PR==^S PQ
Le calcul de A4 et de A, dans chaque cas particulier se fera d'ailleurs facilement, car en considérant les variables a* et a, comme formant un système de coordonnées, la distance de deux points infiniment voisins quelconques tels que P et S, qui correspondent aux coordonnées a,, a^, a, -f-rfa, , ol^ -hdoCi, est évidemment
dal da] ''* - li\ ^ h] '
et il suffira par conséquent de calculer cette distance, comme il a été dit (123), pour connaître A| et A, que nous regardons tous deux comme essentiellement positifs.
La courbure - de la ligne PQ est égale a l'angle de contingence formé par les arcs
de grand cercle tangents en P et Q, divisé par la longueur ds^ de cet arc PQ. Or on a,
d'après la notation adoptée,
Si donc on nomme s Tangle de contingence, la courbure - est donnée par la formule
p, "" rfa, '
il reste à calculer £ : or cet angle est formé par les arcs de grand cercle normaux respectivement menés en P et Q aux courbes AA' et BB' que PQ coupe toutes deux à angle droit. Soit PI le premier de ces arcs, et I le point où il coupe la courbe BB', la distance QI est infiniment petite du second ordre, et Ton peut, dans le calcul de l'angle s, remplacer le grand cercle normal en Q par le grand cercle normal en I, qui forme avec lui un angle infiniment petit du second ordre; ê est," d'après cela, le complément de l'angle sous lequel le grand cercle PI coupe la courbe BB': or on sait (553) que si en chaque point d'une courbe sphérique on élève un arc de grand cercle normal, et que Ton porte sur lui une longueur constante /, le lieu des extrémités coupe à angle droit tous ces grands cercles normaux à la courbe donnée; on en conclut que si la longueur / portée sur chaque grand cercle varie d'un pointa l'autre, un élément da de la courbe obtenue, dont les extrémités correspondent aux longueurs /et l -^^ dt, portées sur deux grands cercles voisins, formera,
avec les grands cercles, un angle dont le cosinus est -j- : dans le cas de deux courbes infiniment voisines qui nous occupe ici, l'élément da peut être remplacé par l'élément correspondant ds de la courbe AA' qui n'en diffère que d'un infiniment petit du second ordre, et l'angle infiniment petit €, que l'oxi peut remplacer par le cosinus de son complément, a pour expression -t- ; /est ici la dis-
da tance PI égale, nous l'avons dit, à -t-^j et dl est F accroissement correspondant à
un changement infiniment petit de a^; on a donc
dl . . * .
Le dénominateur dst du quotient -j- est d'ailleurs l'arc infiniment petit de A AS correspondant à l'accroissement doc2 du paramètre, et l'on a
par conséquent,
on en conclut
dt,
dûc.
— = -1 — = fil ai — -j — Pi aat doct
ii)
ht dhy /il dui
On trouverait de même
1 L K f^i Al dhi
Pi dat hidat
Ces formules donnent au rayon de courbure un signe qui peut faire connaître le sens de la courbure; la courbe PQ partage la sphère en deux régions: dans Tune, le paramètre a, est plus grand, et dans l'autre moindre que pour les points de PQ; la courbure est positive lorsque le grand cercle tangent PI est, dans le voisinage du point de contact, dans la première de ces deux régions, et elle est négative dans le cas contraire.
