent les équations ( i ), à faire £/ = a et ^ = ft, en sorte que les différentiations s'effectueront ensuite sur des fonctions explicites. En différen liant les équations (i) par rapport à x, puis par rapport à a, on a
du , , /rfn> du . rfcp dv\
ih dx
fd-^ du d^ dv\
^ \du dx dv dx) '
du fd<fdu dffdv\
rfâ \du da dv ^/ '
dv fd"^ du d-^ dv\
da^^ \5m 5â dvdaj
et la forme de ces équations montre, sans qu'il soit nécessaire de les résoudre, que
l'on a entre les dérivées t-? j^> -j-' :t-' les relations
dx da dx da
du , .du dv , , dv
GoogI(
Si donc z désigne une fonction quelconque de u et de (^» on a
dz dz du dz dv
dx du dx dv dx''
dz dz du dz dv da ~~ du da di^ da
et, par conséquent,
/ox dz . .dz
On démontrera de même la relation ^
(H) , lJ-=^("''^dB-
Les équations (3) et (4 ) résolvent, pour les dérivées du premier ordre, le problème que nous avons énoncé; elles font connaître l'expression des dérivées par rapport à •r et à/ en fonction des dérivées par rapport à a et k i; si l'on y suppose x=o,y=o, elles donnent, en supposant z = f{u,v),
(dz\ , .,d¥{a,b} Pour calculer les dérivées d'ordre supérieur, nous ferons usage des relations
qui ont lieu quelle que soit la fonction/(M, s^). En effectuant, en effet, les différentiations indiquées dans la première de ces équations, elle devient
( dfdu dfduAdu ' , d'u ( df du dfdi'Xdu ^ , d'u
[dlidi'^ di^di) d^'^'^^'^' ""^ dn^- [dûdi'^ di'd^) di'^^^'''''^ dxda
ce qui, en supprimant les termes communs, se réduit à
dsf du du dv
dx da dx da
conséquence évidente des équations (a).
La seconde des équations ( 5) se vérifie de la même manière.
Nous pouvons maintenant transformer les dérivées de la forme y-^' j4/ On a
d'z d ( dz\ d [ . .dz'^ d^-d^\d^)^d^V^''^'^dRy
et par conséquent, d'après la formule (5),
d'z d V . .dz! d r , ^dz-X
On en déduit
d'z d dT , ,dz-\ d dV , .rfal rf» f , .rfzl rf' F , dz-\
et Ton trouvera, en suivant la même marche, on aura de même
Si dans ces formules on fait x = o, y=o, elles deviennent, en supposant toujours z=F(u, f),
Il reste à calculer les dérivées de la forme ( . ,^ ^ | • On a
rf'z d (dz\ d r , .dz'] df{u,v)dz , . d'z
d^=dp[d^rdp[''^"'''^d^\=-dr~d^^'^"'*'^d^-
dff{u, v)dz , . . . . d r .. . rfzl
. . d^z ,, .dff{u^v)dz , . d-^{Uyi')dz , ,,, , d^z
j-4- se trouve aiosi exprimé en fonction de dérivées prises par rapport à a et à 6,
et pour y supposer a?=o, j = o, il suffit de remplacer, avant les différentiations, u par a, et v par b.
d'* z Considérons actuellement la dérivée , . - On a trouvé
dpz *- r . . rfz"|
Il faut prendre q fois la dérivée de cette expression par rapport à y. Or si l'on
pose
Wi = «-f-.r[f(M,, \fx)]Pj
et z, = F(w,, v^ ), on aura, d'après ce qui précède,
dz, . . dz,
et comme, pour ir= o, m^ et v^ deviennent, quel que soit^» égaux à u et à f" et par suite :s, a z, on a
\dxp). dcfi-' Wàx)u\
l'indice zéro qui aflTecte les dérivées t-^î t— ^9 se rapportant à la variable x que
l'on suppose égale à zéro. Les variables x et 7 étant indépendantes, il est indiffèrent de faire l'hypothèse a; = o avant ou après la diflférentiation par rapport à 7, et pour
(d^z \ i ^ , A ; nous pouvons par conséquent différentier y fois l'expression (10)
par rapport à j, et faire ensuite 7 = o. On a donc
/ d-z \ rf/>-' d^ r/^^A 1
\dxPdy'i)%'~ daP-' dyi \\dx).\'
Les diflférentiations par rapport a a; et à y indiquées dans le second membre peuvent être interverties, pourvu que l'hypothèse a? = o ne soit introduite que dans
le résultat final. Pour calculer en effet ~, ., ' et y faire ensuite 07 = 0,^^ = 0, il est
permis, comme on vient de le remarquer, de différentier par rapport à jc et de faire a: = o avant d'effectuer les différentiations par rapport à 7. On a donc
/ d'z \ ^ dP'^ d^ /d9zA \dxPdyy. ^ rfo^-' dx\dyi)'
X et 7 devant être supposés nuls dans le second membre après les opérations effectuées.
