THÉORIE DE LA COURBURE DES SURFACES
Courbure des sections normales.
624. La courbure d'une surface en un point n^offre pas une idée aussi simple que celle d'une ligne courbe, et pour la faire connaître il semble nécessaire de déterminer, non-seulement les courbures des sections, mais encore celle des lignes à double courbure qui passent par le point considéré. Ces diverses courbures sont liées, pour une surface quelconque, par des lois remarquables que nous allons faire connaître dans ce chapitre.
Nous étudierons d'abord la courbure des sections faites dans la surface par les plans normaux. Prenons pour axe des Z la normale OZ en un point 0 de la surface considérée, et pour axes des X et des Y des droites perpendiculaires l'une à l'autre, menées dans le plan tangent en 0. Soit z = (f{x, y) l'équation de la surface rapportée à ces axes. ^» j- ^t ^ sont évidemment nuls tous les trois lorsque Ton suppose 07 = o, ^ = o. Nous allons chercher la courbure de la section faite dans la surface par un plan conduit suivant l'axe des z, et incliné d'un angle a sur le plan ZOX. L'équation d'un tel plan est j =a? tang a.
Rapportons la courbe suivant laquelle il coupe la surface donnée à deux axes situés dans son plan, dont l'un OZ soit précisément] t'axe des Z, et l'autre 0X| la trace de ce plan sur celui des XY. En nommant x^ et z, les coordonnées d'un point quelconque de la courbe par rapport à ces nouveaux axes, et x, /, z celles du même point par rapport aux axes primitifs, on a évidemment
( I ) x=i Xx cos a ,
y=Xx sina,
et par conséquent, le point étant situé sur la surface dont l'équation est 5 = (p (a:, j), oji a
2, =:(p(^, cosa, ^, sina):
c'est l'équation de la courbe rapportée aux axes OZ, OX,, situés dans son plan. Le
demment tangente k Taxe des X,. Pour calculer -^^ il suffit de différentier deux
•' LIVRE TROISIÈME. - APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES. 65i
rayon de courbure est donné par la formule
dx]
dz dans laquelle il faut supposer ar, =o, et par suite -t-^ = o, car la courbe est évi-
d^ z V|. rour calculer
fois par rapportât?, l'équation
en se rappelant les relations (i); on obtient ainsi
, dz dz dx dz dr dz , dz
dxy dx dxx dy dx, dx dy^
et en différentiant de nouveau par rapporta a?,,
Les formules (3) et (4) se rapportent à un point quelconque de la courbe d'intersection; pour en déduire les valeurs des dérivées relatives au point 0, origine des
coordonnées, il faut y supposer 07 = 0, j= o, et on a alors ^ = <^> ^ =0; les dérivées du second ordre -j-^y . 7 ^— ^ prennent des valeurs déterminées que nous représenterons par A, B, C, et nous aurons
dz
^-j = A cos' a -h 2 B sin a cos a -h C sin* a ;
z ne différant pas de 24, les valeurs substituées dans l'équation (2) font connaître le rayon de courbure p, et Ton a
A cos' a -H 2 B sin a cos a -t- C sin^' a
Cette formule résout complètement le problème; elle montre que la loi suivant laquelle varie le rayon de courbure p est toujours la même, et que les valeurs numériques des trois constantes Â, B, C varient seules d'une surface à l'autre.
