Développée de l'ellipse, — Soit
l'équation d'une ellipse; on en déduit
dx____brx rf^r **
les coordonnées du centre de courbure sont données par les équations
et, par conséquent.
^''-''^- ^rgi '
Si, en se servant de l'équation de l'ellipse, on élimine/ de la première de ces équations, puis x de la seconde, on trouve, en posant a* — 6* = c^,
et déduisant de là a? et j pour les substituer dans l'équation de l'ellipse, on trouve enfin
Cette courbe se compose de quatre branches symétriques par rapport aux axes des coordonnées, et présentant quatre points de rebroussement aux points oii elle est rencontrée par les axes.
528 . Développée de la courbe représentée par l équation On déduit de cette équation :
dy r*
dx^'
Les coordonnées a, j3 du centre de courbure sont, par conséquent,
Al 1
JT* fl' a;'
et de même,
(6) iî=r+3xV- On en conclut aisément
(7) «-l-(3=(x^+jr')\
(8) « — (3=(a:'— /^r, par conséquent,
L'élimination de a; et de j entre ces équations et la proposée donne immédiatement
36 i PREMIÈRE PARTIE. — CALCUL DIFFÉRENTIEL.
Si l'on change les axes des coordonnées en les faisant tourner de j autour de
l'origine actuelle, celte équation se change en
a', |3' désignant les coordonnées par rapport aux nouveaux axes; la forme de ce résultat montre évidemment que la courbe proposée est semblable à sa développée et de dimensions doubles.
On peut reconnaître aisément que la courbe dont nous venons d'obtenir la développée est une épicycloïde engendrée par un cercle roulant dans l'intérieur d'un autre cercle de rayon quadruple, et nous verrons que la propriété d'être semblable à sa développée convient a toutes les épicycloïdes.
529. Développée de la cycloide. — La connaissance du rayon de courbure de la cycloïde en chacun de ses points permet de déterminer aisément sa développée.
Soient AMA' une cycloïde, M un de ses points, et MI la position correspondante du cercle générateur. Le rayon de courbure étant (504) double de MI, si, au-dessous
de AA', on décrit un cercle égal au cercle générateur, et touchant AA' en I, l'intersection M' de ce cercle avec MI prolongé est le centre de courbure, et le lieu des points M' est la développée. Soit S' le centre correspondant au sommet S, et situé évidemment sur la droite BB' parallèle à AA', et tangente au cercle I T. Il est aisé de voir que ce cercle roulant sur BB' engendrerait précisément la développée S'M'A, si le point décrivant était d'abord placé en S'. En effet, en nommant B là projection du point A sur BB', on a
par conséquent
BS'=AC=rM'l, Br = AI = arc IM = arc IM',
rS' = rM'l — I\i' = I'M',
ce qui montre que le point décrivant, d'abord placé en S', viendra par suite du roulement se placer en M', lorsque le cercle roulant aura son point de contact en T.
La détermination analytique de la développée, en partant de l'équation de la
cycloïde, est facile, et nous ne nous y arrêterons pas; nous nous bornerons à indiquer
un moyen élégant d'y parvenir a l'aide d'un système de coordonnées utilement
adopté pour la solution de quelques problèmes.
530. Une courbe, dans ce système, est caractérisée par la relation qui lie le ravon de courbure à l'angle formé par la normale avec une direction fixe. Le passage de telles équations à celles auxquelles nous sommes plus habitués, exigerait la solution d'un problème de calcul intégral, que nous ne pouvons aborder ici. Bornons-nous à montrer immédiatement qu'une courbe est déterminée quand on connaît, pour chaque direction de la normale, le rayon de courbure correspondant. Si Ton porte en effet son attention sur l'arc compris entre deux normales de directions données, on connaîtra, pour chaque direction intermédiaire, la longueur de l'arc correspondant de la développée, et, pour déterminer celui-ci, il faudra résoudre le problème suivant : courber un fil de longueur connue, de telle façon que la direction de chaque élément soit assignée à l'avance. La solution est évidemment unique quand on se donne l'origine, et les courbes relatives à des origines différentes sont superposables. La développée étant déterminée, la courbe primitive l'est également, car le rayon de courbure en chaque point étant connu, on saura la longueur qu'il faut porter sur chaque tangente à la développée, pour avoir le point correspondant delà développante.
En nommant <p l'angle formé par la normale a la cycloïde avec la base, et a le rayon du cercle générateur, l'expression du rayon de courbure est
p = 4acos(p,
l'angle de contingence de la développée est^/ç). Tare infiniment petit correspondant est dp\ le rayon de courbure p' de celle-ci est donc
^=4asm(p.
D'ailleurs, en nommant <p' l'angle formé par la normale à la développée avec le même axe ,
et par conséquent
p':=4acos9'.
La développée a donc la même équation que la cycloïde et lui est par conséquent égale.
531 . Appliquons la même méthode à l'épicycloïde. D'après l'équation trouvée (506)
pour le rayon de courbure de répicycloïde, on voit aisément qu'en nommant 9 l'angle formé par la normale avec le rayon du cercle fixe dirigé vers l'origine de répicycloïde, on a
p = asin W9;
a et m étant des constantes, on en conclut que le rayon ^' de la développée, toujours égal à y 5 est
p' = macos/n9,
et si l'on nomme 9' l'angle formé avec le même axe par la normale à la développée,
0' = ma cos m ( - — 9' j ^ ou en posant
m — I it
ce qui revient à faire tourner l'axe, de Tangle ?
p' = /nasin m 9,.
Pour déduire cette équation de la proposée, il suffit de multiplier par un facteur constant l'expression du rayon de courbure, et il est aisé de voir que c'est précisément ce qu'il faudrait faire pour obtenir l'équation d'une courbe semblable. La développée de l'épicycloïde est donc une épicycloide semblable, le rapport de similitude est m, et l'angle formé par les lignes homologues dans les deux
^ m — f ir
tiffures,
532. Développée de la spirale logarithmique, — L'équation de la spirale logarithmique en coordonnées polaires est
Le rayon de courbure a (504) pour expression
il en résulte, comme on le voit aisément, que le centre de courbure se trouve sur la perpendiculaire élevée par le pôle au rayon vecteur. Si donc r' et ô' sont les coordonnées du centre de courbure, on a
r' = v/p' — r^ = wa^"'^;
il en résulte
r' =^ mae ^ ^^.
Si Ton fait tourner Taxe polaire d'un angle égal à a, en nommant 6" l'angle formé par le rayon vecteur avec le nouvel axe polaire, on a
r' = mae v ''^
et si l'on pose
me ^ ^^=1, cette équation se réduit à
équation identique à celle de la courbe proposée. La développée d'une spirale logarithmique est donc, comme celle de la cycloïde, superposable à la courbe ellemême.
