f-0'-hI-f-r = 47r équivaut à

(0 dSi rfEa = 0.

Les différentielles c/e,, d£2 se rapportent, la première k Taccroissement da^ du paramètre «i, etia seconde à l'accroissement da2dea2> On a évidemment

et, par conséquent, Téquation ( i ) peut s'écrire

a a, (i Xi

c'est-k-dire

( i ) PVJ -V — " 3c, H :3 — aa. -+- PF, — >J-^ a a^ H j — aa, = o ;

a Xi pi a a, aa^ pa ««^

or on a ( 507 ) par conséquent

PQ = ^*. = 4^S PP, = rf,, = î^ ,

rf(PQ) - - ^ ^■

rf4^

on en conclut (508)

et l'équation (3) devieDi

doL2 dat\hi/ ' rfa,

rfa, ' A, A, p,

rf(PP.) . I I

a a, /i, fh p2

'*^ A. t/a. ^pî A./l, ^ A. rf^a"^^ A.Aa ""'''

et en supprimant le facteur doci doci, et multipliant par A,A2,

rfi d^

dxi da, pi pi

c'est-à-dire enfin, à cause de -^' = ds^, -^ = ds^,

513. La formule précédente peut être transformée de manière a ne plus contenir que les fonctions A,, Aj, et les paramétres a,, «a, dont elles dépendent. Reprenons en effet l'équation

rfi di

da, aot. p\ pi

en remplaçant - et - par leurs valeurs ,

elle devient

I , . lu

Pi d âS>

- = hihi n — ^9

p2 d OLi

dhJiA^) dh^h

hx :> — -h lu -

OU, en effectuant les différentiations,

doL\ doL, \ da. doc) doL\ d ol^ \ doti doL^j

on a identiquement,

A|l^^H/,îyi;(l^)=o,

doLx doLx \daLx /

doL^ dOLi \doLj

et Téquation se réduit, en supprimant le facteur A, A^, a , , , Tj , F, dlit /i, , dlh A,

'"^ ^^T^-^'^'in^^^d^.d^x-^'^.d^r'''

ou entin,

rf' ^ d' r- ^T^T d-rdj-

/ii\ I lu L "' A2 ''' ''« A2 '*• "'

c/aj £/aJ aa, aa, «a, tfa.

514. Les fonctions ^ et j faisant connaître (507) la loi de variation de la distance entre deux courbes voisines appartenant à un même système, on comprend que Téquation (8), qui a lieu entre ces fonctions et leurs dérivées, exprime implicitement la loi suivant laquelle peuvent varier les côtés des rectangles infiniment petits dans lesquels un plan peut être décomposé par deux systèmes de lignes orthogonales. Pour obtenir cette loi explicitement, il suffira de remplacer dans la formule

^ et T- par leur expression en fonction des côtés infiniment petits de ces rectan*

gles. Représentons-nous sur le plan la série des lignes de l'un et l'autre système correspondant aux valeurs a,, a, des paramètres, et à celles que Ton obtient en leur attribuant une série d'accroissements infiniment petits, égaux à doL^ pour le premier, et à dd^ pour le second.

Nommons x et j^ les côtés PQ, PP| du premier rectangle, et convenons de représenter par le signe d la variation qui correspond à l'accroissement doL^ de «i, c'est-à-

dire à un déplacement effectué sur les lignes PP|, QQ,,..., et par le signe i celle qui, correspondant à l'accroissement dti^ de a^, exprime un déplacement effectué sur les lignes de l'autre système. On a (507)

:f = PQ =

doL^

dx = -T — ( -7— ) doLy = rfa, rfa, -r— ^ doLx\ ht j aoLx

dd —

En substituant dans l'équation (8) à A^ , A, et à leurs dérivées les valeurs déduites de ces formules, elle devient, après la suppression du dénominateur commun dct^ doL^^

d^x $^x drdx 8ràx

c'est-à-dire

x^yd^x-hX^^^^X — x^dfdx — /*d^ôx = o.

