CHAPITRE IV
LES DEUX COURBURES D'UNE œURBE, LE CERCLE OSCULATEUR ET LA SPHÈRE OSCULATRICE.
Définition de la courbure.
578. La courbure d'un arc de courbe est l'angle des tangentes extrêmes. La courbure moyenne est le rapport de la courbure totale à la longueur de l'arc, et la courbure, en un point, est la courbure moyenne d'un arc infiniment petit compté sur la courbe à partir de ce point. Ces définitions sont absolument les mêmes que pour les courbes planes; on doit remarquer seulement que, dans le cas de la courbe à double courbure, les tangentes extrêmes d'un arc ne se rencontrent pas, et que leur angle est l'angle formé par deux droites parallèles à leurs directions et menées par uu point quelconque de l'espace. L'angle infiniment petit de deux tangentes infiniment voisines se nomme angle de contingence, comme dans le cas des courbes planes, et la courbure est le rapport de l'angle de contingence à l'arc infiniment petit qui lui correspond. L'angle étant un nombre abstrait, la courbure peut
être représentée par l'inverse d'une ligne - : cette ligne p est le rayon du cercle dont
la courbure est égale à celle de la courbe au point considéré: on le nomme rayon <le courbure.
579. Lorsqu'une droite se déplace suivant une loi quelconque, et de telle manière que chacune de ses positions corresponde à une valeur attribuée à un paramètre variable, l'angle de deux positions infiniment voisines (6) est de même ordre que la variation de ce paramètre. Si la droite considérée est la tangente k une courbe, les coordonnées du point de contact peuvent évidemm^t*s'exprimer en fonction du paramètre qui la détermine, et la distance de deux points de contact infiniment voisins est, par conséquent, de même ordre que les variations de ce paramètre. L'angle des tangentes et la distance de leurs points de contact sont, d'après cela, des infiniment petits de même ordre, et la courbure, qui est leur rapport, a en chaque point une valeur finie. Les points pour lesquels elle est nulle ou infinie sont exceptionnels, et ne peuvent jamais former un arc continu. Une ligne dont la courbure est nulle en chaque point est droite, et il est impossible que la courbure soit infinie en chaque point d'une ligne sans que celle-ci se réduise à un point.
'Définition de la seconde courbure.
580. ,Le rapport de l'angle de deux plans osculateurs infiniment voisins à l'arc qui sépare leurs points de contact se nomme seconde courbure d'une courbe à double courbure. De même que la première courbure indique le plus ou moins de différence avec la forme rectiligne, la seconde courbure indique, pour ainsi dire, par la variation plus ou moins rapide du plan osculateur, la rapidité avec laquelle la courbe s'éloigne d'être plane.
Lorsqu'un plan se déplace suivant une loi quelconque, et de telle manière que chacune de ses positions corresponde à une valeur attribuée a un paramètre variable, l'angle de deux positions infiniment yoisines est de même ordre que la variation de ce paramètre.. Ce théorème, démontré pour une droite (6), s'applique évidemment au plan qui lui est perpendiculaire, et dont deux positions quelconques font un angle égal à celui de leurs deux normales. Si le plan considéré est le plan osculateur à une courbe, les coordonnée^ du point de contact sont évidemment des fonctions déterminées du paramètre qui détermine le plan, et la distance de deux points de contact infiniment voisins est par conséquent de même ordre que la variation du paramètre. L'angle de deux plans osculateurs infiniment voisins est, d'après cela, de même ordre que la- distance de leurs points de contact, et la seconde courbure a, en chaque point, une valeur finie. Les points pour lesquels elle est nulle ou infinie sont exceptionnels et ne peuvent former un arc continu que dans le cas d'une courbe plane dont les plans osculateurs se confondent, ou d'une ligne droite pour laquelle ils sont indéterminés.
Rapport des .deux courbures,
581. Le rapport des deux courbures d'une courbe en un point est égal à la courbure géodésique de l'indicatrice sphérique. Soient, en effet, M et M' deux points infiniment voisins d'une courbe à double courbure; P et F les points correspondants dé son indicatrice sphérique (566). L'arc PP' mesure l'angle de contingence formé par les tangentes aux points M et M'; les grands cercles qui touchent en P etP' l'indicrtrice sphérique ont (566) leurs plans parallèles aux plans osculateurs en M et M', et leur angle est égal, par conséquent, à celui des plans osculateurs infiniment voisins de la courbe proposée. La courbure géodésique de la courbe indicatrice en P est le rapport de l'angle des deux grands cercles tangents en P et en P' à l'arc qui sépare leurs points de contact, c'est-a-dire le rapport de l'angle formé par les plans osculateurs de la courbe proposée aux points M et M', à l'angle de contingence formé par les tangentes aux mêmes points, et c'est évidemment le rapport de la seconde courbure à la première. Pour que le rapport des deux courbures d'une courbe soit constant, il faut que la courbure de l'indicatrice
UYBE TROISIÈME. - APPUCATIONS GÉOMÉTRIQUES. 613
sphérique soit constante; sa développée, dont un arc quelconque a une longueur nulle (553), se réduit alors à un point, et l'indicatrice est un petit cercle de la sphère. La condition nécessaire et suffisante pour qu'il en soit ainsi est que toutes les tangentes à la courbe donnée fassent des angles égaux avec une droite fixe, et que celle-ci soit par conséquent une hélice tracée sur un cylindre dont les génératrices sont parallèles à la droite fixe.
Le rapport des deux courbures d'une hélice est donc constant, et cette propriété appartient exclusivement aux hélices tracées d'ailleurs sur un cylindre à base quelconque.
Cercle de courbure.
582. Le cercle de courbure d'une courbe en un point est un cercle situé dans le plan osculateur, touchant la courbe au point considéré, et ayant en ce point une courbure égale à la sienne, et de même sens.
On peut démontrer, d'après cette définition, que le cercle de courbure d'une courbe en un point est celui de la courbe plane, projection de la courbe donnée sur son plan osculateur en ce point. Lorsqu'on substitue, en effet, à une courbe sa projection sur son plan osculateur, les deux termes infiniment petits du rapport qui mesure la courbure subissent des variations infiniment petites d'ordre supérieur au premier, et par conséquent négligeables. Les parallèles à deux tangentes infiniment voisines et la projection de l'une d'elles sur le plan osculateur correspondant à l'autre, forment, en effet, un trièdre dans lequel la différence de deux faces est moindre que la troisième; or deux des faces sont ici les angles de contingence dont nous parlons, et la troisième est l'inclinaison d'une tangente sur le plan osculateur infiniment voisin, et par conséquent (567) du second ordre. On voit tout aussi facilement que la corde d'un arc infiniment petit, et celle de la projection de cet arc sur le plan osculateur à l'une de ses extrémités, ont une différence moindre que la distance de ce plan osculateur à l'autre extrémité de l'arc, et, par conséquent, du troisième ordre tout au plus; chaque arc différant de sa corde d'un infiniment petit du troisième ordre, on en conclut que la différence des arcs est aussi du troisième ordre.
