MI OM
(iTO PREMIÈRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL.
et celle de la seconde
a MI'
ôm'
MI
leur rapport est donc |^- Or le triangle MIT est a la limite rectangle en I,
car MI, parallèle à la normale en 0, est infiniment voisin de la normale en I à la surface^ et IT est, à la limite, une tangente à cette surface; on a donc, puisque l'angle IMr est égal à d,
MI û
^-cose,
et par conséquent le rapport des deux courbures est cos 6. Le rayon de courbure d'une section oblique est donc, comme on Ta vu (629), égial au produit du rayon de courbure de la section normale correspondante, par le cosinus de l'angle formé par les plans des deux sections.
Tangentes conjuguées.
644. Deux tangentes parallèles à deux diamètres conjugués de l'indicatrice eu un point M, portent le nom de tangentes conjuguées. Si l'on considère sur la surface un point M' infiniment voisin de M, l'intersection des plans tangents en M et en M' est, à la limite, la tangente conjuguée de MM\ Le plan de l'indicatrice qui passe par le point M' est parallèle, en effet, au plan tangent en M, et son intersection par le plan tangent en M', c'est-a-dire la tangente en M' à l'indicatrice, est parallèle à l'intersection des deux plans tangents. Mais cette tangente est parallèle aussi au diamètre conjugué de celui qui aboutit en M', et qui à la limite se confond avec la direction MM'; il est donc prouvé que la direction MM' et l'intersection des deux plans tangents sont parallèles, à la limite, à deux diamètres conjugués de l'indicatrice.
645. Considérons un cylindre circonscrit à une surface, et soit MM' un arc infiniment petit appartenant à la courbe de contact. La direction MM' est la direction conjuguée de la génératrice du cylindre en M. Les plans tangents à la surface en M et en M' sont, en effet, tangents en même temps au cylindre, leur intersection est donc à la limite la génératrice du cylindre qui par conséquent est une tangente conjuguée à la direction MM'.
La même relation existe d'ailleurs évidemment, et pour la même raison, entre la génératrice d'une surface développable quelconque circonscrite à une surface donnée, et la tangente à la courbe de contact.
EXERCICES
1. Lorsque deux surfaces se coupent, pour obtenir la courbure de la ligne d'intersection en un de ses points, on peut procéder de la manière suivante : mener par le point considéré deux plans respectivement tangents aux deux surfaces; chacun d'eux coupera l'autre surface suivant une courbe; si l'on porte sur la normale de chacune de ces courbes une longueur égale à sa courbure, la diagonale du parallélogramme construit sur ces lignes est dirigée suivant la normale principale de la courbe d'intersection dont elle mesure la courbure.
2. Deux surfaces étant tangentes Tune à l'autre en un point, connaissant la direction de leurs sections principales et la grandeur de leurs rayons de courbure, trouver les tangentes aux deux branches de leur courbe d'intersection.
3. Appliquer la méthode précédente à la recherche de la tangente de^l'intersection d'un tore par un dé ses plans tangents.
4. Si l'on mène par un point d'une surface n sections normales dont les plans successifs fassent un angle égal à — 9 la moyenne entre les courbures de ces sections est indépendante du nombre n et de l'orientation du premier plan.
