ÉTUDE DES NORMALES A UNE MÊME SURFACE

// n existe pas ^ en général, de surface normale aux droites d'un faisceau:

646. La dispositioD dans l'espace des normales à une même surface est soumise à des lois nécessaires dont l'existence même est loin d'être évidente à priori, t*habitude de trapsporter, par analogie, à la géométrie à trois dimensions, les résultats de la géométrie plane, conduirait au contraire à penser qu'il n'en doit exister aucune. Quelle que soit, en effet, la loi suivant laquelle des droites se succèdent dans un plan, de telle sorte seulement qu'il en passe une par chaque point du plan, il existe toujours des courbes qui les coupent à angle droit. La condition d'être normales à une même courbe n'impose donc aux droites d'un faisceau aucune condition particulière; mais on commettrait une erreur grave, dans laquelle sont tombés d'habiles géomètres, en en concluant par analogie que des droites se succédant dans l'espace suivant une loi telle, qu'il en passe une par chaque point, peuvent toujours être coupées orthogonalement par une même surface. Elles doivent, pour qu'il en soit ainsi, remplir des conditions trës-précises, à l'étude desquelles est consacré ce chapitre.

'647. Nous commencerons par montrer que des droites se succédant suivant une loi quelconque ne sont pas, en général, normales à une même surface.

Considérons, en effet, un faisceau tel, que par chaque point de l'espace passe une des droites qui le composent, et soit AB l'une quelconque de ces droites. Supposons, s'il est possible, qu'une surface S, normale à toutes les droites du faisceau, coupe AB en M, cherchons e,n quel point cette surface S rencontrera une autre ligne A'B' appartenant au faisceau , et située à distance finie de AB. Réunissons pour cela, par une courbe arbitraire C, un point de AB avec un point de A'B', les droites du faisceau qui rencontrent la courbe C forment une surface réglée 2 dont les génératrices sont, par hypothèse, normales a la surface S; l'intersection des surfaces S et 2 est par conséquent une courbe passant par le point M, et située sur la surface réglée 2, dont elle coupe à angle droit toutes les génératrices, et comme une telle définition la détermine complètement, le point M' où elle rencontre A'B' est lui-même déterminé, et ce point M' est évidemment Tintersection de A'B' avec la surface inconnue S. Mais la courbe C qui réunit les droites AB et A'B' étant arbi-

traire, on peut la remplacer par une infinité d'autres, et substituer par là, à la surface 2, une infinité d'autres surfaces réglées n'ayant de commun avec elles que les génératrices extrêmes. Sur chacune de ces surfaces la courbe normale aux génératrices, et partant du point M, ira généralement couper A'B' en un point différent, on devrait, par conséquent, assigner une infinité de positions différentes à l'intersection de la droite A'B' avec la surface S, et il faut en conclure que cette surface ne peut exister.

Condition nécessaire pour que la surface existe.

648. Les droites qui composent un faisceau doivent, d'après ce qui précède, remplir certaines conditions pour qu'il existe une surface qui les coupe à angle droit. Nous allons chercher l'expression analytique de cette condition.

Considérons chacune des droites qui composent un faisceau comme issue du point où elle rencontre une surface donnée, choisie d'ailleurs d'une manière quelconque. Soient x, j, z les coordonnées de l'un de ces points de départ, et X, Y, Z les cosinus des angles formés avec les axes par la droite correspondante. Le point ce, y 9 z étant sur une surface donnée, z est une fonction connue de x et de y, nous supposerons que X, Y et Z soient également donnés en fonction des mêmes variables. Si sur chacune des droites du faisceau on porte, à partir du point de départ, une longueur /, variable d'un point k l'autre, les coordonnées a?i , j, , z, de son extrémité seront

et pour que la suvface, lieu des points x^^y^, z^y coupe normalement toutes les droites considérées, on doit avoir

(2) Xrf^.-hYrf/i H-Zrf2, = o.