La projection d'une courbe sur son plan osculateur en un pointa donc, en ce point, même courbure, et par conséquent niême cercle de courbure que celle-ci.
Cercle osculateur.
583. Le cercle de courbure d'une courbe à double courbure en est, en même temps, comme celui d'une courbe plane, le cercle osculateur, c'est-à-dire qu'il s'approche de la courbe, dans le voisinage du point de contact, infiniment plus que tout autre cercle passant par le même point.
61i PREMIÈRE PARTIE. - CALCUL DlFFÉRENTffiL.
Si l'on porte en effet sur une courbe, k partir de son point de contact M avec le cercle de courbure, un arc infiniment petit du premier ordre MM', la distance du cercle à Textrémité M' de cet arc est infiniment petite du troisième ordre. Le cercle de courbure étant en effet, d'après ce que nous avons dit, cercle osculateur de la projection de la courbe sur le plan osculateur en M, sa distance à la projection du point M' sur ce plan osculateur est du troisième ordre, et comme la distance du point M' k sa projection est elle-même du troisième ordre, la distance au cercle est l'hypoténuse d'un triangle rectangle dont les deux côtés sont du troisième ordre, et elle est, par conséquent, du même ordre qu'eux.
Aucun autre cercle tangent à la courbe en M ne peut partager avec le cercle de courbure la propriété de passer à distance infiniment petite d'ordre supérieur au second, du point infiniment voisin M'. Si en effet deux cercles différents, se touchant au point M, étaient tels que leur distance au point M' fût pour tous deux supérieure au second ordre, la distance de ces deux cercles dans le voisinage de leur point de contact serait aussi d'ordre supérieur au second; or il est impossible qu'il en soit ainsi. Si en effet les deux cercles sont dans un même plan, leur contact ne peut être que du premier ordre, et leur distance est du second ordre seulement; s'ils sont dans des plans différents, ces plans se coupant sous un angle fini suivant la tangente commune, un point pris sur l'un d'eux à distance infiniment petite du premier ordre du point de contact est à distance infiniment petite du second ordre de la tangente qui sert d'intersection aux 'deux plans, et par suite aussi à distance infiniment petite du second ordre du plan qui contient le second cercle; sa distance à ce cercle est donc tout au plus du second ordre.
Le cercle dont la distance à une courbe, dans le voisinage d'un point'^donné, est infiniment petite du troisième ordre, est par conséquent unique. Il approche de la courbe infiniment plus qu'aucun autre, et reçoit, pour cette raison, le nom de cercle osculateur; il ne diffère pas, d'après ce qui précède, du cercle de^ourbure.
Calcul du rayon de courbure.
584. La courbure d'une courbe k double courbure a été définie (578) : c'est le rapport de l'angle formé par deux tangentes infiniment voisines k l'arc qui sépare leurs points de contact. Le rayon de courbure est le rayon d'un cercle ayant même courbure que la courbe au point considéré. La courbure est égale k l'unité divisée par le rayon de courbure.
Les équations d'une courbe étant données, il est facile de calculer, en chaque
point, la courbure -• Pour cela nous chercherons d'abord l'expression de l'angle de contingence.
Soient a, |3, 7, les angles formés avec les axes par la tangente en un point M, et a -4- da, /3 h- rf]S, 7 h- ^7, les angles analogues correspondants au point voisin M'. Menons, par Vorigine 0 des coordonnées, des parallèles à ces deux directions, et portons sur chacune d'elles une longueur égale à l'unité. En joignant les extrémités T etT' de ces longueurs, on obtiendra un triangle isocèle OTT', dans lequel l'angle au sommet 0 est égal à l'angle de contingence s, que nous voulons calculer, et l'on a, par conséquent,
• TT'=2sin-£.
£ étant infiniment petit, le sinus peut être remplacé par l'arc, et la distance TT' est égale par conséquent à l'angle de contingence. Les coordonnées du point T sont cos a, cos /3, cos 7, et celles du point T', égales à ces mêmes cosinus augmentés de leurs différentielles; on a, par conséquent,
' ïï' = (rfcosa)^ + (ûfcos(3)*H-(rfcosy)^
et
e = TT' = v'i rfcos a)»H- (û^cos p)'-i- (rf cos 77'.
Cette expression est d'ailleurs applicable, évidemment, à l'angle formé par deux droites infiniment voisines quelconques, formant avec les axes des angles a, /5, 7, a 4- rfa, ]3 H- rf/3, 7 -h ^7.
La courbure - est, par définition, le rapport de l'angle e à l'arc infiniment petit
correspondant û&, et l'on a par conséquent
, X I /dcosaV . /rfcos5\» fdcosyV
Si l'on nomme 00, y, z les coordonnées du point considéré sur la courbe, et s la longueur de l'arc compté à partir d'une origine fixe quelconque, les cosinus des angles formés par la tangente avec les axes ont pour expression,
dx dy dz ds^ ds ds '
et la formule ( 1 ) donne par conséquent
,(-'i)' Mt>; j-'£)'
^""^ ç>'^ ds' ~^ ds' ^ ds'
Si l'on prend l'arc s pour variable indépendante, on a
' ds d'x ''Ss__d'y ' ds d'z
ds "" ds' ' ds "" ~d? ' ds^ ~ ~d?
et par conséquent,
Si Von veut laisser la variable indépendante indéterminée, il faut écrire
j dx
' ~ds dsd'^x — dxd^s "dl"^ S? '
et par conséquent,
I {dsd'x^dxd'sY-hidsd'y—drd'sy-hldsd'z — dzd'sy'
Cette expression peut se transformer à l'aide de l'équation , 5 ) rfjr» -h rf> » -h dz^^ = ds' ,
dont on déduit, par la différentiation,
(()) dxd^X'^d}'d\r'hdzd'Z = dsd's.