Les variables a,, as, dont les accroissements constants ont déterminé la loi d'espacement des courbes qui forment les rectangles, sont arbitraires. Cette loi est donc elle-même arbitraire : quels que soient en effet les accroissements successifs attribués à une variable, on peut trouver une nouvelle variable, fonction de la première, etdont les accroissements correspondants soient égaux entre eux. L'équation (9) exprime donc la loi générale qui régit les côtés des rectangles curvilignes infiniment petits que l'on peut juxtaposer sur un plan. Si l'on suppose quatre rec-

tangles contigus représentés sur la figure et formés par des lignes espacées de telle

sorte que l'on ait PQ = QR, PP,=P,P2, (ïa? seranul ainsi que rf)^, et l'équation (9)

deviendra

(10) Ar{/\r-f-/ô*j = o.

Si l'on suppose cette équation exacte sous la condition d'égalité entre les côlés contigus des quatre rectangles auxquels elle se rapporte, elle entraine l'équation plus générale dont on l'a déduite, et lui est par conséquent équivalente. Pour le démontrer, admettons en effet que cette équation (10) soit satisfaite pour quatre rectangles infiniment voisins, tels que ceux qui sont représentés dans la figure et sous la condition QR = PQ = a?, PaP« = P| P = y. Admettons que les courbes étant espacées autrement, on ait QR = a? 4- &x, P2P1 =y-h dy, d^ x et à'^y changeront de valeur, et il est facile de calculer la variation de chacun d'eux. Si en effet P2Q2 est remplacé par une ligne du même système, coupant PPi à une distance dy du point P^, l'augmentation qui en résulte pour PaQa est précisément la variation que subit d^x\ or la ligne PQ s'accroissant de ctr, lorsque P se transporte en P, en parcourant une ligne égale à y, pour un déplacement égal à dy elle s'accroîtra de

— "7^-; par conséquent la nouvelle valeur Aed^x est égale à l'ancienne qui figure

dans l'équation (lo), augmentée de 5 et l'on doit, pour transformer cette équation, remplacer d^x par d'x ^^ • On verra de même que i'^y doit être rem-

placé par ^'\v— -^^ > et l'équation (10) devient

., .,, xdxdy yèxoy'

équivalente à l'équation (9).

La remarque que nous venons de faire pourrait être présentée sous une forme analytique et rattachée à la théorie du changeaient de la variable indépendante.

515. L'équation (9) peut être aisément vérifiée dans le cas où les lignes de l'un des systèmes sont droites; les lignes de l'autre système sont alors des courbes parallèles, et doux quelconques d'entre elles interceptent sur les droites qui leur sont normales des longueurs égales.

Considérons dans ce cas les trois rectangles contigus dont les côtés figurent dans la formule: nous aurons

PO = x, QK = x-\-ox,

PP, = v, dr = o, 6»j = o, P,P,=:>-hrfr,

P, 0, = X 4- rf^ , P,Q, = x-h2dx-\-d'x,

et l'équation devient

c'est-k-dire

dxdr xd^x — X i- = o,

d^ X djr

llx""y^

ce qui est évidemment exact, car la longueur x étant proportionnelle k la distance au point 0, où se coupent les deux droites entre lesquelles elle est comprise, ses accroissements sont proportionnels aux variations de cette distance. Si donc à un déplacement j du point P correspond la variation dx, à un second déplacement égal

'^y-^^y correspondra la variation dx-{ — =^— ^^ et Te

on a

., drdx d^x=

On peut donner au même raisonnement une forme plus analytique en faisant usage de l'équation (8), équivalente au fond à celle que nous venons d'employer. Dans le cas qui nous occupe, la distance de deux courbes du premier système étant constante, j- est indépendant de «2» et l'équation (8) se réduit a

que l'on peut écrire

"(i) ij:)

d OLx

rf'

Elle exprime que / -^ et /^ ont même dérivée par rapport à a,, et que par conséquent le rapport

(A) doL,

est.indépendant de a, et reste constant pour une valeur donnée de «,. Pour traduire ce résultat géométriquement, considérons les deux droites voisines qui cor-

d OL

respondent aux paramètres «a, aa-f-rfaj; -y-' est Ja longueur portée sur Tune

d'elles, mesurant la distance des deux courbes qui la coupent à angle droit. La distance des deux droites au point considéré est -t^% et par conséquent proportionnelle à -j^^ dire que le rapport (A) est constant, c'est dire, ce qui évidemment est

55i PREMIÈRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL.

exact, que raccroissement de distance des droites est proportionnel au déplacement subi, dans le sens de leur longueur, par le point où Ton mesure cette distance.

