X -f- COS X

tend évidemment vers l'unité lorsque x augmente indéfiniment, et le rapport des dérivées

1 — cos X

I — sin X

est tout à fait indéterminé.

Autres formes indéterminées.

456. Lorsqu'une fonction prend pour une valeur particulière de la variable l'une des formes ao*', i*, o**, oxqo, il est toujours facile de ramener aux deux cas précédents la recherche de la véritable valeur. En effet, le logarithme de la fonction se présente évidemment sous la forme o x oo qui se ramène immédiatement à - ou à ^. Il n'y a donc pas là de question véritablement nouvelle.

Quelques exemples,

457. Il nous reste à donner quelques exemples du calcul de la véritable valeur d'une fonction, en les choisissant de manière à montrer comment dans un grand nombre de cas il est avantageux de substituer, aux méthodes générales, des artifices suggérés par l'habitude du calcul.

Déterminer la valeur de- — cot - x pour a? = o. — On a

2 X col - X

col - ;r = .

Or X cot - a: = — qui, poura?=o, a évidemment pour limite 2. La fonction

lang - X

prend donc la forme - ; le rapport des dérivées est

— col - x-h

sin^ - X

Le dénominateur ayant une valeur finie, il suffit de chercher, pour 0^ = 0, la véritable valeur du numérateur qui se présente encore sous la forme indéterminée 00 — 00 . Or on a

I 2 X — sin X

— col - X -^ = 9

sm^ - X 1 sm' - X 2 2

et sans recourir à l'emploi des dérivées on voit que x — %\vix ayant pour valeur

approchée -g-? le numérateur est infiniment petit par rapport au dénominateur; la

véritable valeur est donc zéro, et, pour a? = o, la différence cot-à? se réduit

à zéro.