L'équation (4) peut s'écrire
I ds'[{d'xy'^{d'rY-^(d'zy]-^{d'sy(dx'-hdx'-hdz^)—2dsd's{dxd'X'hdy'd^r-\'dzd'z:
et, a cause des équations (5j'et (Gj,
i {d'xY-h{d'ry^{d'zY—{d'sY o»"~ ' ds*
ou, ce qui revient au même,
i {dx'-hdy'-hdz')[{d''xy-h(dyY-h{d'zy]—{dxd'x-hdrd'y-hdzd^zy
c'est-à-dire
,^^ I {drd'z —dzd-ry-ir(dzd^x — dxd^zy-V- (dxd^y—dr d^xy
585. La formule (3) peut s'interpréter d'une manière élégante. Soient r,/, s les coordonnées d'un point M delà courbe que nous regardons comme des fonctions de l'arc s, compté a partir d'une origine arbitraire. Le point voisin correspondant à l'arc f -h rff aura pour coordonnées, en négligeant les infiniment petits d'ordrr
supérieur au second,
dx j I d^x , .
a: -f- -7- a* H r- ds\
ds 2 ds^
dr , I rf'r j ,
rfz , I d^z , ^ ^
Si Ton porte sur la tangente en M, à partir du point M, une longueur MT égale
à ds, les coordonnées du point T sont, rigoureusement,
dx J dr J dz J
x+-g-^ds, r-h-3jds, z+^ds,
on en conclut, d'après la formule (3) du paragraphe précédent,
ds'
La différence entre Tare infiniment petit MM' et sa corde étant du troisième ordre, dans le triangle TMM', la différence des côtés MT, M' M est du troisième ordre, et infiniment petite par conséquent, par rapport a la base M'T qui est du second. On en conclut bien aisément que l'angle M'TM diffère infiniment peu d'un droit, et que M'T peut être remplacé par la distance du point M' à la tangente MT; on peut en même temps substituer à l'arc ds la ligne MM', et l'équation (2) devient alors entièrement semblable à celle qui a été démontrée (499), pour les courbes planes.
586. Le même théorème peut être présenté sous une forme différente, dont nous aurons à faire usage. La distance de l'une des extrémités d'un arc infiniment
petit 5, à la tangente passant par l'autre extrémité, est représentée par — » p désignant le rayon de courbure de l'arc.
Normale principale.
587. Lanormalequi,parlanlcl'un point d'une courbe, passe par le centre du cercle osculateur se nomme la normale principale. Les équations d'une courbe étant données, il est aisé de déterminer, en chaque point, la direction de la normale principale. Le problème est en quelque sorte résolu à l'avance par les formules qui donnent les équations du plan normal et du plan osculateur, dont la normale principale est l'intersection. Nous allons chercher cependant l'expression des cosinus des angles formés par cette normale avec les axes.
Soient M et M' deux points voisins d'une courbe, nommons s l'arc compté à partir d'une origine arbitraire et se terminant en M; s-\-ds l'arc qui se termine en M'; ds que nous regardons comme positif désignant, par conséquent, l'arc MM'. Par l'origine des coordonnées, menons deux droites OP, OP', chacune de longueur égale à l'unité, et parallèles aux tangentes en M et M'; la droite PP' est parallèle à la normale principale : le triangle OPP' étant en effet isocèle, et l'angle 0 infiniment petit, PP' est perpendiculaire à OP, c'est-à-dire à la direction de la tangente; de plus, le plan POP' qui la contient étant parallèle à deux tangentes infiniment voisines est parallèle au plan osculateur: une ligne perpendiculaire à la tangente, dans un plan parallèle au plan osculateur, est évidemment parallèle a la normale principale.
Les coordonnées du point P sont les cosinus des angles formés par la tangente en M avec les axes de coordonnées; en les nommant cos or, cos/3, cos 7, celles du point P' sont
cos a -h rf cos a, cos(3-f-rfcos (3, cos y -+- rf cos y .
) ^j (^ Les cosinus des angles X, /x, v formés avec les axes par la direction PF, sont
rr\Q. "à —
rfcosa
v'{rf
cos a )* + («/ cos P)'
-h(rfco9y)*
cos U =
rfcosp
v/(rf
cosa)*-f-(ûfcospJ'
-h(rfcosy)*
cos» =
d cos y
\/( û^ cos a )• 4- ( c? cos (3 )» + { rf cos y )*
Nous avons trouvé (584), en nommant p le rayon de courbure,
l \/{dcos aY -h (dcos^y -hjd cosyY p ds
UVRE TR<MSIÈME. - AWUCAT10N6 GÉOMÉTRIQUES. 6i9
Les formules ( i ) deviennent par conséquent
rfcosa
cos X = p
ds
rfcos6
rfcos y cos V = p — T-— ^ • ^ as
588. Il importe de distinguer sur la normale principale les deux directions opposées. Les formules précédentes se rapportent k la droite qui, partant de la
courbe, se dirige vers le centre de courbure. "T"^ ^-^ -j- sont en effet les cosinus
des angles formés avec les axes par la tangente considérée comme se dirigeant du point de contact vers le point infiniment voisin qui correspond à un accroissement positif de Tare 5. Si donc M et M' sont deux points voisins, et que les arcs soient comptés d'une origine A, les droites OP, OP', considérées dans la démonstration,
sont parallèles à MT et M'T', et dirigées dans le même sens, et la ligne qui réunit le point P au point F est évidemment dirigée dans le même sens que la normale principale qui se dirige du point M vers le centre de courbure.
Si les arcs étaient comptés en sens opposés, l'accroissement MM' de l'arc s étant
négatif, les directions définies par les cosinus -^ j 7" ' 5" changeraient de sens ,
et il en serait de même des lignes OP, OF, et la ligne PP', changeant de sens, serait dirigée en sens contraire du rayon de courbure qui, dans ce cas, forme avec les axes des- angles dont les cosinus sont désignes contraires a é/cosa, e/cos]3, e/cosy; mais comme, dans le cas actuel, ds est négatif, ces cosinus restent représentés, en valeur et en signe, par
d cosa d cosp d cos y ds ds ds
Expression de la seconde courbure.
