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ligne la plus simple possible qui est la ligne droite, je mesure la flexion d'une courbe par la ligne la plus simple qui ait non-seulement même direction, mais encore même courbure qu'elle, c'est-à-dire par le cercle qui non-seulement la touche, mais lui est osculateur. La ligne droite, dont la direction est toujours la même, est très-propre à indiquer une direction ; de même le cercle est très-propre à indiquer la courbure, parce que la courbure d'un cercle est la même en tous ses points. Le cercle osculateur d'une courbe en un point est celui qui forme avec elle le plus petit angle de contact; parmi le nombre infini des cercles qui touchent une com^be en un point, on peut, en effet, toujours en assigner un qui s'y assimile mieux que tous les autres, et rampe, pour ainsi dire, davantage vers elle, de sorte qu'aucun autre cercle ne puisse être placé entre eux. »

Le passage précédent est extrait d'une Note fort courte de Leibnitz, extrêmement curieuse à plus d'un titre. On y voit im exemple de la manière dont ce puissant esprit approfondissait tout en paraissant tout effleurer. Il avait aperçu très-nettement, quoiqu'il l'exprime sous ime forme peu précise, la théorie de l'osculation et des contacts de divers ordres; mais ici, comme en bien d'autres circonstances, il se contente d'avoir donné les germes d'une théorie nouvelle, laissant à d'autres le soin de les faire fructifier. Les indications qu'il donne sur la manière de trouver le cercle osculateur sont nonseulement très-vagues, mais absolument inexactes, car il se trompe sur le nombre des racines égales que l'on doit trouver lorsque l'on cherche l'intersection d'une courbe avec son cercle osculateur. On peut conclure de cette inadvertance que l'exemple choisi par lui, qui est celui d'une section conique considérée à son sommet, est le seul qu'il ait traité jusqu'au bout; s'il en eût essayé un autre, il aurait certainement reconnu que trois points seulement d'intersection et non pas quatre viennent se confondre en un seul. Plusieurs de ces indications, quoique exactes quand on les interprète comme il faut, manquent peut-être d'une base précise, et l'on comprend, en lisant de pareils écrits, que la doctrine qu'ils renferment restât inabordable au commun des lecteurs.

Jacques BemouUi, reprenant quelques années après l'exposition des mêmes principes, signala l'inadvertance de Leibnitz, relative au nombre des points d'intersection d'une coiu-be avec son cercle osculateur; mais, malgré

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révidence des explications qui lui furent données à plusieurs reprises, Leibnitz revint sur le même sujet et n'abandonna que fort tard sa première assertion.

Puisqu'il ne prononce pas le nom d'Huyghens, Leibnitz ne paraît pas avoir aperçu immédiatement l'intime relation de sa théorie nouvelle avec celle des développées; mais, dans une lettre écrite cinq années plus tard, il dit à Huyghejis : « Les centres des cercles mesurant la courbure tombent dans votre génération par évolution. » Huyghens répondit : « Vous me parlez de votre discours : De angulo contactas et osculîj qu'il me souvient d'avoir lu et qui ne me paraît pas nouveau, parcer que j'avais considéré ces sortes de contact dans mon Traité de l'évolution des courbes, et même longtemps auparavant. » — We crois bien, répond Leibnitz, que vous aviez vu le cercle qui se décrit du point de la courbe évolue, et dont le rayon est la moindre droite qu'on peut mener de ce point à la courbe décrite; mais peut-être n'aviez-vous pas songé à le considérer comme la mesure de la courbure, et moi, lorsque j'avais considéré le plus grand cercle qui touche la courbe intérieurement, je ne m'étais pas avisé de songer aux évolutions. » Newton de son côté, dans le livre des Principes publié en 1687, fait un usage continuel de la théorie du rayon de courbure, et montre ime pleine connaissance de la relation qui lie cette théorie à celle des développées.

Le Chapitre est terminé par l'étude de systèmes de coordonnées curvilignes sur un plan et la démonstration de formules remarquables dues à M. Lamé, qui, après avoir créé cette théorie, lui a consacré un ouvrage qui semble avoir bien peu laissé à faire à ceux qui voudraient l'accroître ou la simplifier. Nous signalons particulièrement la relation remarquable qui lie les rayons de courbure des courbes orthogonales avec leurs dérivées prises par rapport aux arcs normaux, formule très-élégante, qui contient implicitement la loi suivant laquelle peuvent varier les côtés des rectangles infiniment petits dans lesquels un plan est décomposé par deux séries de coiu'bes orthogonales : chaque rectangle en particulier est évidemment arbitraire ; mais les côtés successifs ont entre eux des relations nécessaires qui changeraient si les courbes étaient situées sur une autre surface, et qui ne sont les mêmes que pour deux surfaces applicables l'une sur l'autre.