Cette équation exprime en effet que la direction qui forme avec les axes des angles dont les cosinus sont X, Y, Z est perpendiculaire à celle qui forme les angles dont les cosinus sont proportionnels à dx^^ dy^^ dz^. Les équations (i) donnent

rfj:, =: rfo: -h /rfX H- X rf/,

(3) rf7. = rfr-h/rfY-i-Yrf/,

dzi^dz-hldZ-hZdl,

et, en ayant égard aux relations évidentes

\rfX4-YrfY-HZrfZ = o,

(4) X dxy -f- Ydy\ H- Z rfz, = X rf^ -h Yrf7-h Z rf^.-h dl;

l'équation de condition (2) équivaut, par conséquent, à

(5) rf/ = — (Xi/.r-f-Yrfj-l-Zrfj3).

L'équation de la surface, lieu des points x^y^ 2, donne une relation de la forme

dz =pdx -h qdjr^

pet q étant des fonctions connues de x et de y; l'équation (5) devient, par conséquent,

(6) rf/ = — (X-4-pZ)rfar — (Y-hgZ)rfj,

elle équivaut à

(7) ^=-(X+pZ), ^ = -(Y-^qZl

et comme on a, quelle que soit la fonction désignée par/,

du du dx dy dy dx

ces deux équations exigent la relation

rf(X4-pZ)rf(Y4-(?Z) ^^^ d^^ "*■ ir~'

X, Y, Zf p tiq étant, bien entendu, exprimés en fonction de x et/.

L'équation (8) exprime une condition nécessaire à l'existence d'une surface normale aux droites données. Nous verrons dans un autre chapitre qu'elle est suffisante pour assurer l'existence de la fonction /définie par les équations (7). Cette équation (8) résout donc le problème que nous nous étions proposé, mais elle peut, comme nous allons le montrer, recevoir une forme plus simple et une interprétation géométrique qui joue un grand rôle dans la théorie des surfaces.

649. Lorsque le faisceau de droites que l'on considère est donné, la surface, à partir de laquelle on considère ces droites comme issues, est complètement arbitraire et n'influe évidemment en rien sur l'existence ou la non-existence d'une surface coupant le faisceau orthogonalement. Pour interpréter l'équatien (8), sup-

posons que la surface arbitraire que Tod peut nommer surface initiale, soit normale à l'une des droites du faisceau que nous supposerons de plus parallèle à Taxe desZ; on aura alors, pour cette droite et pour son point de départ situé sur la surface arbitraire qui la coupe à angle droit,

X = o, Y = o, Z=i, p = Of ^ = o, l'équation (8) devient alors, en ce point,

^ ' ^ dy dy dx dx '

et comme on a toujours -^ — -^^ elle se réduit à ' dy dx

dX dY

^ ^ dy dx

SoitMN la droite considérée parallèle, par hypothèse, à l'axe des Z. X étant égal

à zéro, le numérateur du quotient ^ est la valeur infiniment petite que prend X

lorsque le point de départ M se déplace infiniment peu parallèlement à l'axe des Y.

Le numérateur de -^ est, pour la même raison, la valeur infiniment petite que

prend Y, lorsque le point M reçoit un déplacement dx parallèle à Taxe des X. Considérons donc deux droites infiniment petites de même longueur, MA, MB, issues du point M et parallèles. Tune à Taxe des X, l'autre à l'axe des Y;

l'équation (2 ) exprime que la droite AN|, issue du point A, fait avec l'axe des Y' le même angle que la droite BNj forme avec l'axe des X : en d'autres termes, car évidemment cela revient au même, la droite issue de A forme avec le plan NMA le même angle que la droite issue de B avec le plan NMB. De plus, les cosinus des angles formés par la première droite avec MB, et par la seconde avec MA, étant égaux et de mêmes signes, les deux droites sont toutes deux situées dans l'angle dièdre BMA, ou toutes deux en dehors. Les axes de coordonnées étant arbitraires, et la condition trouvée étant la traduction de l'équation qui exprime l'existence d'une

surface normale aux droites considérées, on voit que si la condition précédente est satisfaite pour les deux droites MA, MB, elle le sera, par cela même, pour deux autres directions quelconques perpendiculaires entre elles et à MN.