589. La seconde courbure d'une courbe est le rapport de l'angle de deux plans osculateurs infiniment voisins à l'arc infiniment petit qui sépare leurs points de con-
tact; si Ton ûomme ^, u, Ç les angles formés par Taxe du plan osculateur avec les axes de coordonnées
^ dxd*Y — drd*x cos5= —^ '
, , drd^z — dzd^Y
dzd^x — dxd^z cos Ç = ^ -,
en posant
(i) D=\/{dxd\r—dxd^xy'+-(dxd^z — dzdyy'\'(dzd'x — dxd'zy,
on a, d'après Tune des formules qui donnent (584) Texpression du rayon de courbure p ,
et, par conséquent,
y dxdW — drd'x
dyd^z — dzd*r cos. = p • ^^
cos Ç = p rfz d*x — dxd'z
ds'
L'angle de deux plans osculateurs est égal à celui des droites qui leur sont normales : si donc par l'origine des coordonnées on mène des parallèles aux axes de deux plans osculateurs infiniment voisins et que, sur chacune d'elles, on porte une longueur égale k l'unité, la distance des points ainsi obtenus mesurera l'angle ri des deux plans osculateurs. Les coordonnées des deux points étant évidemment
COS;, cosL», cos?,
cosÇ-hrfcosg, COSL» + rfcosu, cosÇ-+-rfcosÇ, on a
(5) 7j = y/( rf cos Ç )* -f- ( J cos u )» -h ( fif cos Ç y .
Si la seconde courbure est représentée par - ? on a par définition
et, par conséquent,
^^^ 1 {dcosiy -hjd cos'^y -hjdcosl^y V
UVRE TROISIÈME. -APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES. 62i
Si Too représente, pour abréger, par
l'équatioo du plan osculateur, on a
cosÇ =
(8) COSL» =
cosÇ = on en conclut,
\/A»-hB'-hC''
V^A'-hB^-f-D'
. . (B'-hO)rfA — ABrfB — ACrfC
a cos 5 = -^ ' 5 ,
, (0-4-A»)rfB — BCrfC — BAdA
a cos u = ^ ' 5 9
, ^ (A»-+-B»)rfC — CArfA— CBJB
rf cos Ç = ^^ 1 r- >
(A'-f-B'+Op
et Ton en conclut, après des réductions faciles et indépendantes de la forme des expressions représentées par A, B, C,
73 = v^(û^cos$)*-f-(rfcosu)*-f-(rfcosÇ)*
v/(A»H-B'4-C')(rfA' + rfB'H-rfC^)— (A</A-4-BrfB-+-CrfCr A'-f-B'-hC^
OU, ce qui revient au même,
, , V^(BrfC— CrfB)»-f-(CrfA— ArfC)»-f.(ArfB — BrfA)»
mais on a
A = dfd^z — dzd^x, B = dz d^x — dxd^z , C = dxd^y — dyd^x , dk=:^dyd^z — dzd^y^ dBz=dzd^x — dxd^z, dC=dxd^y — dyà^x;
on en déduit
AdB — BrfA BrfC — CrfB CrfA — ArfC
dz dx "^ dy
=z—d'x dk — dydB — d'z dC ;
et
et enfin,
yj I dKd^x -h dBdy-h dCd'z
__ dsjdXd'x-hdBd'r-hdCd'z) "■ A^ -h B^ -h C
On a trouvé (584) A'
Ts
A'-f-B^-hC»
B'-^O = [{d'xY^(dyY'-h(d'Z'y—{d'sy]ds', et l'expression de - peut, d'après cela, être mise sous la forme
i. dXd^x -h dBd'x-hdCd'z
r "" d*» [(À?^j:)^-h-(rfy)»4-(rf'z)'— (rf'j)»] '
ou encore, ce qui revient au même, d'après les valeurs de rfA, rfB, rfC,
^__. Arf»x-f-Brf»j-hCrf^^
r~^ ds'[(d'xy-h{d\r)*'^(d^zy—(d'sY]
Formules de M. Serret.
590. On peut considérer en chaque point d'une courbe à double courbure trois droites rectangulaires dont la position est intimement liée aux affections de la courbe, savoir : la tangente, la normale principale, et la perpendiculaire au plan osculateur. Nous avons fait connaître les formules qui expriment les cosinus des angles formés par chacune de ces directions avec les axes. Les différentielles de ces cosinus s'expriment aussi d'une manière élégante et satisfont à des équations importantes données par M. Serret, et que nous allons faire connaître.
Soient a, j3, 7, les angles formés avec les axes par la tangente en un point de la courbe; 4,u,Ç, les angles formés par la perpendiculaire au plan osculateur; X, ji,v, les angles formés parla normale principale.
- et - désignant toujours les deux courbures de la courbe, on a (587)
cos ). = p
rfcOSi
~dr
dcosû
rfcosy cosv=p-^;
00 en conclut
j ds ^
a ces a = — ces/,
P {2) rfcos(3= — cos/ji,
, ds
{/cosy = — ces V.
Les différentielles des angles Ç, u, Ç peuvent s'exprimer d'une manière analogue: si, en effet, par l'origine des coordonnées, on mène des perpendiculaires à deux plans osculateurs infiniment voisins, et que, sur chacune d'elles, on porte une longueur égale à l'unité, la droite qui réunit les deux points ainsi obtenus est évidemment perpendiculaire k l'axe du plan osculateur et parallèle par conséquent à .ce plan; elle est de plus dans un plan perpendiculaire à l'intersection des deux plans osculateurs infiniment voisins, et parallèle par conséquent au plan normal; il résulte de ces deux conditions qu'elle est parallèle k la normale principale, et forme avec les axes les angles X, jm, v; les deux points réunis par cette droite ont pour coordonnées,
cosÇ, cosu, cosÇ, cos^-hrfcos^, cosv-f-rfcosL», cos Ç-HrfcosÇ;
on a, par conséquent,
dcosl
cos X =
( 3 ) cos a =
cosv
\/(JcosÊ)*+(rfcosu)'-f-(û^cosÇ)'
rfC0SL>
V^(rfcosÇ)'-f-(rfcosy)'-h(rfcosÇ)* rfcosÇ
v/(rfcos5)'-f-(ûfcosu)*-h(rfcosÇ)' Mais en nommant v? l'angle de deux plans osculateurs voisins, on a
Yi = sUdcosiy-i-idcosvy-hldcos'Çy = -^ :
les équations (3) deviennent, d'après cela,
^ d cos £ cos A= r — T — ' 5 as
rfcos v
d cos Ç cos V = r — j—^ 5
et par conséquent,
, V ds cos X
rf cos 2 = j
, ds cos a
a cos xt = ^ ?
ds cos V
rfcosÇ =
591. Les différentielles des trois autres cosinus e/cosX, dco^ii, dcosv^ se déduisent de celles que nous venons d'obtenir. Les trois droites que nous considérons formant en effet un triëdre trirectangle, la somme des carrés des cosinus des angles qu'elles forment avec une droite quelconque, Taxe des X par exemple, est égale a l'unité, et l'on a
( I ) cos' a -h cos' X -T- cos' Ç = i ; <
on en conclut •
( 2 ) cos a dcos a -f- cos X d cos X -h cos Ç d cos S = o ,
et par conséquent, .
j -k cos a , . cos E , y
3 rfcosX = rrfcosi -dcost^
^ ' cos X i cosX ^
c'est-à-dire, à cause des valeurs trouvées pour rfcosu et rfcosÇ,
//v j -i /cos a cosE\ ,
(4) . rfcosX = — f— --f---j^jrf5.
