CIX I — T~ X
Pour une valeur infiniment petite de x^ on sait que la différence y — x est du troisième ordre; il en résulte que^^ est infiniment petit du second ordre; mais l'équation précédente suffit pour le démontrer en déterminant en même temps sa valeur approchée. Posons en effet
m étant une constante inconnue et a une fonction de a?, qui reste finie lorsque x est infiniment petit. L'équation (i) deviendra (45)
x[i'^x^) (maj::"-')(i-f- e) — j;'(i-|-aJt;") -ha^{i 4- a^**") = o,
i étant infiniment petit avec x. Si dans cette équation on suppose x infiniment petit, le premier terme est d'ordre m, le second du second ordre, et le troisième d'ordre m. Or il est évident que la somme des coefficients des termes de l'ordre le plus élevé doit être nulle; on doit donc avoir, si m est moindre que 2,
m PREMIÈRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL,
ce qui est impossible, el si m surpasse 7 ,
ce qui est également impossible puisque a a, par hypothèse, une valeur finir. Il faut donc prendre /w = u , et Ton a alors
ou
La valeur approchée de y^ est donc y, = y et nous poserons
v., étant infiniment petit avec x.
On verra sans peine que J2 satisfait à l'équation
On en conclut que, pour une valeur infiniment petite de œ, y. 2 est du second ordre et a pour valeur approchée ^oo^; posons donc
5 + v, On verra de même que/, satisfait à l'équation
et l'on en déduira que, pour une valeur infiniment petite de Xy la valeur appro-
chét
î de Va est ^ ;
on posera donc
et r
on
aura, en continuant de même,
arc lang x z= -
\<ôx'
429. La transformation des séries est souvent la méthode la plus commode pour obtenir les développements sous forme de fraction continue et en étudier la loi. Nous en indiquerons quelques exemples.
Citons d'abord la transformation de la série
donnée par Legendre dans une Note de sa Géométrie^ et dont il a déduit des conséquences remarquables.
On déduit de l'équation (i)
en retranchant les deux équations membre à membre et effectuant la soustraction des termes correspondants dans les seconds membres, on a
2(2H-l) z(2-hl)(Z4-2) 2 2(zH-l)(2H-2)f24-3)
c'est-à-dire, d'après la définition de (p (js) ,
Divisons par y (:; -h i) les deux membres de cette équation et posons
l'équation [i) devient, comme on le vérifie aisément,
En remplaçant successivement dans cette équation z par z-f- 1 , :; -h 2,' .., on aura
et par conséquent
iiO PREMIÈRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL.
^ {z), d'après sa définition, représentant le quotient
Si Ton pose z=-A^ fraction continue peut évidemment se mettre sous la forme
dans laquelle les numérateurs, excepté iB premier, sont égaux à 4^. et les dénominateurs forment la suite des nombres impairs; quanta la fonction (j^ [z) représentée par cette fraction, elle devient, par l'hypothèse z = -9
2 2.3.4 2.3.4*5*6 Il est aisé de voir que cette fraction équivaut à
va — 7= ;=:•
On a donc
Si l'on pose 4« = ^^ on en conclut
UVRE SECOND. - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE. ii\
Si l'on suppose x= -^ celte formule donne
Or on a
par conséquent
et
Cette formule, due à Euler, est la plus avantageuse que Ton puisse employer pour le calcul du nombre e.
430. La méthode précédente a beaucoup d'analogie avec celle que Gauss a suivie pour réduire en fraction continue la série très-générale
qui, pour des valeurs convenablement choisies de a, j3, 7, peut représenter la plupart des développements célèbres obtenus jusqu'ici.
On vérifie aisément, en constatant l'identité des coefficients des mêmes puissances de X dans les deux membres, l'égalité
(1) F(a,p-Hi,7 + i,^) — F(«,p,7.^) = ^-|^— ^j^.F(« + i,P4-i,74-2,j:).
Si donc on pose
on aura aussi, en remarquant que la fonction F est symétrique par rapport aux lettres a et j3,
F(« + i,p.7 + i,a:)F(p. a4-i,7-H'>^)^p.p ^ ^ ^, F (se, p, 7, ^y "~ F(P, a, 7, X) ^iP— 7, ).
L'équation ( 1 ), divisée par F (a, |3 h- i, 74- i, j:j, prend la forme
= -'^^-î-^G(p-hl,a,7-4-l,^),
G (a, p, 7»-^) 7(VH-0
ou
La même formule donne par de simples changements de lettres
G(P -h I,a,7-M, jr) =
La fonction G qui figure au dénominateur de cette dernière équation s'exprimera à son tour à l'aide de la même formule, et Ton a enfin
où l'on a posé
r.r (Ix '* ex
