CHAPITRE VIIL
THÉORIE DES KÉSIDUS.
434. Lorsqu'une fonction y (a:) devient infinie pour une valeur particulière a de la variable a? dont elle dépend, Caucliy a nommé résidu de cette fonction par
rapport au nombre a, le coefficient de -^— — dans le développement de la fonction en série ordonnée suivant les puissances de x — a.
Cette définition exige quelques explications. Il peut arriver en effet qu'une même fonction soit représentée par plusieurs séries différentes, toutes ordonnées suivant les puissances positives ou négatives de a? — a, et dont la convergence corresponde à des limites différentes. Soit, par exemple,
on a
et le développement est applicable a toute valeur de x dont le module suqiassc Tunité. Mais on a aussi
ç)(jr-) = 1 = I — X — x'^ — x^ — ......
cette .seconde série étant convergente pour les valeurs de x dont le module e^^t moindre que l'unité. Lors donc qu'on parle sans autre explication du coefficient
de - dans le développement de la fonction — — ^ i on doit hésiter entre o et — i ,
qui multiplient- dans les deux développements; l'indétermination dans d'autres
cas pourrait être beaucoup plus grande.
Nous ajouterons donc, pour compléter la définition, que le développement auquel elle se rapporte doit être convergent pour de petites valeurs de la différence x—a. suivant les puissances de laquelle il est ordonné. Dans l'exemple précédent, le second développement est seul convergent pour de petites valeurs de x, et par conséquent
le résidu de , relatif à a? = o, est — t, et non pas o.
ii8 PREMIERE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL.
435. Ehi général dous admettrons que la fonctioa considérée 9 [x) devenant infinie pour x = a, il existe un nombre entier nr tel, que le produit {x — a)'" f {x) ait une limite finie lorsque x tend vers a. Le théorème de Taylor permet alors de développer ce produit en série ordonnée suivant les puissances positives dex — a et convergente pour de petites valeurs decette différence. Cettesérie divisée par {x—a)"'
sera le développement dans lequel J^ a pour coefficient le résidu de ^ (x) relatif à la valeur a de x.
11 faut remarquer que, d'après ces explications, il peut arriver qu'une fonction devienne infinie pour a? = a, sans avoir un résidu correspondant. Ainsi, par exemple, la fonction 1j? devient infinie pour 07 = 0. Cependant le produit x^\x n'est pour aucune valeur de m, développable en série ordonnée suivant les puissances positives de x, car la (w-4- 1)'*"*'^ dérivée de ce produit devient infinie pour j7 = o. 1 x n'admet donc pas de développement ordonné suivant les puissances positives ou négatives de x, et la définition des résidus ne lui est pas applicable. Nous pouvons en dire autant de la fonction -= pour a? = 0, de , pour x= i, et d'une
infinité d'autres. Tous ces cas sont supposés exclus dans les démonstrations données dans ce chapitre. Nous verrons d'ailleurs qu'ils ne peuvent se présenter quand il s'agit d'une fonction bien définie ayant pour chaque valeur de la variable
une valeur unique et déterminée. \x et -4= ne remplissent pas cette double condi-
lion, et (377) il est impossible de la leur faire remplir en restreignant le sens que l'on y attache.
Détermination d'un résidu.
436. Les explications qui précèdent rendent facile la solution du problème suivant : Trouver te résidu d* une /onction donnée, pour une valeur de la variable qui la rend infinie.
Soit x^a une racine de l'équation
Soit m son degré de multiplicité, en d'autres termes, soit m le nombre entier tel, que le produit [x — af o [x) ait, pour x=a, une valeur finie. Posons
F (x), ne devenant pas infini pour a? =: a, peut en général être développé en série
ordonnée suivant les puissances entières et positives de (a? — a). Soit
I • ^ I .Z.O.. • lit
F(x) Ffg) F'(a) , F'fa)
(a: — a)" (x — ay {x — a)*^' \.^.[x — a)"-' 1.2. 3. ..(m — \)[x — a) 1.2.3... m~^* *' et le coefficient de » c'est-à-dire le résidu de y (a?) relatif à la valeur a deo?, est
i.2.3...(m — i) i.2.3...(w — i) ( dx^-' )^^'
Lorsque le nombre m se réduit à l'unité, le résidu de 9 (a?) prend la forme
Supposons que, dans ce cas, la fonction (f[x) soit une fraction t^^. dont l'hypothèse x = a annule le dénominateur ^ [x). Le résidu est la limite du produit
lorsque x tend vers a, et cette limite est évidemment
le résidu est donc égal au numérateur divisé par la dérivée du dénominateur, mais cette règle n'est applicable qu'au cas où a est une racine simple de l'équation f[x) = o.