On trouvera de même
j 7 cos (3 cosv\ , d cos fx = — ; ( !- H 1 a5,
, /cos y , cos Ç\ , rf cos V = — 2- H ds.
592. Les formules précédentes permettent de calculer pour une courbe quelconque les dérivées de l'une des coordonnées par rapport à l'arc, en fonction des angles qui définissent la tangente, des deux courbures de la courbe et de leurs dérivées.
On a, en effet,
dx
-y- = cos a, ds
d^x dcos a i .
:= - cosX,
ds^ ds p
dd^x -. p I ûfcosX ^"p I /cos a cosH\
-Tt- = cos X -y- H -j — = cos X --j^ { 1 ^
ds^ ds p ds ds p \ p r
rf- . , di
et il est clair que les dérivées suivantes pourront se calculer successivement, en remplaçant e/cosX, ^cos a et dcos Ç par leurs valeurs; on n'y verra figurer avec les
trois cosinus que les courbures-? - et leurs dérivées.
j4xe du plan osculateur.
593. La perpendiculaire élevée au plan osculateur par le centre du cercle osculateur est souvent nommée axe du cercle osculateur. Cette droite est l'intersection de deux plans normaux infiniment voisins.
Soient^ en effet, MM' un arc infiniment petit d'une courbe à double courbure, et MM< la projection de cet arc sur le plan osculateur en M : l'intersection des deux plans normaux aux extrémités de l'arc plan MM| est évidemment l'axe du cercle osculateur de cet arc MM,, c'est-à-dire aussi celui de MM' qui, nousl'avons vu (582), est précisément le même. Il suffit donc de prouver que sans altérer la limite de cette intersection, on peut remplacer le plan normal en M, à l'arc MM/, par le plan normal en M' a l'arc MM'. L'angle formé par les deux plans que nous voulons ici substituer l'un a l'autre est égal a celui des tangentes auxquelles ils sont perpendiculaires, c'est-à-dire à celui de la tangente à l'arc MM' avec le plan osculateur en M; cet angle (667) est infiniment petit du second ordre. Pour faire coïncider le plan normal à MM' en M' avec le plan normal à MM,, en M,, il suffit donc de le faire tourner d'un angle infiniment petit du second ordre autour d'une certaine droite passant par le point M', et de faire parcourir ensuite à tous ses points des droites infiniment petites du troisième ordre égales et parallèles à MM, : il est aisé de voir que chacun de ces deux déplacements change infiniment peu l'intersection avec un plan fixe qui forme avec le plan considéré un angle infiniment petit du premier ordre.
594. Le calcul conduit aisément à la même conclusion. Soient x,^, z les coordonnées du point considéré sur une courbe à double courbure. L'équation du plan . normal est
(i) , (/ — a;)dx'{-{u — j)rf/-l-(i' — z)dz = o.
Pour obtenir l'équation du plan normal infiniment voisin, il faut changer x, y, z enx-hdjc.y-hdy, z-^dz respectivement, et, par conséquent, augmenter le premier membre de l'équation (i) de sa différentielle. La droite d'intersection des deux plans normaux s'obtiendra par conséquent en combinant l'équation (i) avec sa différentielle
(2) {t'^x)d*x-\-(u — x)d^X'h(v — z)d^^~dx^ — dx^ — dz^ = o.
096 PRBMIÊaŒ PARTIE. - CALCUL DiFKËRENTIEL.
Si Ton représente l'équation du plan osculateur par
on a (574)
A rfx -f- Brf; M- Crfz = o,
Ad'^-hB(/»j-i-Crf*JS=o.
Ces équations montrent que les plans représentés par l^^équations (i) et (2) sont l'un et l'autre perpendiculaires au plan osculateur, auqttel par conséquent leur intersection est normale. Cette intersection passe de plus parte centre de cour* bure, qui, étant situé sur la normale principale, à la distance p du point x, y, 2, a pour coordonnées
rf»x d'r , rf'2
Ce» coordonnées substituées à /, m, r satisfont aux équations (i) et (a), en vertu des relations connues
dxd'X-^dyd^y^-^dzd^z = a,
595. Le centre de courbure étant situé, d'après ce qui précède, sur la droite d'intersection de deux plans normaux infiniment voisins, peut être évidemment considéré comme l'intersection de la normale principale avec celle des normales infiniment voisines qui la rencontre.
Surface lieu des normales principales.
596. Les normales principales d'une courbe forment une surface réglée qui n'est jamais développable. Pour le démontrer, remarquons que la surface lieu des normales principales à une courbe a pour plan tangent, en chaque point de cette courbe, le plan osculateur même de la courbe. Ce plan tangent contient en effet deux lignes situées dans ce plan osculateur^ et qui sont la normale principale au point considéré qui sert de génératrice à la surface, et la tangente à la courbe donnée qui évidemment appartient à la surface; si donc la surface, lieu des positions de la normale principale, était développable, chaque plan tangent étant le même le long d'une génératrice, elle serait l'enveloppe des plans osculateurs de la courbe proposée; mais (571) l'enveloppe des plans osculateurs d'une courbe est la surface développable lieu des tangentes à cette courbe, qui est évidemment distincte de la surface lieu des normales principales : il y a donc contradiction à
UYRE TMXSIÈUE. - APPUCATIONS GÉOMÉTRIQUES. «27
admettre que cette dernière soit développabte. Les courbes planes font seules exception. La surface lieu des normales principales, et la surface lieu des tangentes, se confondent alors en un seul et même plan qui est celui de la courbe.
597. Il résulte de la remarque précédente que le lieu des centres de courbure d'une courbe a double courbure n'a pas pour tangentes les normales principales de cette courbe. Si cela était, en effet, les normales principales, étant tangentes à une même courbe, formeraient une surface développabie : c'est là une différence essentielle entre la théorie des courbes à double courbure et celle des courbes planes* Les courbes k double courbure ont, il est vrai, des développées dont nous étudierons la théorie dans un autre chapitre; mais c'est dans le seul cas des lignes planes, que l'une d'elles se confond avec le lieu des centres de courbure.