625. Il peut sembler bien extraordinaire, au premier abord, que la loi suivant
laquelle varient les rayons de courbure des sections d'une surface soit déterminée indépendamment de la définition particulière de celle-ci. Rien ne semble en efTet rattacher les unes aux autres les diverses valeurs du rayon de courbure. Lorsque l'on se donne un point d'une surface et la normale en ce point, les sections faites dans la surface par les divers plans conduits suivant la normale restent arbitraires et indépendantes les unes des autres. Quelles que soient les courbes, pourvu qu'elles se succèdent en se déformant suivant une loi continue, leur ensemble formera une surface, et rien ne restreint évidemment la loi suivant laquelle peuvent varier les rayons de courbure. Ce raisonnement.bien simple montre seulement que le théorème précédemment démontré doit présenter des exceptions. Sa démonstration ellemême, si on l'examine de près, conduit d'ailleurs à la même conclusion. Nous
avons admis en effet que les dérivées -r— ,» j-j- » t-; prennent, lorsqu'on y suppose a; = o, j = o, des valeurs déterminées qui ont été désignées par A, B, C; or il peut arriver que ces expressions, quoique fonctions déterminées de x et dey, deviennent indéterminées pour ce système particulier de valeurs. C'est ce qui a lieu
par exemple lorsqu'elles dépendent du rapport -^ » dont, pour a? = 0,^ = 0, la valeur est arbitraire. Ces exceptions, qui ne peuvent se présenter qu'en des points singuliers de certaines surfaces, ont d'ailleurs peu d'importance, elles n'infirment pas plus la théorie générale de la courbure, que l'existence d'un point anguleux tel que le sommet d'un cône n'infirme celle du plan tangent.
626. La courbure - d'une section normale quelconque a pour expression
- = A cos' a -4- 2B sin a cos a -f- C sin' a.
Les constantes A, B, C, qui varient d'une surface à l'autre, et d'un point a l'autre sur une même surface, suffisent, quand elles sont connues, pour déterminer les courbures de toutes les sections normales.
Lorsque l'angle a varie, le trinôme qui représente - passe par une valeur
maxima et par une valeur minima que l'on obtiendra toutes deux en égalant la dérivée à zéro ; on a ainsi
(C — A) sin 2 a -h aBcos 2a = o, aB
lang 2 a =
Cette équation fournit pour a un nombre infini de valeurs auxquelles correspondent, comme on sait, deux directions perpendiculaires l'une à l'autre. La seconde
dérivée de - est p
a (C — A)cos2a — 4^sîi^2^*
Si Ton y remplace successivement a par les deux valeurs a, et a< h- -, qui annulent la première dérivée, on obtient évidemment deux résultats de signes contraires. L'une de ces valeurs correspond par conséquent à un maximum, et Tautre a un minimum.
627. Les deux sections normales, perpendiculaires Tune à l'autre, et dont les courbures sont maxima et minima, se nomment les sections principales de la surface au point considéré.
Si nous prenons les plans de ces deux sections, dont l'existence est maintenant démontrée, pour plan des ZX et pour plan desZY, les valeurs maxima et minima de
la courbure correspondront à a = o, a= - , et l'on aura alors, pour l'une et pour
l'autre,
tang2a = o;
la constante désignée par B doit par conséquent être égale à zéro, et l'expression de la courbure d'une section quelconque prend la forme
( I ) - = A cos^ a -h C sin* a.
Pour obtenir les courbures maxima et minima que nous nommerons ij- et -^ 9 il
faut faire successivement a = o, a= - , et l'on trouvera tt- = A, tt- = B> en sorte
que l'expression générale de la courbure d'une section normale peut se mettre sous la forme
(a) - = -5- cos* a -h ô" sin' a.
De cette équation on déduit un théorème remarquable.
Si l'on considère deux sections normales perpendiculaires l'une à l'autre, on obtiendra leurs courbures au point 0, en remplaçant successivement dans l'équation (2) a par deux valeurs &> et w 4- - 5 on aura ainsi
- = |r- COS*W-|- rr-Sm'w, Pi K|. Ka
on en déduit
- = =- sm* w -h ^ cos' w;
Pa ti| Kj
Pi Pi Ri Ri
65i PREMIÈRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL.
c'est-à-dire que la somme des courbures de deux sections perpendiculaires Tune à
Vautre est constante et égale à la somme des courbures maxima et minima.
628. Nous devons remarquer que la formule employée pour le rayon de courbure indique par le signe qu'elle lui assigne (492) le sens de la courbure. L'expression générale de - est donc susceptible de devenir, suivant les cas, positive ou
négative, et la valeur zéro, lorsqu'elle est atteinte, n'est pas, en général, une valeur minima. Si donc le rayon de courbure d'une section est infini, il ne doit pas, d'après notre analyse, être considéré comme un rayon de courbure maximum, et la section qui lui correspond n'est pas en général une section principale.
