XXXVI PRÉFACE

est réquation

- :=cosa;-f-cos2a:-hcos3ar-f-. . .-{-cosnx-

que Bernoulli nomme incongrue vera, et qu'il faudrait simplement appeler inexacte et absurde, car le second membre est évidemment indéterminé. Une année après, Euler, portant son attention sur ces questions, les a rattachées à sa théorie des exponentielles imaginaires ; mais c'est dans ce âiècle seulement qu'une importante application, due à Fourier, fut l'occasion de nouvaux travaux qui montrent, en toute rigueur, la possibilité de représenter par des séries de ce genre toutes les fonctions continues ou discontinues. Mais ce sujet important n'appartient pas à ce volume, et nous nous bornons à y faire connaître les méthodes simples et peu rigoureuses d'Euler.

Il était impossible de s'étendre autant que nous l'avons fait sur la théorie des séries, sans rencontrer un grand nombre de résultats élégants et célèbres qui se déduisent des formules générales. On doit faire néanmoins une distinction essentielle entre une série ordonnée suivant les puissances ascendantes d'une variable ou toute autre loi régulière, et une série purement numérique dont la somme représente un nombre et non ime fonction : la particularisation de la lettre variable peut conduire de la première à la seconde, mais le problème inverse est indéterminé. Par exemple, la formule

donnée sans démonstration par New^ton, peut être considérée indifféremment comme provenant de la série

dans laquelle on suppose x = i, ou de

OÙ l'on suppose 0? = -• Elle appartient ainsi à deux théories très-différentes, et pourrait d'ailleurs se déduire de beaucoup d'autres.

PRÉFACE. xxxvii

Les ouvrages et les Mémoires d'Euler contiennent un grand nombre de sommations de ce genre, que nous sommes bien loin de reproduire toutes; c'est dans son Introduction à l'étude de l'analyse infinitésimale et dans la collection des Mémoires de Saint-Pétersbourg qu'il convient de les étudier.

Malgré l'importance de la série de Taylor, il est souvent plus simple d'obtenir les termes du développement qu'elle devrait fournir, en employant d'autres méthodes dont le Chapitre III du second Livre fournit des exemples. On y a placé d'abord plusieurs démonstrations d'une formule générale due à Lagrange, et qui exprime sous forme de série ordonnée suivant les puissances de a la racine z d'une équation quelconque, mise préalablement sous la forme

Cette belle formule a été l'objet de nombreux travaux, et d'habiles géomètres ont différé d'opinion sur le caractère distinctif de la racine qu'elle fournit. Ces questions seront discutées plus tard. Dans ce Chapitre nous nous bornerons à donner sur ce point quelques indications fort simples. La formule de Lagrange donne comme corollaire deux autres formules dignes d'intérêt, qui sont dues à Burmann et à Abel.

La méthode des coefficients indéterminés est très-souvent la plus commode à employer pour obtenir les termes d'un développement dont la légitimité a été démontrée; nous donnons plusieurs exemples de son application, en signalant de remarquables séries dues à M. Tchébychef. La théorie des fonctions génératrices, créée par Laplace, quelques remarques sur les notations symboliques, et ime digression sur les fonctions désignées par X„ et sur les nombres de Bemoulli, terminent le Chapitre, qui n'a pas d'autre unité que l'absence du théorème de Taylor dans l'étude de séries qui pourraient s'en déduire.

Le Chapitre IV contient la définition des fonctions imaginaires. Les points principaux qui y sont traités ont été indiqués plus haut à l'occasion du théorème de Taylor.

Le Chapitre V est consacré au développement des fonctions de plusieurs variables ; il contient l'extension à ce cas de la formule de Taylor et de celle de Lagrapge.