Quelques pages écrites par d'illustres géomètres ont ajouté un intérêt historique à l'importance propre de la remarque précédente. Lagrange, en effet, en écrivant la théorie des fonctions analytiques, croyait que le lieu des centres des cercles osculateurs peut, dans certains cas, avoir pour tangentes les normales principales de la courbe; il cherche même la condition nécessaire pour qu'il en soit ainsi, et ne reniarque pas^ quoique Monge l'eût dît depuis longtemps, que les courbes planes satisfont saules à cette condition. L'erreur échappée à l'illustre auteur a été signalée par Jacobi, et niée par Poisson, qui, se méprenant sur le passage critiqué, contesta d'abord l'exactitude de l'observation qu'il ne tarda pas d'ailleurs à reconnaître; peu de temps après, Poinsot montra que l'analyse même de Lagrange conduit à la conclusion exacte, qu'il n'eut pas manqué d'apercevoir en poussant les calculs un peu plus loin.
598. Les formules que nous avons fait connaître permettent d'ailleurs de démontrer analytiquement d'une manière fort simple que les normales principales ne sont jamais tangentes à la courbelieu des centres de courbure.
Soient a?, y, z les coordonnées d'un point de la courbe; a, 6, c celles du centre de courbure : on a, en adoptant les notations du paragraphe précédent,
à = a: + pC0sX, b=jr -+• pCOSfX,
c = Z -hp cos V ;
da = dx-{-pd cos X -h cos X rf p ,
db = dx -h pd cos fi -{- cos iidp y
de =^dz-\-pd cos V H- cos v dp.
Mais si la courbe dont les points ont pour coordonnées a, 6, c est tangente a la normale principale, le rayon de courbure étant tangent à la courbe parcourue par une de ses extrémités, et normal à celle que décrit l'autre, son aoeroissement dp est
égal (21) au déplacement de cette extrémité, et Ton a
rfa=cosXrfp, db = cosiJLdpj dc = cosvdp.
Les équations se réduisent par conséquent, dans ce cas, à
rfa?-f-prfcosX= o, d?j-|-prfcos/:x=o»
dz+pd cos V = o .
En remplaçant dans cette équation dx, dy, dz par leurs valeurs cosa&, cos^ds, cos 7£fr, et ^cosX, rfcos/x, rfcos v, par les valeurs trouvées (590), on en déduit
£cosH = o,
- cos u = o ,
° cosÇ = o.
Le rayon de courbure ne pouvant pas (579) être nul, ces équations exigent que r soit infini, et que par conséquent la courbe soit plane.
599. Apres avoir démontré que les normales principales d'une courbe ne peuvent pas former une surface développable, il est naturel de se demander si cette condition est la seule qui leur soit imposée, et si toute surface gauche peut être considérée comme le lieu des normales principales à une courbe tracée sur elle. Mais la solution de cette question devant emprunter quelques résultats à la théorie des surfaces, elle trouvera sa place dans un autre chapitre.
Pour compléter en ce moment l'étude de la loi de distribution des normales principales a une courbe, nous allons chercher l'expression de l'angle formé par deux normales infiniment voisines, et la grandeur et la position de leur plus courte distance.
Soient MM' un arc infiniment petit pris sur une courbe à double courbure, MN la normale principale en M, et M'N' la normale en M' : ces deux droites ne se rencon-
trent pas; mais parmi les normales menées par le point M' à la courbe MM', il en
est une M'O qui rencontre MN; et le point d'intersection 0 est (595) précisément le centre de courbure de MM'. Les deux normales MO, M'O se rencontreot en eiîet nécessairement sur Tintersection des plans normaux en M et en M', c'est-k-dire sur Taxe du cercle osculateur, et la droite MN, étant située dans le plan oscuiateur, coupe nécessairement cet axe au centre m.éme du cercle osculateur.
L'angle formé par les droites M'O, M'N' est égal, en négligeant les infiniment petits du second ordre, à Tangle des plans osculateurs aux points M et M'. Le plan qui contient M'O et M'N' est en effet le plan normal au point M'. 11 fait avec le plan NMM', qui diffère infiniment peu du plan osculateur, un angle infiniment peu différent d'un angle droit, et l'angle OM'N' peut être regardé comme l'inclinaison de M'N' sur le plan NMN'. Ce dernier forme avec le plan osculateur en M un angle infiniment petit du premier ordre ; mais, pour le faire coïncider avec lui, il suffit de le faire tourner autour de MO : les distances des différents points de M'N' à ce plan ne seront, par là, altérées que d'infiniment petits du second ordre, et par suite M'N' forme avec le plan oscillateur en M et avec le plan NMM' des angles dont la différence est infiniment petite du second ordre; mais l'intersection des plans osculateurs en M et M' diffère (569) infiniment peu de la tangente; M'N', qui appartient à l'un de ces plans, est donc, à la limite, perpendiculaire à cette intersection, et son inclinaison sur l'autre plan peut, par conséquent, être prise pour mesure de l'angle
des deux plans. Si Ton désigne MM' par ds en nommant toujours - la seconde courbure, l'angle OM'N' est par conséquent égal à —•
600. Si par un point quelconque de l'espace on mène des parallèles aux trois droites MN, M'N', M'O, on formera un angle trièdre rectangle. Le triangle sphérique correspondant peut être regardé comme rectiligne, et par conséquent le carré de la face opposée à l'angle droit est égal à la somme des carrés des deux
autres; or, l'angle de M'N' avec M'O est, on vient de le voir, égal à — » MO étant
égal au rayon de courbure p, l'angle de MO avec M'O est — > le troisième angle, celui de M'N' avec MN, est donc égal à
Telle est l'expression de l'angle formé par deux normales principales infiniment voisines. L'angle trièdre infiniment petit que l'on vient de considérer fait connaître aussi l'inclinaison du plan osculateur qui est parallèle à une de ses faces, sur le plan parallèle à deux normales infiniment voisines, lequel est parallèle à la face
630 PREMIÈRE PARTIE. — CALCUL Nn^ÉRENTIBL.
opposée à l'angle droit; cet angle a pour cosinus le rapport des deux faces qui te comprennent, c'est-à-dire
ds
la tangente est égale par conséquent à ^•
Le pian parallèle aux deux normales principales peut être considéré comme passant par Tune d'elles MN, suivant laquelle il coupera évidemment le plan osculateur; l'angle qu'il forme avec ce plan osculateur est par conséquent égal à son in> clinaison sur la tangente à la courbe perpendiculaire à MN, et égal par conséquent au complément de l'angle formé par la tangente avec la plus courte distance des
deux normales principales. La tangente de cet angle est, d'après cela, égale à -•
Si la courbe est plane, - est infini; dans ce cas, en effet, la plus courte distance
est nulle, mais sa direction, toujours déterminée, est perpendiculaire au pian de la courbe, et par conséquent à la tangente à celle-ci.