Si nous considérons, par exemple, un hyperboloïde gauche, parmi les sections normales que l'on y peut faire autour d'un point, il y en a deux qui sont rectilignes,
et pour lesquelles la courbure - est égale à zéro. Ce ne sont pas des sections principales: - en devenant nul change en effet de signe et n'acquiert pas une valeur
maxima. Les sections principales sont celles qui correspondent aux plus grandes
valeurs absolues, l'une positive et l'autre négative, de-- Les sections principales
sont donc deux sections à courbures opposées, et dont chacune a un rayon de courbure minimum entre toutes celles qui sont courbées dans le même sens.
Courbure d'une section oblique,
629. Considérons actuellement une section oblique de la surface, et cherchons l'expression de son rayon de courbure en un point. Prenons toujours pour axe des Z la normale à la surface au point considéré, et supposons l'axe des X dirigé suivant la droite d'intersection du plan tangent et du plan de la section considérée. Ce plan, passant alors par l'axe des X, aura pour équation
(i) j = 2langy,
OÙ 7 désigne l'angle qu'il forme avec le plan des XY. Soit
l'équation de la surface. Rapportons la courbe d'intersection a deux axes rectangulaires situés dans son plan, dont l'un soit l'axe des X actuel, et l'autre la trace du plan de la courbe sur celui des ZY; en nommante;,, 2, les coordonnées d'un point de la courbe par rapport à ces deux axes, et x, y, z les coordonnées du même
point par rapport aux trois axes primitifs, on a évidemment
(3) 2 = 2,cosy,
j=2,siny,
et réquation [i) donne par conséquent
(4) 2,cosy = (p [x,, -z.siny),
qui est Téquation de la courbe par rapport a des axes situés dans 'son plan. L'expression du rayon de courbure est
f^) ^y=-—ll^z
dx]
Pour obtenir les dérivées -r-' » -3-^ j qui y figurent, prenons la dérivée par rapport
à x^ de réquation
z = (s^[xxx);
en se rappelant les formules (3), on aura
dzy dz dz d Zx .
dz Cette équation fournira la valeur de ^-^ ^ en prenant de nouveau la dérivée par rap-
'd*z portail, on obtiendra'^-^9 mais comme nous voulons avoir seulement la valeur
relative à 074 = o, le calcul est susceptible d'une simplification. Remarquons en
effet que le dernier terme du second membre contient deux facteurs j—' et ^ » qui,
évidemment, s'annulent au point considéré. Or, pour prendre la dérivée de ce produit, on ne doit faire porter la différentiation que sur un seul facteur a la fois; les deux termes qui composent cette dérivée sont par conséquent nuls, quand on y suppose x^ =0, il est donc inutile de les écrire, et Ton a, pour le point particulier qui nous occupe,
, , d^Zi d*z d^z . dzi
dz
T-^ étant nul, puisque la courbe est évidemment tangente à Taxe des X, il reste,
pour le point 0,
dx] cosy
la valeur de -j-^ correspondant au point dont les coordonnées sont a7 = o, y=o,
et étant, par conséquent, une constante déterminée que nous désignerons par A.
D'après ce résultat, et ^ étant égal à zéro, la valeur du rayon de courbure p.^
devient
cos y
Si l'on fait 7 = 0, cette formule représente le rayon de courbure de la section normale conduite suivant l'axe des X, et l'on a, en le désignant par p^,
On conclut des équations (9) et ( 10)
(11) py = p, cosy,
et par conséquent le rayon de courbure d'une section oblique est égal au rayon de courbure de la section normale qui a même tangente, multiplié par le cosinus de l'angle formé par le plan des deux sections.
Courbure d'une ligne à double courbure.
630. On peut déduire du théorème précédent le rayon de courbure d'une ligne quelconque tracée* sur une surface donnée. Nous allons prouver en effet que la courbure, en un point quelconque, d'une ligne tracée sur une surface, est égale à celle de la section plane faite dans la surface par le plan osculateur de la ligne considérée en ce point.