437. Pour appliquer les règles précédentes, cherchons le résidu de la fonction cot - pour la valeur a? = — qui la rend infinie. Le produit
(X 1 coinnj X
a, pour x= —i une limite finie. Si l'on pose en effet
4m PREMIÈRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL.
h étant infiniment petit, cot - peut être remplacé par ji et le produit
a évidemment pour limite ^ » qui est par conséquent le résidu demandé.
Cherchons encore le résidu de
x^ lang X
relatif à a? ==o. Le produit de la fonction par x^ ayant dans ce cas une limite finie, le résidu est la valeur que prend, poura? = o, l'expression
-L EL i ^ \
1 ,2 dx^ \tangx/
Or on a
lang X —
(i X ^ ros'.r ^\i\x v.osx — x
dx langj; tangua; sin^x
d^ X (ros*x — sin*^— i)sin'^ — 2sin^cos^{sin jtcoso; — x)
dx^ lang X sin* x
— 2sin*jr — 2sin'^cos'x -H 2j;sina;cosj;
sin*a:
Lorsque x est très-petit, on a, en négligeant les infiniment petits du cinquième ordre,
sin* jc = X* ,
sm'j:cos»x= ix — -^j (i j=j;' — -^ — x^ =. x- — \^y
:r sm^cosx== j; ( -^ "" "F" ) ( » ) =^ 7; ^^ — ô*^ »
et par la substitution de ces valeurs, la fraction {i) se réduit à — | qui est sa limite; le résidu est donc égal à — -•
Notations de Cauchy.
438. Cauchy a représenté le résidu d'une fonction 9 [x) par le signe £,; mais, comme il importe d'indiquer à quelle racine de l'équation -r^ = o se rapporte le
résidu considéré, il a proposé de mettre le facteur en évidence en le plaçant entre doubles parenthèses.
est, d'après cela, le résidu de la fonction ç (x) relatif à la valeur x = a, pour laquelle cette fonction devient infinie.
En l'absence de toute indication analogue, £,?(^) désigne la somme des résidus relatifs à toutes les racines de l'équation — — : =o. Cauchy le désignait sous le nom de résidu intégral. Pour indiquer la somme des résidus relatifs à quelquesunes seulement des racines de l'équation -p- = o, on place entre parenthèses les facteurs correspondants.à ces racines.
désigne, d'après cela, la somme des résidus de la fonction cp (a?), pris successivement par rapport à a, 6, c.
Pour indiquer la somme des résidus relatifs à celles des racines dont les parties
réelles sont comprises entre deux limites a et a' et les coefficients de \/—i entre ^ et p', on écrit
mais, en adoptant cette notation, on convient de ne compter que la moitié des résidus relatifs aux racines pour lesquelles une des limites est atteinte, et le quart seulement de ceux pour lesquels la partie réelle et le coefficient de V— i atteignent l'un et l'autre la limite indiquée.
Le but de ces dernières conventions est de permettre l'emploi de la formule suivante, qui sans cela serait soumise a des restrictions :
y3' a' b a h vJ fi' a /3' a'
fi OL ,3« /la h 9i b a
OÙ a est supposé compris entre a et a', et b entre /3 et /3'.
Si l'on représente, en effet, une expression imaginaire a7-f-jv^— i, parle point du plan dont les coordonnées sont x et j^, le premier membre de cette égalité est la somme des résidus relatifs aux racines correspondamtes à des point» situés dans l'in-
térieur d'un certain rectangle, et le second membre est la somme des résidus relatifs aux racines qui correspondent à des points intérieurs respectivement à quatre rectangles plus petits, dans lesquels on peut décomposer le premier. L'égalité est doncévidente, pourvu que Ton ne compte que la moitié des résidus relatifs aux points situés sur les lignes de partage, et qui évidemment figurent deux fois dans la somme, et si la fonction devient infinie poura?=a -h 6 ^-—1, le résidu relatifà cette valeur se trouvant quatre fois dans la somme, devra dans chaque terme, conformément à notre
convention, être multiplié par j-
Théorèmes relatifs aux résidus.
439. Si la fonction ^ [x) devient infinie pour x = a, la différence
a toujours une valeur finie quand on y suppose a? = a.
En d'autres termes, pour faire disparaître d'une fonction ç [x) la partie qui devient infinie pour it? = a, il suffit d'en retrancher le résidu de -?1^ relatif à 2 = a.
Supposons la fonction o) {x) développable en série de la forme
on a, en remplaçant x par z, et divisant par x — z,
x — z , (Z'--a){x — z) (z — aVix — z) (3)
, A. B B^jz-a) .