La direction de la plus courte distance des normales infiniment voisines étant connue, il est facile d'en calculer la longueur, qui est égale, en effet, à la projection de l'arc ds sur cette direction connue, c'est-à-dire au produit de ds par le cosinus
de l'angle dont la tangente est-
La plus courte distance de deux normales infiniment voisines e»t d'après cela
ds
Sphère osculatrice.
601. Lorsqu'une sphère passe par le cercle osculateur d'une courbe, en un point M, la distance de cette sphère à un point M^ situé sur la courbe à distance infiniment petite du premier ordre de M, est moindre que la distance du même point M' au cercle osculateur, et par conséquent du troisième ordre tout au plus. Mais parmi toutes ces sphères il en est une qui s'approche de la courbe infiniment plus que les autres, et dont la distance au point M' est infiniment petite d'ordre supérieur au troisième. Nous allons démontrer l'existence de cette sphère que l'on nomme sphère osculatrice, et déterminer son rayon et la position de sou centre.
UVRE TRQISIÈIŒ. ~ APPUCATIONS GÉOMÉTRIQUES. 631
ConaidéroQS une courbe à double courbure, et le cercle osculateur en un point M. Soient M' un point de la courbe infiniment yoisin de M, et M'P la distance du point M'
au cercle osculateur en M. M'P est infiniment petit du troisième ordre. Concevons une sphère passant par le cercle osculateur MP. La distance du point M' à cette sphère sera une droite M'P', normale à la sphère, et qui formera avec M'P un triangle rectangle à la limite, et dont M'P est l'hypoténuse. M'F est donc moindre que M'P, et le rapport de ces deux lignes est le sinus de Tangle en P, c'est-à-dire le sinus de l'angle sous lequel M'P coupe la sphère. Si donc la sphère est tangente à la droite M'P, le rapport des deux distances a pour limite zéro,, et la première étant infiniment petite du troisième ordre, la seconde est d'un ordre supérieur. La sphère pour laquelle cette condition est remplie se nomme sphèf e osculatrice ; elle est déterminée par un cercle qu'elle contient et une droite qui lui est tangente en un point de ce cercle.
602. Nous nous arrêterons ici pour montrer par un nouvel exemple combien de précautions minutieuses sont nécessaires quand on raisonne sur les infiniment petits. Lorsqu'un point est à une distance infiniment petite d d'une sphère, le carré de la tangente menée de ce point à la sphère est le produit de d par une ligne finie égale à la limite au diamètre de la sphère, et si par conséquent la tangente est un infiniment petit du troisième ordre, la distance d est du sixième. On pourrait se croire autorisé, d'après cela, à affirmer que la distance de la courbe à la sphère osculatrice est infiniment petite du sixième ordre. La ligne M'P, dans la démonstration précédente, est en effet du troisième ordre, et si elle est tangente à la sphère osculatrice, la normale à cette sphère doit être du sixième ordre. Mais ce raisonnement, qui semble si simple, est inexact; la sphère osculatrice est en effet la sphère limite de celle qui passe par le cercle osculateur en M, en touchant la ligne M'P; pour une position quelconque du point M', la distance M'P' n'est pas tangente à la sphère osculatrice, elle la coupe seulement sous un angle qui tend vers zéro, et cette circonstance suffit pour que la tangente issue du point M' soit infiniment plus longue que la droite M' P'.
Soient en efîet M'T la tangente, et WV la droite tangente à la limite, et qui coupe la sphère sous un angle infiniment petit :
on a
MX sinMPT M'F""sinM'TP' '
les deux sinus sont nuls à la limite, mais rien ne prouve que leur rappoA: soit fini: nous devons donc attendre l'étude analytique de la question pour dire avec précision quel est Tordre de la distance d'une courbe à la sphère osculatrice. Notre démonstration prouve seulement ici qu'elle est d'ordre supérieur au troisième.
Détermination de la sphère osculatrice.
603. Après avoir démontré l'existence, en chaque point d'une courbe, d'une sphère osculatrice dont la courbe s'éloigne dans le voisinage du point de contact, infiniment moins que du cercle osculateur, nous allons donner le moyen de former l'équation de cette sphère, et d'en déterminer le centre et le rayon.
Soit
(i) (i^ay-hiu — by-hiv — cy—R'^o
l'équation de la sphère osculatrice au point de la courbe dont les coordonnées sont X, y, z. La distance, à cette sphère, du point de la courbe infiniment voisin du point de contact doit être infiniment petite d'ordre supérieur au troisième (602): or cette distance est de même ordre que le carré de la tangente menée du même point à la sphère, et représenté, comme on sait, par le premier membre de l'équation (i). Les constantes a, 6, c, R doivent donc être telles, que l'équation (i) soit satisfaite, quand on y fait / = .r, u=y, ç = z, et que de plus le premier membre devienne infiniment petit d'ordre supérieur au troisième, lorsqu'on y remplace X, y, z par les coordonnées d'un point voisin pris sur la courbe, a distance infiniment petite du premier ordre. Si nous regardons x, y, z comme des fonctions données d'une variable a, dont l'accroissement doc correspond au déplacement considéré sur la courbe, cette condition revient à dire qu'en changeant a en a + da, dans le premier membre de (i), et développant ensuite suivant les puissances
de û?«, les termes en rfa, da? et rfa* ont des coefficients nuls. On doit par conséquent égaler à zéro les trois premières dérivées du premier membre, ou, ce qui revient au même, les trois premières différentielles que l'on calculera en laissant la variable indépendante indéterminée.
On aura donc, pour déterminer les coordonnées a, è, c du centre de courbure,
[x — a)dx -{-[y — h)dy-\-[z — c)rf2 = o, { 2 ) [x^a)d^x H- ( J— 6) rf\r-f [z—c) d'z-^dx^ -^ dy^^dz^ = o, '^.
( X — a)d^x 4- {y — b ) d^y -h ( z — c) d^z -^dxd^x -T^dyd\r-fyiz d'z = o.
604. Les trois équations précédentes expriment que le centre de la sphère osculatrice est le point commun à trois plans normaux infiniment voisins. La première des équations (a), si l'on y considère a* b, c comme variables, représente en effet le plan normal au point {xyy^z)^ et les deux suivantes, qui en sont les différentielles première et seconde, étant combinées avec elle, représentent le point commun aux trois plans normaux infiniment voisins.
