MM'~„ . /0M\ — . /0M
c'est précisément (543) l'expression de la courbure du petit cercle dont OM est le rayon sphérique.
Diverses expressions de la courbure géodésique d'une ligne sphéri(]ue.
546. Adoptons pour coordonnées d'un point M de la surface de la sphère, l'arc 0 qui mesure la distance de ce point à un point fixe 0, et l'angle ^^ formé par l'arc I. 73
de grand cercle OM avec un grand cercle donné passant par le point 0. Ces coordonnées, analogues aux coordonnées polaires sur un plan, sont équivalentes aux coordonnées géographiques que Ton nomme longitude et latitude. Nous avons trouvé (121) que, dans ce système, en prenant, commenousie ferons ici, le rayon de la sphère pour unité, la distance de deux points infiniment voisins qui ont pour coordonnées 6, ^, 0-hdO, ^-i-rf^, a pour carré,
de*-hsW6dr\fK
Cela posé, soit ABune courbe représentée par une équation entre 6 et '|, et MM' un arc infiniment petit pris sur cette courbe à partir du point M ; calculons la courbure géodésique de cet arc MM'.
Si par les points M et M' on mène des arcs de grand cercle MI, M'I, tangenls à MM', et se coupant en I, en nommant s l'angle formé par ces arcs, la courbure géodésique cherchée est
e MM'
Or on a, comme nous venons de le rappeler,
(i) MW'z=: dO'-hsm'ed^''
Mais en nommant Y Tangle OMA, on a (93)
(2) UngV = sinô ^:
la surface du quadrilatère OMIM' est mesurée par l'excès de la somme de ses angles sur quatre angles droits, et l'on a
OMlM' = rfv^ — e-hrfV,
(3) • £ = rfv^4-rfV — OMIM',
mais l'équation (2) donne
/ //f\ ^•(^^"^•wfl)
(4) rfV = rfarctang(sinô|| =— ^ ^,.
D'ailleurs la surface OMIM' est égale, en négligeant les infiniment petits du second ordre, à la surface comprise entre les arcs OM, OM' et le petit cercle décrit de 0 comme pôle avec un rayon sphérique OM, égal à 6; on a donc
et par conséquent,
./.(sine^)
la courbure ww)? que nous désignerons par - » est par conséquent
(6) rfvj^cpse
c'est-à-dire, en développant les calculs, et chassant les dénominateurs,
547. Si Ton prend pour pôle le point M de la courbe considérée, et que l'arc fixe k partir duquel se compte Tangle ^ soit tangent à MM', on aura ô = o, et cette hypothèse, introduite .dans la formule (7), la réduit à
L'interprétation géométrique de ce résultat est importante.
d^ est, en effet, l'angle formé par l'arc du grand cercle qui sert de corde à l'arc MM', avec la tangente à Tune de ses extrémités, et dQ est cette corde elle-même que l'on peut, en négligeant les infiniment petits du troisième ordre, remplacer par Tare MM'; la comparaison de la formule (8) avec l'équation
p'^MM''
qui résulte de la définition, donne, par conséquent, et par conséquent :
Dans une courbe sphérique quelconque, Tangle formé par la corde d'un arc infiniment petilMM', avec Tare de grand cercle tangent à l'une de ses extrémités, est égal, en négligeant les infiniment petits du second ordre, kla moitié de Tangle de contingence formé par les arcs de grand cercle tangents aux deux extrémités M et M'.
548. Il est bien entendu, comme nous l'avons expliqué plusieurs fois, qu'en calculant Une grandeur infiniment petite d'un certain ordre, nous regardons les infiniment petits d'ordre supérieur comme négligeables.
Si (p{x) désigne, par exemple, une fonction de x qui, lorsque x est infiniment
petit du premier ordre, soit infiniment petite d'ordre /i, et que le rapport ^—-^ ail
pour limite une constante A, nous dirons que a? étant infiniment petit, la valeur de ç(x) est Ajc"; mais pour éviter toute confusion nous rappellerons que les infiniment petits d'ordre supérieur ont été négligés, en nommant, avec M. 0. Bonnet, cette expression Ax", la valeur principale de f {x). En adoptant cette dénomination, le théorème démontré (45) peut s'énoncer de la manière suivante:
Si une fonction (p{x), infiniment petite avec x, a pour valeur principale Aaf, A étant une constante, la dérivée 9' (a?) a pour valeur principale nAx"~\
549. La réciproque de ce théorème est exacte: si la dérivée 9' [x) est infiniment petite avec x, et a pour valeur principale nAoo"'\ A étant une constante, la fonction (p (a?), si elle est aussi infiniment petite avec x, a pour valeur principale Aaf*.
Posons, en effet,
£ étant, lorsque x est infiniment petit, infiniment petit paV rapport au premier terme du second membre, y {x) est (115) Taire comprise entre l'axe des a?, l'ordonnée qui correspond k l'abscisse x, et la courbe dont l'ordonnée est (p' [x). Or, en négligeant le terme €, on ne supprime, par hypothèse, qu'une portion infiniment petite de cette ordonnée, et l'aire qui représente f {x) n'est, par conséquent, altérée que d'une portion infiniment petite de sa valeur : elle devient alors égale à la fonction qui, étant nulle avec x^ a pour dérivée nAx"^\ c'est-à-dire a Ax", et par conséquent la valeur principale de f{x) est Ax".
550. Revenons à la théorie des courbes sphériques : soit MA une courbe quelconque tracée sur une sphère, et MT Tare de grand cercle qui la touche en M ;
nommons S Tare MM, compté sur la courbe MA à partir du point M, et y la distance
du point M, à l'arc MT comptée sur l'arc de grand cercle M, P perpendiculaire à MT.
Il est facile de voir que Tangle MM,P, formé par M,P avec l'arc MM< , a pour
dr cosinus H^ • Soit en effet M'^ un point situé sur la courbe MA, à une distance infiniment petite de M, que nous nommerons ds, et soit M\ P' =yH- dy l'arc de grand cercle analogue à M, P, et correspondant au point M\ ; menons par le point M, un arc de petit cercle M, K parallèle à PP': on aura M\ K = rf^, et le triangle M,M'jK, qui peut être considéré comme rectiligne, donnera
(i) cosM,M',K = ^'-
Gela posé, supposons le point M, infiniment voisin de M, et menons Tare de grand cercle M, I tangent k MM^, et coupant en I l'arc MT; le triangle sphérique IM, P, donne, en nommant s l'angle en I, qui est l'angle de contingence de l'arc MM|,
cos P M. I = sin e cos I P ;
cos IP différant infiniment peu de l'unité, on peut écrire, en négligeant les infiniment petits d'ordre supérieur au premier,
cos PM,I = sine, c'est-à-dire, à cause de l'équation ( i ), et en remplaçant le sinus par l'arc,
mais en nommant - la courbure géodésique de la ligne MA au point M, on a, en
désignant par 5 l'arc MM«,
et par conséquent
La valeur principale de la dérivée pétant -j celle dey est (549) — et l'on a par conséquent, en négligeant les infiniment petits d'ordre supérieur au second,
Enjoignant le point M au point M« par un arc de grand cercle que nous nomme-
38i PREMIÈRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL.
rons la corde de MM|, on forme un triangle sphérique MM|P, dans lequel on a
sin M, P ... - -
sinM.MP=^^"^'^-
c'est-k-dire, en remplaçant les sinus infiniment petits par les ares,