'^ (z—ay"(x—z)'^ {x — z)'^ {x — z) "^•■•'
— — est, pour des valeurs de z peu différentes de a, développable en série ordonnée suivant les puissances de z — a, et l'on a
— a[ ^ x~a (x — a)^ [x — ay* J
en remplaçant par ce développement dans chacun des termes du second
membre de l'équation (3), on obtiendra une série dans laquelle le coefficient
(le — ^- — est évidemment
A| A3 Am
X — a [x — af (x — a )"•
OÙ l'on reconnaît la somme des termes qui dans le développement de (f[x) deviennent infinis pour 07 = a, et puisque cette somme est le résidu de -îl£i , le théorème est démontré.
440. D'après la formule qui exprime (436) le résidu d'une fonction, il est aisé de voir que le résidu de
relatif à 2 = a est une somme de fractions de la forme , ^-—^x le théorème de
(x- — ay
Cauchy fait donc connaître une fraction rationnelle qui, retranchée d'une fonction donnée de Xy fait disparaître, pour x = a, la partie de cette fonction qui devient infinie. Cherchons, par exemple, la fraction rationnelle qui, retranchée de
-— -î 1 laisse une différence finie lorsqu'on y suppose 07 = 0. Cette fraction est,
d'après le théorème précédent,
^ (i — cosz) (x — z) [{z)) '
c'est-à-dire le résidu de ; n i» relatif à 2 = 0. z est une racine dou-
[x — z)[i — cos z )
ble de l'équation i — cosz = o; le résidu est donc (436) la valeur que prend, pour z = o, la dérivée,
dz (x — z)[i — cos 2)' or on a
d z^ 25(1 — cos z){x^ z) -^^ z^ s\ï\ z [x — z) -k- z^(\ — cos z )
rfZ (^ — 2)(l — COSZ) (1 — COS 2)' (^—^2)'
/ ' \ a 2 ( I — cos 2 ) -f- 2^ sin z 2'
cos 2)
Le premier terme du second membre a pour limite zéro, parce que le dénominateur est un infiniment petit du quatrième ordre, et en remplaçant les sinus et cosinus qui figurent au numérateur par les séries qui les représentent, on voit que les premiers termes qui subsistent après les réductions sont du cinquième ordre. D'ail-
io4 PREMIÈRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL.
leurs I — cos z étant égal à a sin- - z , a pour limite a, et le second terme
se réduit, pour z = o, à -r-, telle est la fonction qui, retranchée de ' 5 laisse
un reste dont la valeur est finie pour a? = o. On dit quelquefois, d'une manière expressive mais peu correcte, que —, est la partie infinie de »
441 . Décomposition des fractions rationnelles en fractions simples. —Si Ton retranche d'une fraction rationnelle 9 (a;), le résidu intégral f* ^^^^J^- relatif a toutes les
racines de l'équation -— - = o, la différence
ne devient infinie, d'après le théorème précédent, pour aucune des valeurs de x qui rendent infinie la fonction 9 (^);etcomme un résidu n'est jamais infini, cette différence, qui évidemment est une fonction rationnelle de a?, ne devient infinie pour aucune valeur finie de la variable: elle se réduit par conséquent à une fonction entière, et le résidu intégral
est par suite la somme des fractions simples qui figurent dans la décomposition deyf^). Lorsque dans (f{x) le degré du dénominateur surpasse celui du numérateur, l'expression n'a pas de partie entière, et l'on a
Soit, par exemple,
on aura
^x'—iy(x-\-i) <^[x^z)[iz-hi)} U;5-i)j' ^[x-
-zj(z — ijM(-3-^t;J
mais on a (436)
i^ ,j,^z}{z — iy ([z^i)i^^(x-hi)'
^ {x"—Z;,z-h\}[{z-'i}y 4f:r— 1) 2(:f— ij' '
par* conséquent
{x-{-i){x—iy 4(-^-+-0 4(^—0 2(^—1)^ Somme des résidus d'une Jonction rationnelle. 442. Reprenons l'équation
qui suppose seulement que la fonction rationnelle 9(0?) s'annule pour une valeur infinie de x. Multiplions les deux membres par x et remarquons que les résidus dont la somme forme le second membre étant pris par rapport aux valeurs de la lettre z qui rendent ç(z) infini, la multiplication par x peut s'effectuer sous
le signe ^ ; nous aurons
et si Ton fait croître x indéfiniment, cette équation devient
Si le produit xf{x) s'annule comme 9 (a?) pour une valeur infinie de x, ou, en d'autres termes, si le degré du dénominateur de 0 {x) surpasse de plus d'une unité celui du numérateur, on aura donc
c'est-à-dire que la somme de tous les résidus de la fonction y (z) est égale à zéro. Ce théorème ne diffère que par la forme d'une formule importante due à Euler. Soit 1
XP
F {x) étant un polynôme de degré supérieure />+ r, et dont nous supposerons tous les facteurs inégaux ; x—a étant l'un de ces facteurs, le résidu correspondant à 07 = a est (436)
Si donc, a, b,c,..., k, /, sont les racines de Féquation F (a?) = o, la formule (4) équivaut à
(5) ïTTTx + ïttTnH H
Cette équation suppose, il ne faut pas l'oublier, que l'exposant p soit inférieur de deux unités au moins au degré du polynôme F (a?). Si la différence entre/? et le degré du polynôme F {x) est une unité seulement, le premier membre n'est plus
nul, et sa valeur est la limite de f-r-\^ c'est-k-dire l'inverse du premier coeffieieDt
de F {x).
