M.MP
et à cause de l'équation (4)
(5) M.MP=i'= —
La comparaison avec Téquation (3) montre que Tangle M, MF est la moitié de l'angle de contingence e, ce qui est précisément le théorème déjà démontré (546) el dont nous avons ainsi une seconde démonstration.
L'équation (5) exprime aussi un théorème important; on peut l'écrire
elle donne, pour la courbure géodésique sur la sphère, une expression identique à celle qui a été trouvée (499) pour la courbure d'une ligne plane. Celte courbure, on le voit, est proportionnelle à la distance j correspondant h une valeur donnée des, et fait connaitre, comme nous l'ayons annoncé (542), la rapidité avec laquelle la courbe s'écarte du grand cercle qui lui est tangent.
551 . Différence entre un arc sphérique infiniment petit et sa corde, — En nommant, comme nous l'avons fait (550), corde d'un arc de courbe sphérique, l'arc de grand cercle qui réunit ses extrémités, la différence entre un arc infiniment petit et sa corde est infiniment petite du troisième ordre, et l'expression de sa partie principale ne difrere de celle qui convient aux courbes planes, que par la substitution de la courbure géodésique à la courbure.
Soient, en effet, s la longueur d'un arc de courbe sphérique, compté à partir d'un point M, et c la corde de cet arc : si l'on considère l'une des extrémités de 5 comme fixe,
la différence 5 — c est une fonction de 5 dont la dérivée, par rapport à s, est i— ^ :
or, en nommant Y l'angle sous lequel la corde c coupe l'arec, on a rigoureusement
,. de cos\ =-r »
as
et par conséquent
Si Ton suppose s infiniment petit, l'angle V est (546) la moitié de l'angle de contin-
de ,- . , I ,r
I — -y- =1 — cos v =2sm' - V^ as •!
gence 6, correspondant à Tare 5; 2sin* - V peut être, par conséquent, remplacé
par g 9 c'est-à-dire, en nommant - la courbure géodésique en M, par k-^^ la dérivée
de la différence ^ — c a donc pour partie principale ^,ï et par conséquent (549) la
partie principale de 5 — c est -7—/ Cette expression est, on le voit, toute semblabl
à celle que nous avons trouvée pour le? courbes planes, et montre par un nouvel exemple la parfaite analogie des deux théories.
552. Différence entre un arc infiniment petit et la somme des tangentes menées à ses extrémités. — Soient AB Tare considéré, et I Tintcrseotion des arcs de grand cercle qui le touchent en A et en B.
Évaluons d'abord l'excès de AI-j-IB sur la corde AB, en le réduisant toujours, bien entendu, a la partie principale.
Dans le triangle sphérique AIB, on a, en nommant A l'angle inPiniment petit dont le sommet est en A,
/sinl(Al.
sin - A = 1 /
[H-IB — AB)sin^(AB-+-BI — AI)
(0 sin-A=\/ . .p . \.
sin AB sm Al
Remplaçons sin - A par l'arc infiniment petit -A, et dans le second membre, réduisons chaque facteur infiniment petit à sa partie principale; sin - (Al-l-lB— AB) doit être remplacé par - ( AI -h IB — AB), moitié de la différence que nous voulons évaluer, et sin -(AB-f-BI — AI) par - (AB-hBl— AI), ou plus simplement par
~AB, car la différence BI — AI est infiniment petite du second ordre; sin AB et sin AI peuvent être remplacés de même par AB et Al, et l'on a
j(AB)(Al4-lB— AB)
<«) Ia-
2^- y AB.A1
En nommant^f l'arc AB, £ son angle de contingence, et - sa courbure géodésique
584 PREMIÈBE PARTIE. ~ CALCUL MFFËRENTIEL.
en A, on a
AB = j,
et par conséquent l'équation (a j devient .
(Fou Ton conclut
Al-K1B-AB=^,.
