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de tous les autres, et écrivons
1 ,2,3. . .(m — ^)\X — a) Celte équation devient, par l'introduction delà variable z,
Multiplions les deux membres par ^' {z)^ et prenons les résidus relatifs à js = 2f , nous aurons
r y[4>(g)]f (zM^-z.)___ p nT[>Kg)]f (z),(z-z.) F— (g) p V{z)
^T> C [{z-z,)) O Hz-z,)) "^i.2.3.,.(m-i)0((4.(z)->K3.))"
Le premier terme du second membre est égal à zéro. Le résidu de ts {x) relatif à la valeur a de la variable est en eflet égal à zéro, car pour former © {x) on a retranché
du développement de 9 {x) le terme en ^ - Il en résulte quew {x) est la dérivée
d'une fonction développable suivant les puissances de a? — a , et par conséquent le produit
est la dérivée par rapport à 2 de la même fonction qui sera, en général, développable en série ordonnée suivant les puissances de js — js, , et par conséquent le résidu de cette dérivée est (314) égal k zéro. L'équation précédente se réduit donc k
(81 rf[>Kg)].f(3)(z-g.) F—(a) p f(z)
^ [(z-z,)] - 1.2.3... m-iC'[(+(z)-+(z.)]*
460 PREMIËRE PARTIE. — CALCUL DIFFÉllENTIBL.
Or r — ^ est précisément (436) le résidu de y (a?) relatif à x=a, et par
conséquent le théorème sera démontré si nous prouvons que Ton a
Pour y parvenir, posons et par conséquent
Le résidu de — ^^ — est égal à Tunité. Quant à celui de ^'(j»), il est nul, car en développant ^(5) suivant les puissances de •— — t la dérivée d'aucun terme ne sera de la forme ; on a donc
et l'équation (8) se réduit a .
¥-'^(a) cf[^{z)].r{z)iz-z,) ^'""^ I. a. 3. ..(m— !)■"<-- [iz — Zi)]
elle prouve que le résidu de f {x) relatif k la valeur a? = a, est égal à celui de la fonciion transformée f> [^ {z)] multipliée par la dérivée ^' (z).
Nous devons remarquer toutefois que cette formule est en défaut, comme la formule (3), lorsque |'(^i) est nul ou infini; dans ce cas, en effet, la fraction
devient également nulle ou infinie pour zr=^z^,ei son logarithme n'est pas développable en série ordonnée suivant les puissances de (js — 2,). Cherchons comment on doit alors modifier la formule (10).
