PRÉFACE. XXXV

raison de l'existence des beaux théorèmes de Cauchy, qui seraient sans cela incompréhensibles. Nous nous bornons à indiquer dans ce volume comment les valeurs infinies ou mal déterminées d'une fonction font connaître les limites en dehors desquelles son développement est irnpossible. Nous aurons à y revenir dans un autre volume, où l'emploi du calcul intégral simplifiera les démonstrations en permettant de les compléter. Cette théorie est d'autant plus importante, que Lagrangé affirme dans un ouvrage célèbre que le théorème de Taylor, loin de devoir être regardé comme une conséquence du calcul différentiel, doit être établi à priori et contient les véritables principes de ce calcul, dégagés de toute idée d'infiniment petit ou de limite. La démonstration donnée par l'illustre auteur, malgré l'autorité imposante de son nom, n'a pu être acceptée par les géomètres, mais on n'en doit pas moins admirer cette affirmation si formelle, quoique non justifiée, d'un principe qui, établi un demi-siècle plus tard sur des bases bien différentes, devait acquérir en même temps un degré de généralité auquel les partisans de ces idées ne songeaient pas même alors. En voyant combien d'explications délicates sont nécessaires pour fixer le sens et les limites du théorème de Taylor, on comprend qu'il tient à des vérités d'un accès trop difficile pour qu'on en puisse faire, comme l'avait voulu Lagrangé, la pierre fondamentale de l'édifice : quelque élégante et facile que soit la doctrine à laquelle on est conduit en se plaçant tout d'abord aussi haut, les géomètres ne peuvent oublier que la précision des énoncés et la solidité absolue des preuves sont le caractère essentiel des sciences mathématiques, et si l'on est excusable de s'en écarter momentanément pour atteindre plus vite un but important, on ne saurait se montrer trop sévère lorsqu'il s'agit d'établir les bases d'une longue suite de théories.

Lorsque dans la série de Taylor on attribue à la variable une valeur imaginaire, elle se transforme en série ordonnée suivant les sinus et cosinus des multiples d'un même arc. Les séries de ce genre, si importantes aujourd'hui, ont été considérées pour la première fois par Daniel BemouUi, qui par des procédés ingénieux, mais singulièrement hardis, et, il faut l'avouer même, bien peu rigoureux, a donné l'expression d'une constante, de la variable X, du carré et du cube de cette variable, en série de cette forme. Qu'il nous suffise de dire ici que le point de départ de la démonstration