Le plan osculateur est en effet, dans le voisinage de son point de contact, à une distance infiniment petite du troisième ordre delà courbe, c'est-k-dire, comme on l'a expliqué (562), qu'un point situé sur la courbe à distance infiniment petite du premier ordre du point de contact est à distance infiniment petite du troisième ordre du plan osculateur. Il en résulte évidemment qu'il est aussi à distance infiniment petite du troisième ordre de l'intersection de la surface par le plan osculateur, le seul cas d'exception possible étant celui où le plan osculateur est tangent à la surface, et par conséquent, en laissant de côté ce cas exceptionnel, les deux courbes ont même cercle osculateur.
Il résulte de là que le rayon de courbure d'une courbe quelconque tracée sur une surface est égal au rayon de courbure de la section normale qui a même tangente, multiplié par le cosinus de l'angle formé par le plan de cette section avec le plan osculateur de la courbe considérée. De toutes les courbes tracées sur une surface donnée et ayant même tangente, celle qui a le plus grand rayon de courbure est celle dont le plan osculateur est normal : elles sont évidemment en nombre infini.
Ligne minima sur une surface quelconque.
631. Il résulte du théorème précédent que sur une surface quelconque, la propriété caractéristique de la ligne minima est d'avoir en chaque point son plan osculateur normal à la surface. Il est évident en effet que si une ligne est la plus courte entre ses deux points extrêmes, elle est à fortiori la plus courte que Ton puisse mener entre deux points intermédiaires quelconques, et, en particulier, entre deux points infiniment voisins arbitrairement choisis sur sa longueur. Mais lorsque l'on se donne deux points infiniment voisins d'une surface, la corde de l'arc qui les réunit étant déterminée, cet arc est d'autant moindre (517) qu'il a un plus pelit rayon de courbure : d'un autre côté, la tangente est déterminée, puisqu'elle peut être considérée comme confondue avec la corde infiniment petite que l'on s'est donnée; le rayon de courbure sera donc maximum si le plan osculateur est normal à la surface, et cette condition doit être remplie en chaque point de la courbe minima.
Ce théorème a déjà été démontré (616) dans le cas d'une surface développable; nous le déduirons plus tard d'une autre théorie, et nous aurons souvent occasion de l'appliquer.
Formules plus générales relatives à des axes de coordonnées quelconques.
632. Après avoir obtenu les formules générales qui permettent d'exprimer le rayon de courbure d'une courbe quelconque tracée sur une surface, en fonction des rayons de courbure principaux et des éléments qui déterminent la position du plan osculateur de la courbe considérée, il est indispensable de reprendre la même théorie sans faire aucune hypothèse sur la position des axes de coordonnées, afin de pouvoir trouver, pour une surface quelconque rapportée à des axes quelconques, la position des sections principales et l'expression de leurs courbures.
Considérons une courbe quelconque située sur une surface donnée rapportée à des axes quelconques, et cherchons l'expression de son rayon de courbure.
Xy y, z étant les coordonnées d'un point de la courbe, le plan normal en ce point a pour équation (i) (/ — x)dx-^(u — X)dy''^{v — z)dz=-o,
L'équation du plan iformal infiniment voisin s'obtiendra en changeant x^ y» z en x-hdx, y-hdy, z-hdz, de sorte que la droite suivant laquelle se coupent les deux plans, c' est-a-dire l'axe du cercle osculateur, est représentée par Téquation (i) jointe k sa différentielle
(^) (/ — x)d^X'\-iu — j)é^'J-I-(c — z)d^z — dx^ — rfj* — rfz' = o.
