X -f- ^x^ — m* = me

et, par suite.

X — ^x"^ — tn} = me "* f L i\

équation d'une chaînette qui, par sa révolution autour de l'axe des y, engendrera la surface applicable sur Thélicoïde gauche à plan directeur.

738. M. Bour a généralisé le théorème précédent en démontrant que toute surfaci* hélicoïdale est applicable sur une surface de révolution.

On nomme surface hélicoïdale la surface engendrée par un profil de fprme quelconque situé dans un plan normal à un cylindre de révolution mené par une génératrice et se mouvant sans changer de forme, de telle sorte que tous les points décrivent simultanément des hélices de même pas situées sur des cylindres de même axe.

En prenant pour axe des z l'axe du cylindre et pour axes des x et des y deux diamètres rectangulaires de la base, on peut évidemment représenter une surface hélicoïdale par les équations

j: = p cos w ,

7 = psin&),

la forme de la fonction 9 (p) déterminant la courbe qui sert de profil. Les variables p et w définissent ici sur la surface deux systèmes de courbes : les unes, qui correspondant aux valeurs constantes de p, sont des hélices ; les autres, correspondant aux valeurs constantes de &>, sont les courbes, toutes superposables, suivant lesquelles la surface est coupée par les plans méridiens du cylindre. Ces deux systèmes ne sont pas orthogonaux, et pour cette raison nous introduirons une nouvelle variable //, paramètre des courbes qui coupent les hélices à angle droit. En considérante comme une fonction de p et de 1/, on aura

I I . dtù I dû) ,

dx = cos 0) op — p sm go -7— dp — p sm oi -1— au ,

ay = sm &> ap -f- p cos w -t— a p -H p cos u\ -7— du ,

dz =:(^'(p)dp'hm^du-^m-^dp;

on en déduit l'expression du carré ds^ de la distance de deux points infiniment

voisins de la surface.

Pour que les courbes qui correspondent aux valeurs constantes de u coupent orthogonalement les hélices qui correspondent aux valeurs constantes de o, il faut que le terme en dudp disparaisse. Posons donc

■T^ ne peut pas être nul, car il est impossible que w dépende de la seule variable p : il faut donc égaler a zéro le second facteur; on en déduira une valeur de « en fonction de p, et comme w ne figure que par sa dérivée ^ , on peut lui ajouter une fonction arbitraire de u. Prenons cette fonction égale à ku, k étant constant; -^ sera alors égal à A, et l'expression de ds^ prendra la forme

d5' = Gdp'-hA-'rfwMp'-i- /w'), le coefficient G ne contenant que p : désignons-le par [+(p)]^ nous aurons

d$''=\^{^)d^'^-^k^du^[f-^m'').

Si Ton pose ^ {f)dp = dv, o sera une fonction de ^^et l'expression de d$^ prend la forme

ds^ = dv^'{-'f(v)du\

qui convient (130) à une surface de révolution.

Courhure des trajectoires orthogonales sur une surface quelconque.

739. Lorsque sur une surface quelconque on considère deux systèmes de lignes se coupant orthogonalement et décomposant la surface en rectangles infiniment petits, il existe entre les courbures géodéâiques des lignes des deux systèmes, ou, ce qui revient au même, entre les côtés infiniment petits des rectangles successifs, des relations analogues à celles qui ont déjà été trouvées (507) et (556) pour les systèmes plans ou sphériques.

Soient AA', BB' deux courbes infiniment voisines du premier système correspondant aux valeurs a^^ OL^^doL^ du paramètre a^, qui figure dans leur équation générale, et CC, DD' deux courbes infiniment voisines du second système correspondant aux valeurs «<, a, 4-rfa, de leur paramètre, et formant avec les deux premières un rectangle infiniment petit PQRS; le côté PR, distance de deux points infiniment voisins qui correspondent à une même valeur de aj, est évidemment proportionnel à doL^^ et le côté PQ k doL^\ posons donc, en désignant par E et G deux fonctions de a, et de «2 que nous regardons comme connues,

PR = da.VnË;

le carré de la distance de deux points infiniment voisins, tels que P et S, sera alors exprimé par

rfj» = Erfa;-hGrfaî,

et il suffira de calculer cette distance pour connaître les fonctions E et G. Les courbures géodésiques des lignes PQ et PR peuvent se calculer au moyen du théorème démontré (719).

On a en effet

I RS — PQ p,- PR.PQ '