Supposons que les deux droites issues des points A et B, et dirigées d'un même côté de la surface initiale, soient Tune et l'autre dans l'intérieur du dièdre AMB, si la droite infiniment petite MA tourne autour de M pour venir coïncider avec MB, son extrémité se déplacera sur le quart de cercle passant par le point A, et la droite issue de cette extrémité, qui d'abord était AN, , finira par coïncider avec BNj ; or il faut évidemment pour cela qu'elle traverse le plan passant par MN et par son point de départ, et il existe par conséquent sur le quart de cercle un point C tel, que la droite issue de G soit située dans le plan MNG. Si l'on considère une droite infiniment petite MD égale à MC, et perpendiculaire à MC et kMN, celle des droites du faisceau qui part du point D forme avec le plan MND le même angle que celle qui part du point C forme avec MNG, c'est-a-dire un angle nul. Il existe donc, dans le voisinage de chaque droite MN, deux autres droites appartenant au faisceau et situées dans deux plans perpendiculaires passant par MN.

Ge théorème, découvert par Monge, joue un rôle important dans la théorie des surfaces.

650. Nous allons vérifier directement que les. normales a une surface quelconque remplissent la condition qui vient d'être trouvée, et donner en même temps une expression plus précise de la loi suivant laquelle elles sont distribuées autour de l'une quelconque d'entre elles.

. Gonsidérons une surface quelconque rapportée à trois axes de coordonnées rectangulaires et représentée par une équation

Posons, conformément à notre notation habituelle,

dz dz dp dp dq dq

dx-^P' ^~'' rfï""''' d5^~3ï~*' ^" '

en nommant §, ri, Ç les coordonnées courantes, les équations d'une normale sont

g— a7-|-/>(Ç — z) = o, yj— j-f-9(Ç — 2) =o.

Prenons pour origine un point 0 de la surface, et pour axe des Z la normale en ce point; a?,/, z^p^ q étant nuls au point 0, les équations de la normale en ce point se réduiront à

yï = o.

Soient jti, y^, z^, les coordonnées d'un point 0, delà surface, infiniment voisin deO; p et q étant nuls en 0, les valeurs /><, q^ de ces dérivées correspondantes au point Of sont, en négligeant les infiniment petits du second ordre,

dp dp

les équations de la normale en ce point sont par conséquent

l — a:i-h{rXi-hsxi} (Ç — z,)=o,

n—Xi-^lsx, 4- tXi)(K — Zi) = Oy

en nommant aTangle que le plan ZOO, forme avec ZOX et d^ la distance 00,, on a> en négligeant toujours les infiniment petits du second ordre,

jr, =dcosa,

j, = à sin a.

La normale en 0, peut être définie par Tangle infiniment petit qu'elle forme avec la projection sur le plan Z00|, et par l'angle w que fait cette projection avec l'axe des Z; le premier angle 6 est le complément positif ou négatif de l'angle formé par la normale en 0« avec la perpendiculaire au plan ZOO, menée par le point- 0 dans le plan 0,0X. Or en nommant X l'angle de la normale en 0, avec Taxe des Z, les cosinus des angles qu'elle forme avec les axes des X et des Y sont, d'après les équations de cette droite,

— cos X ( ror, 4- sxt ), — cos X ( sx^ -h t^t ), c'est-à-dire

— ôcosX(rcosa4-5sina), — ôcosX(*cos a -h ^ sin a),

la perpendiculaire au plan ZOO, forme avec les axes des angles dont les cosinus sont

sin a, — cos a;

donc, d'après la formule qui donne le cosinus de l'angle de deux droites, et en négligeant les infiniment petits du second ordre, ce qui permet de supposer cos X = i , l'angle Q formé par la normale en 0,, avec le plan ZOO,, est donné par la formule

sin6 = 5[(f — r)sina cos a -1-5 (cos' a — sin* a)], ou» en substituant l'arc infiniment petit à son sinus,

(5) ô = -ô[(/ — r)sinaa-|-25cos2«].

