AB

Al-hlB — f= — •

résultat tout semblable à celui qui a été obtenu pour les courbes planes.

Théorie des développées sphériques.

553. La développée sphérique d'une courbe tracée sur la sphère est une courbe tangente aux arcs de grand <:;ercle qui coupent la première à angle droit; elle est l'enveloppe de ces arcs normaux, et par conséquent le lieu de leurs intersections successives, ou, ce qui revient au même, le lieu des centres de courbure sphérique de la courbe donnée, qui, par rapport à sa développée, porte le nom de développante. La développée d'une courbe sphérique fait connaître, en chaque point, ia courbure de celle-ci, égale (5i5j a la tangente de l'angle correspondante l'arc de grand cercle normal compris entre la courbe et le point où il touche la développée; la longueur de l'arc de développée sphérique s'exprime d'ailleurs comme dans la théorie des courbes planes: il est égal à la diiTérence des arcs de grand cercle compris entre ses extrémités et les points correspondants, de la développante, et la démonstration est toute semblable, comme on va le voir, à celle que nous avons donnée (22) pour les courbes planes.

554. Nous commencerons par établir quelques lemmes relatifs à la variation de grandeur d*un arc de grand cercle. Lorsque Tune des extrémités d'un arc de grand cercle AB se déplace infiniment peu sur la sphère, la variation de longueur qui en résulte est égale au produit de l'arc infiniment petit qu'elle a parcouru par le cosinus de l'angle formé par la direction qu'elle a suivie avec celle de l'arc de grand cercle considéré.

Soient en effet AB un arc de grand cercle de longueur finie, et BB' le déplacement infiniment petit de l'extrémité B; du point A comme pôle, avecAB' pour rayon sphérique, décrivons un arc de petit cercle qui coupg AB en P. L'accroissement de longueur que reçoit AB en devenant AB', est PB, et l'on a, dans le triangle infiniment petit PAB', que l'on peut considérer comme rectiligne,

PB = BB' cos PBB' = — BB' cos B' BA ,

ce qui démontre la proposition énoncée.

Lorsque les deux extrémités de l'arc AB se déplacent en même temps, la variation de l'arc est la somme des variations qui résulteraient de chaque déplacement effectué séparément.

Supposons en effet que l'arc AB devienne A'B'; joignons A'B : on a, en négligeant les infiniment petits du second ordre,

A'B — AB = — ÂÂ'cosA'AB, A'B — A'B'=: — BB'cosBB'A',

et par conséquent

A' B' — AB = BB' cos BB' A' — A A' cos A' AB ;

l'angle BB'À' diffère infiniment peu du supplément de B'B A, et Ton a enfin, en négligeant toujours des infiniment petits du second ordre,

A'B'-AB = — BB'cosB'BA — AA'cosA'AB = BB'cos(BB', AB)-+-AA'cos(AA',BA).

Lorsque l'arc de grand cercle est constamment normal à la courbe parcourue par

une de ses extrémités, le terme proportionnel au déplacement de cette extrémité,

586 PREMIÈRE PARTIE. - CALCUL DffFÉRENTIEL.

contenant en facteur le cosinus d'un angle droit» est égal à zéro» et raccroisseinent infiniment petit de la longueur se réduit à un seul terme. Si Tare considéré est normal à chaque instant aux deux courbes décrites par les extrémités, sa variation est constamment nulle, et il est par conséquent de longueur constante. Ainsi doncsi deux courbes sphériques coupent orthogonalemeat une série continue d*arcs de grands cercles, situés d'une manière quelconque sur la sphère, les portions de ces arcs interceptées entre les deux courbes sont toutes égales entre elles.

Lorsqu'un arc de grand cercle, en se déplaçant sur la sphère, reste constamment tangent k la courbe parcourue par Tune de ses extrémités, le terme proportionnel au déplacement de cette extrémité contenant en facteur le cosinus d'un angle nul, se réduit au déplacement lui-même, c'est-à-dire à l'arc infiniment

petit de la courbe a laquelle l'arc considéré reste tangent.

555. D'après les lemmes précédents, les raisonnements qui nous ont fait connaître (22) la longueur d'un arc de développée de courbe plane peuvent s'appliquer, mot pour mot, à la développée sphérique d'une courbe sphérique. Soient, en

effet, MN une courbe sphérique, et PQ sa développée. L'extrémité M de l'arc MP parcourant la développante, l'extrémité P se mouvant en même temps de manière à occuper le point correspondant de la développée, chaque accroissement infiniment petit de cet arc sera égal à Parc correspondant de la développée, et l'accroissement total, lorsque de MP il devient NQ, est égal k l'arc PQ, comme on l'avait annoncé.

Courbure des trajectoires orthogonales sur la sphère.

556. Un système de courbes tracées sur la sphère, et se succédant suivant une loi continue, peut être représenté par une équation entre les deux coordonnées sphériques et un paramètre arbitraire. Pour chaque valeur du paramètre, l'équation représente en eCTet une courbe déterminée qui se déplace et se déforme infiniment peu lorsque celui-ci reçoit un accroissement infiniment petit.

A un système de courbes sphériques en correspond toujours un second formé de lignes qui coupent les premières à angle droit; leur équation générale renfermera

aussi un paramètre arbitraire, et chaque point de la sphère pouvant être défini par les valeurs des paramètres correspondants aux courbes qui s'y croisent, ceux-ci forment un système de coordonnées curvilignes dont l'emploi peut être utile dans certains cas.

Nous allons étudier la loi de variation des courbures géodésiques de deux systèmes de courbes se coupant orthogonalement sur la sphère. Nomn)ons a, le paramètre dont la valeur caractérise les courbes du premier système, et «a celui qui correspond au second système.

Soient AA', BB' deux courbes infiniment voisines du premier système, correspondant aux valeurs ai, ai+^fai du paramètre a, qui figure dans leur équation générale, et ce, DD' deux courbes infiniment voisines du second système, correspondant aux valeurs aa, aa -4- da^ de leur paramètre, et formant avec les deux premiers un rectangle infiniment petit PRQS; le côté PR, distance de deux points

infiniment voisins qui correspondent à une même valeur de a< est évidemment proportionnel àrfaj, et le côté PQ à rfa,. Posons donc, en désignant par A, et h^ des fonctions de a, et de ol^^ que nous regarderons comme connues,