Expression approchée de, quelques grandeurs infiniment petites .

516. L'étude d'un arc infiniment petit pris sur une courbe serait aussi difficile que celle d'un arc fini, et la variété des résultats, dissemblables avec les définilions particulières des courbes considérées, ne laisserait pas même entrevoir la possibilité d'une théorie générale, si dans le calcul des grandeurs h déterminer on s'imposait l'obligation de ne rien négliger. On sait au contraire que dans le calcul d'une grandeur infiniment petite on peut, sans inconvénient, négliger une portion infiniment petite de sa valeur; lorsque par conséquent nous cherchons l'expression d'un infiniment petit du premier ordre, nous négligerons ceux du second; dans le calcul d'un infiniment petit du second ordre, on négligera ceux du troisième, et ainsi de suite. On peut d'ailleurs, dans le calcul d'une même grandeur, recourir successivement à ces divers degrés d'approximation. Après avoir calculé en effet la valeur approchée qui peut remplacer une grandeur infiniment petite d'un certain ordre, et que Ton nomme ^^ partie principale^ on peut se proposer d'évaluer l'erreur commise dans le premier résultat; elle est en général du second ordre, et dans son expression on négligera les infiniment petits du troisième ordre; mais, après l'avoir trouvée, on peut chercher une expression de l'erreur qui subsiste encore, et continuer indéfiniment en formant les termes successifs d'un développement indéfini qui seul représenterait exactement la quantité inconnue. C'est précisément là, nous l'avons vu (277), ce que l'on fait en développant une fonction par le théorème de Taylor.

517. Différence entre un arc infiniment petit et sa corde — La différence entre un arc et sa corde est infiniment petite du troisième ordre; nous allons en chercher l'expression en négligeant les infiniment petits du quatriènie ordre, ou, ce qui évidemment revient au même, former le premier terme de son développement en série ordonnée suivant les puissances de l'arc.

Prenons pour axes de coordonnées la tangente et la normale à l'une des extrémités de l'arc considéré. En considérant la longueur s de l'arc comme variable indépendante, dont les coordonnées x ely sont deux fonctions, on a, pour 5 = 0,

de plus, pour un point quelconque,

fê)"-(f:)=-

UVRE TROISIÈBIE. ~ APPUGATIONS GËOAiÉTRIQUES. 553

on en déduit, en difîérentiant,

dxd^x dyd^y

di'dF'^li'di^'^'''

d^x\ ^ / rfy \ ' dx d^x dy d^y __

(d^xy (dyy dx

\ds') '^\ds') '^ ds

ds* ds ds*

et si, dans ces .équations qui ont lieu pour toute valeur de s, on fait s=o, elles donnent, en ayant égard aux équations précédentes,

\ds-)- \ds*):

Rappelons enfin la formule

ç>'~\ds' ) '^\ds' ) '

qui, pour'5 = o, devient, en vertu des précédentes,

I fd^xy __ (d*x\

p]-[ds^)- [ds^jr

et ces équations permettent de résoudre facilement la question proposée et plusieurs autres analogues.

Le théorème de Maclaurîn donne

__(d^X\ s' s' /d^y\ __ 5' s'/d^yX ^^\'dF).TZ^6\dF),'^ Ii.6 Vd^jo"^** '

on en conclut

les termes que Ton n'écrit pas contenant en facteur la cinquième puissance de s. En nommant c la corde de Tare s, cette équation peut s'écrire

et par conséquent

iapj(5-f-c)

La somme s-hc peut évidemment être remplacée par as, et Ton a enfin, pour expression de la partie principale de 5 — c,

24 Pî

Ou voit, comme cela est évident à priori, que pour une même longueur de Tare, la différence avec la corde augmente avec la courbure.

518. Différence entre V angle d'une corde avec la tangente et la moitié de F angle de contingence.— 'En adoptant les notations du paragraphe précédent, l'angle formé

par la corde d'un arc avec Taxe des a?, qui le touche à son extrémité, a pour tangen te - •

L'angle de contingence formé avec le même axe des x, par la tangente à Tautre

extrémité de Tare, a pour tangente -^ 5 la différence de deux angles infiniment

petits pouvant être remplacée par celle de leurs tangentes, la différence que nous voulons évaluer est

on a

dx X

p-^ii^;).-^---

dx 5»

X 2po 6 \ds^ /.