Si l'on substitue à la direction OOf une direction perpendiculaire OO3, il faut changer dans les formules a en a-i- -•, sin 2 a et ces 2 a changent alors de signe en

conservant même valeur absolue, et par conséquent, en conservant bien entendu la même valeur à c^, l'angle 63 relatif au point O3 est égal et de signe contraire à l'angle 6^ relatif au point 0^.

La valeur de a pour laquelle ô^ est égal à zéro est donnée par l'équation

{ / — r) sin 2 a -h 2* cos 2 a = o , ou (6) lang2a =

11 existe donc deux directions perpendiculaires pour lesquelles Tangle 6 est égal a zéro, lorsqu'on néglige les infiniment petits du second ordre. Pour toute direction faisant avec celle-là un angle fini, cet angle est infiniment petit du premier ordre.

Si l'on a pris, tout d'abord, l'axe des X et celui desYdans les directions OO4, 00 j, pour lesquelles l'angle désigné par 6 est égal à zéro, l'équation

2^ tang2a =

aura pour solution a = o, a= -» et l'on doit avoir, par conséquent, .5 = 0. On a

vu (627) que les axes pour lesquels cette condition est remplie sont tangents aux sections principales. Nous retrouvons ainsi le résultat déjà obtenu (636) : la normale en un point d'une surface est rencontrée par la normale au point infiniment voisin situé sur l'une des sections principales; ce théorème supposant toujours que l'on néglige les infiniment petits du second ordre.

En adoptant les axes tangents aux sections principales, pour lesquels, comme on vient de le rappeler, la valeur de s est nulle, l'expression de l'angle 9 se simplifie et l'on a

{7) e= -«(/ — r)sin2a.

651 . La direction de la normale à la surface considérée en un point 0| infiniment voisin de 0, peut être, comme on l'a dit, définie par deux angles. Le premier est l'angle Q formé par cette normale 0|N avec le plan ZOO, qui passe par son point de départ et par la normale OZ. Nous venons d'en calculer l'expression générale. Le second des deux angles est l'inclinaison sur OZ de la projection de la normale en 0| sur le plan ZOO,. Pour obtenir ce second angle que nous nommons «, re-

marquons que tang o) est rigoureusement égale au cosinus de Tangle que Of N forme avec 00,, divisé par le cosinus de l'angle qu'elle forme avec OZ. Si Ton prenait en effet ZOO, pour plan des ZX et pour axe des X la tangente en 0 à l'arc infiniment petit 00,, les coordonnées de 0, étant a?,, o et z,, la projection sur le plan des XZ de la normale issue du point 0, aura pour équation

(i) X — :r, = langa)(Z — z, );

on en déduit

(2) lang(k)=T?^ — -Î5

et comme les coordonnées X et Z de la projection d'un point de la normale sur le

plan des XZ sont les mêmes que celles de ce point lui-même, le rapport „ ' est,

comme on l'a annoncé, le rapport des projections d'une portion de la normale sur Taxe des X et sur celui des Z, c'est-à-dire le rapport des cosinus des angles formés par cette normale avec les deux axes; remarquons que dans la formule précédente, l'angle 0) désigne l'angle de l'axe des Z positifs avec la portion de la projection dirigée vers larégion desX positifs. Si donc OZ représente l'axe des Z, et 0,N la projection

de la normale sur le plan ZOO,, la valeur de tang (ù formée par la formule (2) sera négative, et si nous désignons par u l'angle, infiniment petit que l'on veut étudier, il faudra changer le signe de l'expression. L'angle de la normale avec OZ est infiniment petit, le cosinus de cet angle qui forme le dénominateur de la valeur de tang w peut donc être remplacé par l'unité, et comme le numérateur e,st infiniment petit, l'erreur commise ne portera que sur les infiniment petits du second ordre. En substituant en même temps a l'angle o) sa tangente, et faisant le changement de signe indiqué plus haut, nous aurons

w = cos(O.N, 0.0).

