Â"~ V— '^— V AC— B

On trouverait par un calcul tout semblable relatif k l'autre surface

dk' \ r" \ïï^) ~^° g^'g?+^ Iâ?;

D'après ce qui a été dit, -j- ^^ -jr doivent être égaux ; en égalant donc les seconds

membres des égalités (lo) et (i i), on formera une équation qui, jointe a Téqualion (-2), permettra de déterminer m' et ^ en fonction de u et de v.

731. Le calcul précédent peut se faire pour deux surfaces quelconques, mais il n'en résulte pas qu'elles soient applicables l'une sur l'autre; les équations trouvées entre u et Vj m' et ^^, établissent en effet entre les points des deux surfaces une loi de correspondance telle, que les lignes déterminées par une nîiéme valeur du produit RR' se correspondent, et sur ces lignes les points correspondants sont ceux pour lesquels la distance à la ligne voisine est la même; or, il faut évidemment en outre, pour que les deux surfaces soient applicables l'une sur l'autre, que les arcs correspondants des deux lignes soient égaux entre eux. On pourrait exprimer cette condition en égalant les difTérentielles des deux arcs, mais nous nous bornerons à avoir fait remarquer qu'une nouvelle équation au moins est nécessaire; on pourra toujours vérifier dans chaque cas si les relations trouvées entre u, v, i/', f^ rendent les arcs correspondants égaux en donnant identiquement

A du' -h ^Bdudv H- C r/^' = A'rfw"H- 2 B'rfw'rf^'' -4- C'rff''.

732. Quel que soit le système de coordonnées adopté pour représenter les points d'une surface, la distance de deux points infiniment voisins ayant pour coordonnées M, i', u -h du, ^ -h rf^, est de la forme

A rfa' + 2B dudv -h (] dv\

A, B, C étant des fonctions de m et de ^ dont la forme varie avec la surface et le choix des coordonnées; la condition nécessaire et suffisante pour que deux surfaces soient applicables l'une sur l'autre est que, par un choix convenable de coordonnées, on puisse rendre identiques les valeurs de ds^, de telle sorte que les variables u et V qui définissent les points de la première surface délerminent aussi ceux de la seconde.

Cette égalité des éléments, une fois établie, est évidemment indépendante du choix des coordonnées, sous la condition, bien entendu, que les points des deux surfaces restent associés de la même manière.

733. Nous indiquerons ici quelques résultats facilement déduits de ce qui précède et relatifs à la forme de l'expression de la distance de deux points infiniment voisins dans divers cas particuliers remarquables.

Lorsque les courbes qui correspondent aux valeurs constantes des coordonnées u et i' se coupent à angle droit sur la surface, l'expression de ds^ est de la forme

ds'= ArfM'H- Bdu\

La démonstration» toute semblable à celle qui a été donnée ( I24j, résulte de ce que les courbes qui correspondent aux valeurs u, u-+- du, v, {^ -^ dv des coordonnées, forment dans ce cas un rectangle dans lequel le carré de la diagonale doit être égal à la somme des carrés des côtés.

734. Lorsque les lignes qui correspondent à une valeur constante de la variable sont géodésiques, les lignes de l'autre système les coupant à angle droit, le coefficient B devient indépendant de u, et l'on a

(i) ds^= Arf«'-f-9(c')rfv'.

On sait en effet que les lignes qui correspondent aux valeurs constantes de u étant géodésiques, et celles qui correspondent aux valeurs constantes de v les coupant à angle droit, deux lignes quelconques du second système interceptent des arcs égaux sur toutes celles du premier système; or, en supposant

(2) ds"— S.du'-^-^dv\

si l'on considère les deux lignes correspondant aux valeurs v tis^-^- dv Axx paramètre f^, leur dislance, comptée sur une des lignes géodésiques correspondant à une valeur quelconque de a, s'obtiendra en faisant du = o, dans la formule (2) qui

devient

ds'=Bdv\

et comme cette distance doit être indépendante de m, B est, comme on l'a annoncé, fonction de la seule variable i^; on peut changer de variables sans altérer le système de lignes qui répondent aux valeurs constantes des coordonnées, et poser

Bdi^ = di\ ç' étant une fonction de la seule variable t^; on a alors

€ls' = dv'^']-Adu\

la variable (^ représentant évidemment la longueur comptée sur la ligne géodésique à partir de Tune de ces trajectoires orthogonales arbitrairement choisie: le coefficient A est une fonction de u et de i>' dont la forme varie avec la nature de la surface.

735. La réciproque du résultat que nous venons d'obtenir est exacte; lorsque le carré ds^ de la distance de deux points voisins a une expression de la forme

(l) û?5'=ArfM'-hcp{v)rfi'S

les lignes qui correspondent aux valeurs constantes de u sont géodésiques. Il résulte

en effet de la formule (i) que la distance des deux courbes correspondant aux valeurs ç' et «^ -h rfc de la variable est indépendante de u et que par conséquent les courbes correspondantes aux valeurs constantes de u sont .telles, que leurs trajectoires orthogonales interceptent sur elles des arcs égaux; on en conclut (719) qu'elles sont des lignes géodésiques.

736. Nous signalerons particulièrement le cas où la surface considérée étant de révolution, les coordonnées adoptées pour représenter un point sont, d'une part, l'angle eo formé par le méridien correspondant avec un méridien fixe, et, d'autre part, la longueur c de l'arc de méridien compris entre le point considéré et un parallèle fixe. On a vu (130) que le carré de la distance ds^ a, dans ce cas, une expression de la forme

(i) ds'=dfj +9((7)rfek)».

Réciproquement, si l'expression du carré ds^ est de la forme

rfs' = dv* -+- 9 ( f ) rf«%

la surface est applicable sur une surface de révolution convenablement choisie. La détermination du méridien auquel convient une forme donnée de la fonction y est un problème de calcul intégral sur lequel nous ne donnerons ici aucun développement.

737. Nous citerons cependant deux exemples remarquables de surfaces applicables sur des surfaces de révolution.

L'hélicoïde gauche à plan directeur est applicable sur la surface de révolution dont le méridien est une chaînette.

Prenons pour axe des z l'axe du cylindre et pour axe des x et des y deux diamètres rectangulaires de la base : l'hélicoïde gauche à plan directeur sera représenté par les équations

(i) ^=rcosw,

^=rsin&),

r et 0) étant deux variables qu'il serait facile d'éliminer pour former l'équation de la surface, mais cette équation ne nous serait pas utile. Nous regarderons « et r comme les deux variables qui servent à définir les points de l'hélicoïde; à une valeur constante de r correspond une hélice, et à une valeur constante de w, une génératrice rectiligne qui coupe toutes les hélices à angle droit. En désignant comme d'habitude par ds la distance de deux points infiniment

voisins, on a

et Ton en conclut, à cause des équations (i),

(2) rfi'=(m*-f-^2)rfû>»-hrfr^

On reconnaît, dans cette expression, la forme qui convient à une surface de révolution. On a vu en effet (736) que, a désignant Tare de méridien et &> l'angle qu'il forme avec un méridien fixe, on a, sur une surface de révolution,

(3) rf5' = rf(T'-f-cp((x)rfw'.

En posant <y = r, les deux formules (2) et (3) deviennent identiques si Ton a

Or <p (a) est le carré du rayon du parallèle, c'est-à-dire de l'abscisse du point qui correspond à l'arc g: si nous désignons cette abscisse par a?, il suffit de trouver une courbe telle que