6 pi

11 suffit à notre but de conserver dans les développements les termes qui contiennent 5^ en facteur; à ce degré d'approximation, les dénominateurs peuvent être remplacés par l'unité, et l'on a

dr s fi -/d'r\ 1

^4^' Ls(rf?)J

et par conséquent

dx X ^ \d^ /.'

De Téquation

(d^xV (d^rV •

on déduit

d^xd^x d\rd^x ^ dp

ds' ds" ' ds' ds" ~ p' ds'

et en faisant 5= o, et ayant égard aux équations écrites plus haut,

(dyX __^,(dp\ W*Vo"~ pi \ds),'

on a donc

dx \x) 6 pi \ds/«

Telle est la partie principale de la diflerence entre la tangente de l'angle de contingence et le double de la tangente de Tangle formé par la corde avec la tangente. On peut évidemment remplacer les tangentes par les angles, et le problème est par conséquent résolu. Lorsque la courbe est un cercle, le rayon de courbure étant constant, -^ est nul et la différence se réduit à zéro, comme cela doit être.

L'angle de contingence étant rigoureusement égal à la somme des angles formés par la corde avec les tangentes extrêmes, son excès sur le double de Tun d'eux est égal à la différence de ces deux-ci, et par conséquent

6p'\ds)

représente la différence des angles formés par la corde de l'arc s avec les tangentes

à ses extrémités. Lorsque ^ est positif, l'angle de contingence est moindre que le

double de celui des deux angles qui a son sommet à l'extrémité prise pour origine de l'arc, et qui est par conséquent le plus grand des deux.

Différence des tangentes menées aux extrémités dun arc et terminées

h leur point de rencontre.

519. Soient AT et BT les tangentes aux extrémités d'un arc infiniment petit AB, que

nous nommerons s. Nous voulons évaluer la différence AT — BT, qui évidemment est

556 PREMIÈRE PARTIE. - CALCUL mFFÉRENTIEL.

infmiment petite de second ordre. Le triangle ÂBT donne

AT sin B

BT ~" sinA

.rr i>T • D .1 2sin -(B— A)cos-(A-+-B) AI — BT sinB— sinA 2^ ' 2^

sinA

On peut évidemment, dans le premier membre de cette équation, remplacer le dénominateur BT par - s, et dans le second, le facteur cos - (A-hB), par l'unité, et ledé-

nominaleur sin A, par A, puis par la moitié de Tangle de contingence -9 et enfin

sin ^—^ — ^ j par - (B — A) ; on a ainsi

2(AT — BT) (B — A)p

AT — BT=:£(B — A)=— -^-j-

2 ' ' 120 as

s^ dp

520. Différence entre les deux segments formés par une normcde sur la corde infim-ment petite qui lui est perpendiculaire.

Soient AB un arc infiniment petit, et OX celle de ses tangentes qui est parallèle à la corde AB.

Prenons cette droite OX pour axe des X, et la perpendiculaire OY pour axe des Y; Tare ^ étant compté à partir de l'origine 0, les coordonnées a?, y de son extrémité sont données, comme dans les paragraphes précédents, par les formules

Soient ^1 etsj les longueurs des arcs OA et OB, la formule (a) doit donner la même

valeur pour y quand on y fait s = 5, , 5 = — ^2 ; on a donc

2 p, 6 \ ^5'' y e 2 p« 6 \ds^ / Q*

OU, en transposant et divisant ensuite les deux membres par (j, -f-^a ),

[s,— s,) ^ (5?— 5.5,-h^î) fd\r\ .

2p« 6 Xds'jo

La différence 5,-^2 étant, d'après cette formule même, infiniment petite par rapport à chacun des deux arcs, on peut remplacer dans le second membre (5J — 5,^2 -h s] ) par s] , et Ton a par conséquent

(,.-,.) = ^*! p. (^); Mais on a trouvé (518) (-j^) "= ~" "»( rf^) *' P^** conséquent enfin

Si Taxe des Y perce la corde Â6 au point I, on a, en négligeant lesr infiniment petits du troisième ordre,

5, =■ BI , 5, = AI ; et par conséquent

Telle est l'expression de la différence AI — BI, ennégligeant les infiniment petits du troisième ordre.