443. Cauchy a complété le théorème précédent en donnant l'expression de la somme des résidus d'une fonction rationnelle, qui n'est pas nulle pour une valeur infinie de la variable. On a, quelle que soit la fonction rationnelle 7 (a?),
la détermination de la somme de tous les résidus, quel que soit leur nombre, étant par là ramenée au calcul d'un résidu unique relatif, comme l'indique la manière dont il est écrit, à la valeur zéro de la variable z. On a en effet (439)
u{z) ne devenant pas infini pour z = o. On a d'ailleurs
I I / u u^ , uF ^ \
donc
La fonction f (^) devenant infinie avec x, l'équation
admet la racine u = o. Soit m son degré de multiplicité: les termes qui dans la parenthèse ont un exposant plus grand que m-h i, ne sont pas infinis pour a = 0,
UVRE SEœND. - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE. 457
et n'influent par conséquent pas sur le résidu; on peut donc écrire
ou, ce qui revient au même,
z^ z^[{u')y z'<^ ((«')) '^z'<^ ((«»)) "^' '^z'"-^'Ly [(u^)] "*"'^^^^
Si Ton pose - = 07 et 2*«5(2) = F (a?), il viendra, en divisant les deux membres par œ^.
Prenons maintenant les résidus des deux membres de cette équation par rapport à X, et pour toutes les racines de l'équation -r— r = o, il viendra, en ayant égard
aux équations évidentes ^ -= I , ^i==o,..., ^x = o, ^x^ = o,
Or F (a?) désigne ici z'^zs{z), le produit x?{x), est par conséquent égal à 2 ty (2), et s'évanouit par conséquent lorsqu'on suppose oo infini, c'est-à-dire z égal à zéro; on a donc (442)
et par conséquent enfin
comme on l'avait annoncé.
Changement de la variable indépendante.
444. Lorsque l'on change la variable au moyen de laquelle une fonction est exprimée, les résidus de la fonction changent en général de valeur. Que l'on con- I. 58
sidère, par exemple, la fonction - dontlerésidurelatifàa?=oestrunité; siTonpose
a: = z^, la fonction devient —i et le résidu correspondant a ^ = o est nul. Les résidus dépendent donc du choix de la variable. Gauchy a démontré. le théorème suivant :
Si la fonction <p{o^) devient infinie pour x=a, et que Ton pose x=^{zj, Zt étant la valeur de z qui correspond à or = a, on a
p y(jr)(x — fl) __ ,. y(z)f (z)(z — z.)
Supposons d'abord que le produit {x — a) f {x) ait, pour j? = a, une valeur finie,
on a (436)
mais
Lorsque a? tend vers a, ;3 tend vers 2,, et le rapport
a pour limite t^' (^i), et le produit
f(z)y[+(z)](z-z.), a pour limite le résidu de ^' {z) (p[^{z)] relatif k 2 = ^2, ; on a donc
On doit remarquer toutefois que le raisonnement précédent serait en défaut, si pour la valeur z, de z, |' [z) était nul ou infini. Dans ce cas, en effet, ^' [z) et
'^(z)—'^(Zi) ^ j^ygQj^jj^ |^^lJJ tQus deux, pour z = j2, , ne sont pas pour cela
z — z, des infiniment petits égaux, et il n'est pas permis de les remplacer l'un par
l'autre. Si, par exemple, ^[z) = 2^, et z, = 0, on a,
^{z)'-'if(z,) ,
et il faut, pour que la formule (3) reste exactei diviser le second membre par fi.
Supposons en second lieu que, m étant un nombre entier, le produit 9 [x) {x—a}"* ait, pour a; = a, une limite finie; posons
(4) ^{x),{x-ar = 'P{x),
nous aurons
^^^ (X— a)" (JT — rt)*-' r.2.(a: — fl)— 2"^"
i.a...(/n — i)(j: — fl) 1.2. 5. ..m
Le terme en — ^- — étant ici celui qui nous importe, désignons par ts {x) la somme