Pour calculer ce cosinus, remarquons que d'après les équations de la normale Oj N, et en nommant, comme plus haut, X l'angle de cette normale avec l'axe des Z, les cosinus des angles qu'elle forme avec les trois axes sont, comme on l'a déjà dit (650), et en désignant par d^ la distance infiniment petite 00,,

• à cos X ( r cos a -f- 5 sin a ) , — 5 ces X ( s ces a -f- ' sin a ) , cos A,

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les cosinus des angles formés par 0|0 avec les mêmes axes sont

— cosa, — sîna et o; on a, par conséquent,

6) = cos 00, N = d cos X (r cos'a-f- 25 sîn a cos a 4- / sin'a),

X étant infiniment petit, on peut, dans cette formule, et en négligeant seulement les infiniment petits du second ordre, remplacer cos X par l'unité. Si de plus on suppose les axes tellement choisis, que la dérivée s soit égale k zéro, on aura enfin

(3) w = d ( r cos' a -h f sin' a ).

Le rapport | ne diffère pas de l'expression trouvée (627) pour la courbure de la

section. faite dans la surface par le plan normal ZOO,. Il est aisé de voir en effet que la projection de la normale en 0, sur le plan ZOO,, est précisément la normale à la courbe d'intersection de ce plan avec la surface. L'angle co que cette normale fait avec OZ est donc la courbure totale de l'arc infiniment petit dont la longueur estt?,

et % représente la courbure. Nous aurions pu, d'après cela, nous dispenser de calculer l'angle w et écrire immédiatement l'équation (3), comme conséquence des formules relatives à la courbure des sections normales.

652. L'angle formé par la normale OZ au point 0, avec la normale au point infiniment voisin Of , se déduit aisément des deux angles désignés par 0 et â>, qui sont actuellement connus. Si, en effet, par un point de l'espace on mené trois droites respectivement parallèles à la normale OZ, à la normale 04N,.et à la projection deOjNsur le plan ZOO,, ces trois droites forment un trièdre rectangle auquel correspond un triangle sphérique rectangle infiniment petit, que l'on peut regarder comme rectiligne et dans lequel le carré de l'hypoténuse est égal, par conséquent, ^ la somme des carrés des deux autres côtés. Or l'hypoténuse mesure l'aiigle que nous cherchons, et les deux côtés représentent les angles désignés par Q et oo; on a, par conséquent, en nommant ^ l'angle des deux normales,

v];' = e»-i-a)' = d*(rcos*a-|-/ sin» «)»-+- (^ — r)»ô'sin* a cos^a,

(î'est-à-dire

4;^ = ô» ( r* cos* a 4- <* sin* a ) :

telle est l'expression de l'angle ^ formé par deux normales infiniment voisines, les axes des X et des Y étant, on ne doit pas Toublier, tangents aux sections principales.

653. Les dérivées du second ordre, r et U sont liées aux rayons de courbure principaux par les relations fort simples

et les expressions trouvées pour les angles 6, o et ^y peuvent par conséquent être mises sous la forme

^ /cos'a sin*a\ ^'=ô» f^3 cos»a-h^, sin»a\,

d désignant, on s'en souvient, la distance de deux points infiniment voisins, et a Tangle formé par la direction de la ligne qui les joint avec la section principale * correspondant au rayon de courbure R| •