521 . Distance d'une courbe à son cercle de courbure, — En rapportant une courbe à la tangente et à la normale en un de ses points, que l'on prend en même temps pour origine des arcs, nous avons trouvé pour les coordonnées d'un point, les séries

^ étant égal (518) à — ^ i^) » il est nul si la courbe considérée est un cercle,

et par conséquent, en rapportant à leur tangente commune une courbe quelconque et son cercle de courbure, on aura, pour la courbe.

__ £ sl(dp\

^'-2Pp 6p;UW«"^ "'

et pour le cercle

les termes non écrits étant de part et d'autre d'un ordre supérieur au troisième. Il résulte de là que la différence des ordonnées correspondantes a une même valeur

de s est du troisième ordre et égale ^ "^ jpr (7/") ' '21 formule

montre d'ailleurs que la différence des abscisses est tout au plus du quatrième ordre, et que, par conséquent, si l'on néglige les infiniment petits du quatrième ordre, il est permis de considérer les deux ordonnées comme répondant à une même abscisse. La formule

rfi

6pl \dsi. 6 \ds /o

exprime donc la distance de l'extrémité de l'arc ^ au cercle de courbure correspondant à l'autre extrémité, cette distance étant comptée perpendiculairement k la tangente commune de la courbe et du cercle, et pouvant évidemment être remplacée par la distance comptée normalement au cercle qui n'en diflere que d'une portion infiniment petite de chacune d'elles.

Théorie des développées.

522. Lorsqu'une courbe a pour tangentes les normales d'une autre courbe, on dit qu'elle en est la développée. D'après cette définition, une courbe donnée a toujours une développée et ne peut en avoir qu'une seule, qui est (104) le lieu des intersections de chaque normale avec la normale infiniment voisine, et par conséquent le lieu des centres de courbure de la courbe donnée, laquelle, considérée par rapport à sa développée, porte le nom de développante. La développée d'une , courbe fait connaître tous les rayons de courbure de celle-ci, car chacun d'eux est égal évidemment a la portion de normale comprise entre la courbe et le point où elle touche la développée. On voit ainsi comment la théorie des développées, créée par Huyghens indépendamment de la considération des rayons de courbure> est intimement liée cependant au sujet de ce chapitre, et doit naturellement y trouver place.

L'équation d'une courbe étant donnée, la théorie des enveloppes permet d'obtenir celle de la développée : / et M désignant en effet les coordonnées d'un point de

la normale au point de la courbe dont les coordonnées sont x et y y on a

y et ^ sont, dans cette équation, des fonctions données de x; pour avoir Tenve-

loppe des droites qu'elle représente, il faut éliminer cette variable entre l'équation ( I ) et sa dérivée par rapport à a?,

y étant considéré dans les équations (i) et (2) comme une fonction de a; définie par l'équation de la courbe, l'opération algébrique qui donnera l'équation de la dérveloppée consiste évidemment à éliminer x et y entre les équations (i) et (2), et

celle de la courbe donnée, après avoir, bien entendu, remplacé -^ et ^-^ parleurs

valeurs en x eiy.

523. Le nom de développées donné aux courbes qui nous occupent rappelle une propriété importante déjà démontrée (22) et que nous allons démontrer de nouveau en la déduisant des formules précédentes.

Varc de développée est la différence des rayons de courbure aux points extrêmes de rare correspondant de la développante.

Soit, en effet,

l'équation du cercle de courbure en un point d'une courbe : différentions* cette équation en considérant a, /3, R comme variables, et o^et j comme les coordonnées, variables aussi, du point de contact de la courbe avec le cercle. On aura

(2) {x — a){Jx^dci)-h{y—^){dy-^(l^) = HdR.

Différentions actuellement l'équation (1) en y considérant a, /3, R comme constants, dx eidy se.rapportant au déplacement infiniment petit effectué sur le cercle considéré comme fixe; on aura

(3) [x — oc) dx -h [y— ^) dy =. o.