Cette droite représentée par les équations (i) et (a) est la perpendiculaire élevée au plan osculateur de la courbe considérée par le centre de courbure de cette courbe : étant située dans le plan normal d'une courbe tracée sur la surface, elle rencontre évidemment la normale a la surface dont les équations sont
t — x-hp{v — z) = Oy
M— ^-f-jCi/ — Z)=0,
et la combinaison des quatre équations précédentes donne pour coordonnées du point d'intersection
en posant
( 5 ) d^z—pd*x — qd^y = î)ds\
Soit N la portion de normale à la surface, comprise entre la surface et le point dont nous venons de déterminer les coordonnées: le rayon de courbure que nous cherchons est évidemment la projection de N sur le plan osculatelir de la courbe. Si donc nous désignons par 0 l'angle formé par la normale a la surface avec le rayon de courbure de la courbe, l'expression du rayon de courbure p sera
(6) p = Ncose; mais les équations (4) donnent
(7) ^^={i-xy^{u-xy^[i^-zy=^ i±^±i!,
on en conclut, en ayant égard à (5),
(8) cose^/i'hp'-hq^ .
"dF ^ ds' ' ds" or on a
dz = pdx -h qdjr ;
en difTéren liant par rapport à i'arc s de la courbe considérée et posant
on en déduit
d^ z =z pd^x -j- qd^X -^ rdx^ -{- 'isdxdy -^^ tdy^j
et par conséquent
(9) d^z — pd^x — qd^x = rdx^ + isdxdy H- /rf/»,
ce qui donne
■'=KS)-"{g){f)-(£)^
OU» en nommant a, j3, 7 les angles que la tangente à la courbe forme avec les axes»
(11) . D;=rcos*a-4-2*cos«cosP4-/cos'P,
et enfin
(,2) p^ yi-hp'-hg^cose
r cos' a -h 2* ces a cos j3 H- / ces' j3
On voit, par cette formule, que a et ]3 restant constants, p est proportionnel à cos 6. Si la courbe considérée a son plan osculateur normal à la surface, l'angle Q est nul, et le facteur cos 9 se réduit à Tunité; la formule (12) exprime alors le rayon de courbure de la section normale conduite suivant la tangente considérée. On voit que pour obtenir le rayon de courbure de toute autre ligne située sur la surface et ayant même tangente,, il faut multiplier le rayon de la section normale par le cosinus de l'angle qu'elle forme avec le rayon de courbure de la courbe considérée.
633. Si nous nous bornons à considérer les sections normales faites en un point donné 0 d'une surface, l'expression générale de leur rayon de courbure est, d'après ce qui précède,
' ^ rcos*a-4-2scosacosp-i-/cos*j3 '
Pf 9, r, Sj t sont des dérivées partielles, elles se réduisent pour le point considéré à des constantes dont la valeur numérique doit être considérée comme connue. Les seules quantités qui varient avec la direction de la section sont les angles a et j3 formés par la tangente avec les axes des X et des Y.
Pour déterminer les directions des sections principales, il faut chercher quelles valeurs de «c et de ]3 rendent maximum ou minimum le dénominateur
( 2 ) r cos» a 4- 2 * cos 'y cos (î -h / cos» p ;
cos a et cos /3 étant liés k Tangle 7 formé par la tangente avec l'axe des :;, par
l'équation
(3) cos' a -h cos' (3 H- cos* y = i, qui a lieu pour toute direction, et par la relation
(4) cosy=pcosa -h^cosp,
exprimant que la direction de la tangente est perpendiculaire à la normale, qui forme, comme on sait, avec les axes, des angles dont les cosinus sont proportionnels à /?, y, — I .
L'élimination de cos 7 entre les deux équations (3) et (4) donne
(5) (i -h/>»)cos'aH-2/i5f cosacosp-t-(i -h9')cos» |3= i;
l'expression (2) devant être maxima ou minima, sous la condition que l'équation (5) soit satisfaite, il faut égaler à zéro les deux différentielles, et Ton a
( r cos a H- J cos ^ ) d cos a -h ( * cos a -+- 1 cos (î) d cos |3 = o , [( I -4-p* ) cos (x-hpq cos (3] d cos a 4- [ ( i -h q^).cos ?-hpq cos a] d cos j3 = o.
