On a par exemple

et par conséquent

OU, en prenant les inverses de deux membres et retranchant l'unité,

Expression d'une Jonction sous forme de fraction continue.

426. La recherche d'une fraction continue indéfinie équivalente a une fonction donnée est un problème indéterminé, mais qui n'a plus qu'une seule solution lorsque l'on s'impose l'obligation de choisir les fractions intégrantes qui, pour de petites valeurs de la variable, donnent la plus grande approximation possible.

Soit en effet y [x) une fonction de x, et a la valeur qu'elle prend pour 3? = o; posons

y étant nul avec x. Soit h la limite du rapport - -, lorsque x tend vers zéro ; posons

bx

Soit c la limite de - lorsque x tend vers zéro ; posons

En continuant ainsi indéfiniment, on obtiendra, pour exprimer 9 [x], une fraction

continue de la forme

bx

ex

qui est la plus avantageuse que Ton puisse employer pour de petites valeurs de x. Il est bien entendu que si l'une des quantités désignées dans le calcul précédent par j, z. M,..., était comparable à une puissance de a? dont l'exposant fût diPTéreni de l'unité, c'est-à-dire si l'une des quantités a, 6, c,..., était nulle ou infinie, il faudrait la représenter par une fonction de la forme

kx"

et la fraction intégrante correspondante aurait alors pour facteur au numérateur une puissance de x.