En appliquant à la fonction 2, les résultats généraux obtenus pour la fonction 2,
Au lieu de différentier cette expression par rapport a a; et de faire dans le résultat a7 = o,j = o, il est évidemment permis d'y supposer j = o avant d*effectuer la diiférentiation ; mais si Ton pose
(12) (/,=ft-+-r^'(w•i,i'0^
«2 et ^2 se confondant avec m, et ^1 quand on suppose j = o, le produit
dz lorsqu'on y suppose 7= o, peut être remplacé par -^? et Ton a enfin
f d'*z \ rfp- d rfg-' (dzA rf^-^y-' / d^z, \ XdxPdy^jo'^ daP'' dx db^'-' \rfj / "~ daP-'dbi-" \dxdx) '
Za étant ce qui devient z lorsque m et ^ sont remplacés par les valeurs u^ et ^2 définies par les équations ( la!). Ces équations étant de même forme que la proposée,
. 1 se déduira de la formule (9), dans laquelle ^(a, i^) et^{u, v) seront respectivement remplacés par cp [u, vf^ ^ (m, v)*^.
Démonstration de Jacobi.
398. Le résultat précédent obtenu pour la première fois par Laplace a été démontré par Jacobi par des considérations analogues à celles qui ont été exposées (314).
La démonstration de Jacobi repose sur l'identification de deusr développements d'une même fonction. Cette identification, ainsi qu'on l'a déjà dit, n'est pas permise sans restriction et suppose des conditions à l'examen desquelles l'illustre auteur ne s'est pas appliqué. La démonstration que nous allons faire connaître laisse donc, malgré sa grande élégance, beaucoup à désirer du côté de la rigueur.
Jacobi remarque d'abord que /(a?, y) et f{x,y) étant deux fonctions de x et dey
développables suivant les puissances positives ou négatives des variables» l'expression
rf/ rf? df d (p
dx dy^ dy 3ï
qu'il a nommée (71) le déterminant du système des deux fonctions, ne contient jamais dans son développement de terme en — On a, en effet,
xy
did^did^^d( dn d(df\
dx dy dy^ dx dy \ dx) dx \ dy)
Le développement du premier terme du second membre ne contient pas (314) de terme en -i celui du second terme ne contient pas de terme en -; aucun des deux
ne-contient donc de terme en — ;» et il en est par conséquent de même de leur différence.
L'expression
, , dx dr dy dx
partage la même propriété, quels que soient les nombres /? et y, pourvu que l'un des deux au moins diffère de zéro.
Si l'on pose en effet
l'expression (2) est égale à
dfx dfft dfx rfy,
dx dy dy dx
et le théorème lui est évidemment applicable.
Lorsque y =: o, la démonstration doit être modifiée, mais la conclusion subsiste. On a en effet
/f'"^' \d^ dy ir dx) p dy\rf f / pdx\f ffPj '
àl dj .
Or-^ et-^ peuvent se développer en séries ordonnées suivant les puissances des variables.
UVRE SEœND. - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE. 405
Si Ton pose. en effet on en déduira
Le second terme étant de la forme 1. (iH- u) est développable en série ordonnée suivant les puissances de m, et par conséquent suivant celles de a? et de 7; le premier n'est pas développable, mais il a pour dérivée par rapport à x, -5 et par rap-
dl df port à j, -, en sorte que -V^ et -^•^^ c'est-à-dire -^5 -^? sont l'un et l'autre déve-
loppables en séries ordonnées suivant les puissances de x et àey. Il en est donc de df df
même des produits-^ -^^ -^ -Z-^ «t les dérivées de ces produits ne peuvent pas,
par conséquent, contenir de termes en —
Lorsque p est nul en même temps que q, la démonstration est de nouveau en défaut, et cette fois la conclusion cesse d'être exacte. Le développement de l'expression
d±df__d^^ dx dy dydx
contient en général un terme en — On a en effet
d±^d±dj^
dx dy dydx rfl.y d\,f d\.f^ d\,f
/çp dx dy dy dx
Soit
/(:r, j) = B, or^'-j"' -h B,^'"^j"«-|-. . . ;
on en déduit
Si l'on développe en série les seconds termes de chacun des seconds membres,
iOG PREMIÈRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL,
et qu'on prenne les dérivées par rapport à j? et par rapport à j, on déduit des équations précédentes :
dl'^{x,x) ^ t! ^ p rfL(p(j;,r)v. . ^
d\.f{x, X) ^ ^ ^ Il dx X *
aucun terme en - ne se trouvant dans les séries désignées par P et R» et aucun terme en - dans les séries Q et S. D'après ces formules, le développement de .l'expression (4) contient évidemment un terme en — qui a pour coefficient
xy
[t-xTix — V, m,.
On doit remarquer que, d'après le procédé même indiqué pour obtenir le développement, une même fonction peut donner lieu à des séries différentes, car /x,, v,, T/Zf, /i|, désignent ici les exposants de a? et de y dans les premiers termes des séries (5), c'est-à-dire évidemment dans deux termes quelconques que l'on aura choisis pour les écrire les premiers. Mais si l'on veut que les séries soient convergentes pour de très-petites valeurs de x et de y^ le choix devient forcé, et la condition est souvent même impossible à remplir. Si, lorsque x est infiniment petit, 9 (a?, y) peut être considéré comme proportionnel à a?, ti f[x,y) a j^, on devra
prendre jjl, = i, v, =o, m, =o, /ïi = i, et le coefficient de —sera l'unité: c'est
la supposition que nous ferons dans les raisonnements qui vont suivre; mais on voit ici combien le raisonnement de Jacobi laisse à désirer du côté de la rigueur.