De ces deux équations on déduit, par l'élimination des différentielles,
rcosa-hscos^ /cosp-hJCOs« ^ ' (>-!-/>*) cos a -t- p7 COS p (i 4- 5') cos p -+-/>? cos a'
c'est-à-dire
(7)[/;^/— (i4-Y'}*]cos'j3-f-[(i4-p')/ — (i-l-?')r]cos«cos|3-h [(H-/>')^— /^?r]oos'a = o,
et cette équation jointe aux relations (3) et (4) déterminera la direction des sections principales. On peut aisément vérifier que leurs directions sont perpendiculaires l'une à l'autre. Écrivons en effet l'équation (7) sous la forme
( 8 ) A cos' (3 -f- B cos a cos (3 -f- C cos^ a = o.
Soient «, /3, 7, a', /S', 7' les angles formés avec les axes par les tangente^ aux sections principales, on a
cos y =p cos a 4- 9 cos p ,
cos y' = p cos a' -h 7 cos (3',
et l'équation qui exprime la perpendicularité,
cos a cos a' 4- cos p cos 3' 4- cos y cos y' = o, peut être remplacée par
cos « cos a' (i -h p') -H cos (3 cos P' (i -h 5') +/>5f (cos a cos 3' -h cos ,3 cos a') = 0,
c'est-à-dire, en divisant par cos |3 cos ]3',
/ * cos.a cos a' . ,. . , . ,. . /cos a , cosa'N
Or— ^> ^- sont les deux racines de l'équation (n) dans laquelle on con-
cos (3 cos (3' -1 w / n
sidère ^ comme inconnue ; on a donc
cos (î
cos a cos a' A
cos (3 * cos (3' "~ C *
el Téquation (9) devient
cos a cosa' B
côs^'^côs^'"""" C '
4(i-h;>MH-('+?')-5M=o,
A(H-p')-hC(i-f-?») — B/?9 = o,
équation qui devient identique lorsque l'on y remplace A, B, (] par leurs valeurs.
634. Apres avoir déterminé les directions des sections principales, il nous reste à trouver l'expression des rayons de courbure correspondants. Reprenons pour cela l'équation
(,) p= sJ^-^p^ + r ,
^ rcos*a-f-25COSacosj3-|- ^cos'P
et la relation
{fs\ rcosg-h^cosfi /cos(3-h<cos«
^ ( 1 4-p') cos a -|-/>^ cos p "" ( I + 5*) cos (3 -h pqf cos a
Si l'on multiplie par cos a les deux termes de la fraction qui forme le premier membre de l'équation (6), et par cos]3 ceux de la fraction qui forme le second membre, et que Ton ajoute ensuite les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux pour former une fraction égale à chacune des deux autres, le numérateur de la fraction ainsi obtenue sera précisément le dénominateur 1) de la valeur de p, elle dénominateur, en vertu de l'équation (5), est égal à l'unité. On a donc
I \ r cos g -h 5 cos (3 __ -
( I -f- p') cos a + pî cos (3 "~ '
. V / cos p -f- 5 cos g __ -
^ (i-f-5') cosp-H p^cosa ""
En éliminant entre ces équations le rapport |î on trouve
et puisque l'on a
on en conclut
(i3) çs^ri — s^)—p^m'p'-hq'[(i-hp')t't-{i'hq')r — 2pqs]+{i-hp''^q'y = o.
Cette équation a pour racines les deux rayons de courbure principaux de la surface au point considéré; ces rayons sont toujours réels; il est facile de vérifier que Téquation a en effet toujours ses racines réelles; d'après la relation qui lie /» k D, il suffit de prouver qu'il en est ainsi de l'équation ( la) en D : or cette équation peut être mise sous la forme
(i4) [D(H-p»}-r][D(i4-î')-^/]-U-pgD)» = o,
et il est clair qu'en substituant successivement à D» dans le premier membre» les valeurs
D=: — 00, D= — ~^i D = -ha>, I -f-^»
on obtient les signes -+- , —, -h; l'équation a donc deux racines réelles, Tune plus petite et l'autre plus grande que — ^- On aurait pu substituer à cette fraction —, — ; > et l'on aurait vu de même que l'une des racines est moindre, et l'autre plus grande que -rn-
635. Il résulte des remarques précédentes que les deux racines de Téquation en D, et par suite les deux valeurs de /9, ne peuvent être égales que si l'on a
