XXII PRÉFACE

méthode infinitésimale consiste à remplacer une courbe par un polygone dont les côtés sont infiniment petits. Cette substitution conduit presque toujours à des résultats exacts, et les démonstrations que l'on en déduit doi- A ent toujours être examinées avec soin. Elles sont fort simples, mais leur <*larté, plus apparente que réelle, se dissipe quand on y regarde de près. • Leibnitz et les frères BemouUi, Euler et THospital (*) employaient ce langage, et quoiqu'ils aient fait preuve d'une science très-assurée dans leurs applications géométriques de la méthode infinitésimale, on comprend, en lisant leurs ouvrages, que les géomètres habitués à la rigueur d'Euclide aient eu quelque peine à accepter leurs raisonnements, et que l'exactitude re- . connue des résultats ait été nécessaire pour rassurer certains lecteurs sur la légitimité d'un langage trop peu sévère. Le célèbre mot de d' Alembert: « Allez en avant, et la foi vous viendra, » n'exprime rien autre chose. L'Académie des Sciences de Paris se refusa jpendant quelque temps à admettre une doctrine % qui semblait altérer la pureté géométrique ; elle vit naître d'ardentes discussions dans lesquelles plusieurs de ses membres, s'attachant avec obstination à de fausses idées qu'ils s'étaient formées, et à des locutions qui les choquaient sans qu'ils voulussent considérer le fond des choses, contestèrent non-seulement la rigueur des raisonnements, mais encore l'exactitude des règles de Leibnitz. Cette opposition fut utile, en forçant les géomètres infinité^simaux à donner une forme plus nette aux principes contestés, qui peutêtre n'avaient été mal compris des uns que pour avoir été jusque-là mal expliqués par les autres. Leibnitz lui-même, que les plus grands géomètres de l'Europe avaient enfin admiré et compris, loin de s'envelopper dans sa ^ gloire et de mépriser les critiques, ne dédaigna pas de répliquer avec courtoisie à des adversaires qu'il estimait malgré la faiblesse de leurs arguments. Sa réponse au Journal de Trévoux est restée célèbre par une concession singulière, qui semblerait passer condamnation sur le manque de rigueur qu'on lui reprochait. Il assimile en effet les infiniment petits des divers ordres à des grandeurs incomparables à cause de leur extrême inégalité, comme le serait un grain de sable par rapport au globe de la terre, Un tel langage, il faut l'avouer, ne signifie rien de précis et conduirait à confondre l'infiniment

(^) Newton est toujours aussi irréprochable dans la forme que rigoureux dans le fond.

PRÉFACE. xxui

petit avec le très-petit. Leibnitz ressemble, dans cette circonstance, dit Fontenelle, à un architecte qui a fait un bâtiment si hardi, qu'il n'ose lui-même s'y loger, tandis que d'autres, plus confiants que lui, s'y logent sans crainte, et, qui plus est, sans accident. Mais à cette citation on doit ajouter que, la lettre de Leibnitz n'étant pas écrite pour des géomètres, la concession cjui semble trop timide n'était peut-être que prudente. Leibnitz renvoie d'ailleurs sur ce point à l'ouvrage de l'Hospital, qui l'expose avec exactitude et simplicité. Toute controverse ne tarda pas d'ailleurs à s'évanouir par la définition précise des termes employés, et ces matières ont été éclairées et approfondies partant de discussions, qu'il n'y subsiste plus aucun nuage, et que tout aujourd'hui semble simple et rigoureux dans le début d'une science facilement accessible, et que l'on ne songe plus à nommer transcendante.

L'idée fondamentale de la théorie des différentielles consiste à chercher, dans l'accroissement d'une fonction quelconque, la partie proportionnelle à l'accroissement de la variable, et qui reçoit le nom de différentielle. Elle s'obtient si facilement pour les fonctions simples ou composées, implicites ou explicites, que l'historien le plus minutieux ne se croirait pas obligé de rapporter l'honneur de chaque règle à celui qui l'a énoncée le premier. La (considération des fonctions de plusieurs variables complète d'une manière aussi naturelle que nécessaire la conception primitive de Leibnitz, qui, non plus que Newton, n'a pas eu occasion de s'en occuper. Le Traité des Injiniment petits de l'Hospital, pubUé en 1654? traite exclusivement des fonctions d'une seule variable. La transition d'un cas à l'autre est cependant si naturelle, qu'Euler, ayant à difFérentier une fonction de deux variables x et j, écrit immédiatement le résultat sous la forme P^-hQrf^, et ne signale même pas dans la science l'introduction d'une idée nouvelle. Quoique les règles de Leibnitz n'aient pas été posées en vue de ce problème plus général, elles s'y appliquent en effet, et souvent même le résolvent complètement. Lorsque par exemple on s'est habitué à dire

d.ab=^ adb H- bda ,

en regardant a et h comme deux fonctions quelconques d^une même variable or, si l'on doit différentier le même produit aè lorsque les variables sont indépendantes, il est tout naturel d'employer la même formule, et, malgré