Les plans normaux d'une courbe enveloppent une surface développable qui a pour génératrices les axes des plans osculateurs; l'arête de rebroussement à laquelle toutes les génératrices de la surface sont tangentes a (571 ) pour plans osculateurs ces plans normaux eux-mêmes, et chaque point de cette arête de rebroussement, pouvant être considéré comme le point commun à trois plans osculatieurs infiniment voisins, coïncide avec le centre de la sphère osculatrice, intersection des trois plans normaux infiniment voisins à la courbe donnée.
Le centre de la sphère osculatrice en chaque point d'une courbe est par conséquent le point correspondant de l'arête de rebroussement de la surface développable enveloppe des plans normaux de la courbe donnée, et qui a pour génératrices les axes des cercles osculateurs.
605. Le centre de la sphère osculatrice est, d'après ce qui précède, le point de rencontre de trois plans normaux infiniment voisins. Pour en calculer les coordonnées, il faut combiner l'équation du plan normal avec ses deux premières différentielles; mais on peut aisément donner à ces équations une forme plus simple qui conduira à un résultat plus élégant.
En nommant, comme nous l'avons fait (590) a, /3, 7, les angles formés par la tangente avec les axes des coordonnées, l'équation du plan normal est
( I ) [t— x) cos a H- ( M — / ) cos ^-h{v — <2)cosy = o;
la différentielle divisée par ds est
, .,, .rfcosa , .rfcosS , .rfcosy dx ^dr dz
ËQ nommant X, jx, v les angles de la normale principale avec les axes, cette équation devient, en vertu des formules démontrées (587),
(3) - [{t — jc)cos >.-!-( u — j)cos/:zH-(t/ — 2)eosv] — i =o.
Avant de la différentier une seconde fois, il est évidemment permis de la multiplier par p, et d'y substituer
( 4 j ( / — J^) cos l-h{u — y) cos y.-^ii' — z) cos V — p = o ;
la différentielle est
- ,rfcos>. , dcosu. , , d cos y dp
OU, en remplaçant — -i — ? , ' ? — ^ — par leurs valeurs (591), I équation [3] peut donc s'écrire, en multipliant par r,
(6) {i — X) cos ^ -h (m — /)cos'j-i-(t^ — z) cos^ — /• -^ = o;
elle représente un plan parallèle au plan oscillateur, et passant par le centre de la sphère osculatrice dont les coordonnées /, u, v seront déterminées par les équations (1), (4), (6).
Si l'on fait passer dans le second membre les derniers termes de ces équations et qu'on les ajoute ensuite après les avoir élevées au carré, en ayant égard aux relations qui lient les cosinus des angles formés avec les axes par trois droites rectangulaires, on trouvera
c'est l'expression du carré du rayon de la sphère osculatrice.
606. On peut arriver au même résultat par des considérations purement géométriques.
Le centre de la sphère osculatrice est situé en effet sur l'arête de rebroussement de la surface lieu des axes des cercles osculateurs.
Soient M et M' deux points infiniment voisins de la courbe considérée, etdi l'arc infiniment petit MM'; MO, M'O' les rayons de courbure correspondants, et OC, O'C les axes des cercles osculateurs que l'on peut considérer comme se coupant au centre C de la sphère osculatrice. La ligne MO, étant située dans le plan normal
à MM', est tangente a la surface développable, et les directions OM, 00', OC sont par conséquent dans un même plan. Soitin l'angle OCO' formé parles axes des cer-
des osculateui*s en M et M'; on a, en désignant comme précédemment la seconde courbure par --. .
ds
Si l'on pose OC = /, et que 6 désigne l'angle O'OC, on a évidemment aussi
OO'.sin0
et par conséquent
/^OO^sine ds
Les lignes MO, M'O', étant normales à MM', leur différence dp est égale (2i ) à 00' cosfMO, M'O');* mais MO ét^nt perpendiculaire à OC, on a
et par conséquent on en conclut
cos(MO, M'O') = sin0, 00'sïne=zdp;
; dp
et lé rayon MC de la sphère étant l'hypoténuse du triangle MOC, on a en fin
ds
607. Lorsque la courbure d'une courbe est constante, on a -^ = o, et l'équa-
lion précédente donne R = p. Le cercle osculateur est, dans ce cas, un grand cercle de la sphère osculatrice. La longueur désignée par / est alors égale k zéro. L'arête de rebroussement de la surface enveloppe des plans normaux est donc, dans ce cas, le lieu des centres de courbure. Monge a remarqué que cette courbe a, comme la proposée, un rayon de courbure constant, et que chacune d'elles est alors le lieu dès centres de courbure de Tautre.
Nommons en effet S la courbe proposée, et 2 Tarète de rebroussement de la surface enveloppe des plans normaux qui, dans ce cas, est à la fois le lieu des centres de courbure et des centres des sphères osculatrices. Les tangentes à la courbe 2 sont les axes des cercles osculateurs de S, et par conséquent les plans normaux de 1 sont les plans osculateurs de S; l'enveloppe de ces plans normaux est donc une surface développable dont S est l'arête de rebroussement, et par conséquent la courbe S est le lieu des centres des sphères osculatrices de la courbe 2. Les deux courbes S et 2 étant telles, que le plan normal à chacune est osculateur de l'autre, et la normale principale étant l'intersection du plan osculateur avec le plan normal, les deux courbes ont mêmes normales principales, et ces normales réunissent leurs points correspondants. Il en résulte que pour la courbe 2, comme pour la courbe S, le rayon de la sphère osculatrice se confond avec la normale principale, et que S, lieu des centres des sphères osculatrices de 2, est aussi le lieu de ses centres de courbure.
Détermination de quelques grandeurs infiniment petites,
608. Distance d'un point dune courbe au plan osculateur infiniment voisin. — Soit MM' un arc infiniment petit de courbe à double courbure que nous désignerons paresb; projetons cet arc sur un plan perpendiculaire à la tangente en M.
Soient P la projection du point M, F la projection de M', PT la tangente k la courbe P' au point P, et P'T' la tangente en F.
Le plan osculateur de la courbe MM' au point M est MPT; il est parallèle à MF, et par conséquent la distance que nous voulons évaluer est égale à la perpendiculaire P'Q, abaissée du point P' sur ce plan, ou, ce qui revient au même, sur la ligne PT. On a, en réunissant les points P et F par une ligne droite, pour former le triangle rectangle QPP',
(i) FQ = PP'sinQPP'.
Le facteur PP', distance du point M'^à la tangente en M, est infiniment petit du second ordre, et Ton a (586)