La comparaison des équations (2) et (3) va nous fournir ladémonstrationduthéorëme énoncé; mais il est utile de nous arrêter sur la signification de chacune d'elles, en indiquant avec plus de précision le sens que Von doit attacher aux ditîérentielles qui y figurent. L'équation (i) a lieu pour un point quelconque de l'un quelconque des cercles osculateurs. x et y y sont variables, et a, /3, R constants, quand

on reste sur le même cercle; c'est ce que nous avons supposé en obtenant Téquation (3). Xy y^ a, j3, R sont au contraire tous variables quand on passe d'un cercle au cercle voisin; mais, dans ce second cas, il y a deux variables indépendantes, et les rapports des différentielles ne sont déterminés que si Ton impose à a; et à j^ une condition nouvelle, comme celle de représenter constamment le point de contact du cercle et de la courbe. C'est dans cette seconde hypothèse qu'on a effectué la différentiation qui a fourni l'équation (2). D'après ces explications, dx ^i dy sont les différentielles des coordonnées du point de contact de la courbe et du cercle osculateur, considéré, dans l'équation (2), comme se déplaçant sur la courbe, et, dans l'équation (3), comme se déplaçant sur le cercle; elles représentent dans les deux cas (47) le déplacement effectué sur la tangente commune, et sont par conséquent égales. La comparaison des équations ( 2 ) et ( 3 ) donne

(4) — (JT — a)rfa~(j— (3)rf(3=RrfR, OU

(5) î^rf«-^r:=Prf(3 = rfR.

R, étant la distance des deux points dont les coordonnées sont respectivement a?, y^

a, ]3, les rapports ^I"^» "^"F^ représentent les cosinus des angles formés avec les

axes par la ligne qui joint ces deux points, qui est la normale à la courbe proposée, et par conséquent la tangente à la développée. En nommant a l'arc de celte dernière

courbe, ces cosinus sont égaux si ^» j^» ^t l'équation (5) devient

c'est-à-dire, à cause de rfa* -h rfjS^ = rfc',

ou enfin

et Ton en conclut

rf(y = — dR,

(/(RH-a) = o, R-l-o- = constante.

Le rayon de courbure ajouté à Tare o-, dont l'origine reste indéterminée, forme donc une somme constante, et par conséquent l'arc compris entre deux points de la développée est égal à la différence des rayons de courbure qui correspondent à ces deux points.

524. Une courbe plane quelconque peut être engendrée par l'extrémité d'un fil

enroulé sur sa développée» et qui se déroule en conservant l'autre extrémité fixe. Soit en effet la courbe PP'P"P% et sa développée A A' A'' A'\ Supposons un fil dont une

extrémité soit fixée en A^ et qui, enroulé d'abord sur Tare A' A" A' A, se dirige, a partir de A, suivant la tangente à la développée pour se terminer en P sur la développante. Si ce fil se développe sans changer de longueur, de telle sorte que, quand la partie enroulée diminue, la partie rectiligne augmente d'autant, leur somme restant constante, la partie courbe étant égale a l'arc que nous appelions a, la partie rectiligne sera constamment égale au rayon de courbure R, et par conséquent l'extrémité du fil parcourra la courbe PP'P, dont A A' A" est la développée.

525. Cette manière de tracer la développante ^\x moyen de la développée, montre clairement pourquoi le cercle osculateur traverse en général la courbe au point où il la touche.

Reprenons en effet la figure précédente et considérons trois positions voisines du fil, dont l'extrémité décrit la courbe PP'F'; on a, d'après la définition même du mouvement du fil,

AA'-hAP = A'P',

A' F est par conséquent plus long que la distance rectiligne du point A' au point P, en sorte que ce point est en dedans du cercle décrit de A' comme centre, avec A' F pour rayon. On a aussi

Mais A"P" est plus petit que AT" augmenté de A' A"; donc A'P est plus grand

que A'P', et le point P" est en dehors du cercle décrit de A' comme centre avec

562 PREMIÈl^E PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL.

A'P' comme rayon. Or ce cercle est précisément le cercle osculateur de la courbe PP'F au point?'; puisqu'il a le point? dans son intérieur, et le point F' hors de la circonférence, il traverse évidemment cette courbe, ainsi que nous l'avions déjà reconnu (496).

526. On conclut du théorème précédent que toute courbe dont la courbure est constante est un cercle. L'arc de développée étant égal en effet à la différence des rayons de courbure qui correspondent à ses points extrêmes, il est constamment égal a zéro, lorsque le rayon de courbure est constant; la développée se réduit donc a un point, et il en résulte évidemment que la courbe est un cercle.

Quelques exemples de développées.