L'étude des lignes tracées sur la sphère est le but du second Cha- I. /

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pitre ; on y considère un élément signalé par Euler sous le nom de courbure sphcriquCy et présenté comme fournissant la généralisation naturelle de la notion de courbure des lignes planes. Les travaux des géomètres modernes ont étendu la généralisation aux lignes tracées sur une surface quelconque et augmenté par là l'importance des théorèmes très-simples que nous démontrons dans le cas des courbes sphériques. L'extension des belles formules de M. T^amé au cas d'un système de lignes se coupant à angle droit sur la sphère doit être particulièrement signalée.

Le troisième Chapitre est consacré aux lignes à double courbure. Sans nous occuper particulièrement d'aucune courbe, nous donnons, comme pour les courbes planes, les propriétés qui leur sont communes à toutes; elles sont pour la plupart des conséquences de la loi de continuité, mais le lien qui les y rattache est caché : des yeux très-exercés et attentifs peuvent seuls l'apercevoir. Toute courbe a en chaque point un plan osculateur, un cercle osculateur dont Taxe, intersection de deux plans normaux infiniment voisins, est la génératrice d'une surface développable, ayant pour arête de rebroussement le lieu des centres des sphères osculatrices.

IjC plan osculateur a été pour la première fois considéré par Jean BernouUi, qui, en l'introduisant dans la solution d'un problème de Géométrie, a indiqué très-suffisamment le moyen de le déterminer. Mais ces considérations paraissent avoir fort peu attiré l'attention avant le beau Mémoire où xMonge a pour la première fois exposé la théorie générale des développées, et qui forme la base de nos connaissances générales sur les courbes à double courbure. C'est là que pour la première fois se trouve indiquée la surface développable qdi contient les développées et son arête de rebroussement heu des centres des sphères osculatrices. Il a montré également que le lieu des centres de courbiu-e n'est pas une développée, et rendu facile la solution de tous les problèmes résolus dans ce troisième Chapitre.

lia théorie générale des surfaces, telle qu'elle est exposée dans les Chapitres V, VI et VII, est renfermée presque entièrement dans le Mémoire d'Euler sur la courbiu^e des sections normales, et dans les écrits où Monge a fait connaître l'existence et les propriétés des lignes de courbure. Ces propriétés si simples et si admirables par leur généralité ne pouvaient tarder à devenir classiciues et en quelque sorte élémentaires. Rien n'est plus utile à

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la clarté d'une théorie que son introduction dans l'enseignement régulier. Les efforts successifs des maîtres, et souvent aussi ceux des élèves, en s'exercant sur toutes leurs conséquences, approfondissant les difficultés incidentes sans laisser aucun point inexploré, réduisent peu à peu à des termes d'une extrême évidence les propositions qui, énoncées pour la première fois par leurs inventeurs, ont pu sembler les plus merveilleuses et les plus inattendues. Parmi les travaux qui ont le plus contribué à atteindre ce but, on doit citer au premier rang l'ingénieuse théorie de l'indicatrice, à l'aide de laquelle M. Dupin a si heureusement relié entre eux les résultats d'Euler et de Monge. Citons aussi, parmi les progrès importants qui restaient à faire après les travaux de ces deux grands génies, le théorème capital relatif aux surfaces orthogonales, découvert aussi par M. Dupin, et auquel les études de M. Lamé ont ajouté depuis tant d'importance. N'oublions pas enfin le beau théorème de Malus sur les rayons lumineux, complété par M. Dupin et démontré par lui pour la première fois dans toute sa généralité.

Les premières recherches de Monge sur la théorie des surfaces sont consignées dans un Mémoire dont le titre semble annoncer des études toutes différentes. C'est, en effet, dans son Mémoire sur les déblais et remblais qu'il donne pour la première fois la condition pour que des droites soient normales à une même surface et que se trouve démontrée, pomr une surface quelconque, l'existence des lignes de courbure. Une singularité de ce Mémoire doit être signalée : il semble par son titre complètement étranger à la théorie des surfaces ; il est intitulé en effet : Mémoire sur la théorie des déblais et remblais. La question qui s'y trouve traitée est curieuse, mais elle est résolue, il faut l'avouer, par des considérations tellement peu rigoureuses, qu'il est permis de conserver des doutes sur l'exactitude même des conclusions. C'est sous forme de lemme destiné à faciliter l'étude de cette théorie incomplète et sans importance, que Monge a produit une de ses plus belles découvertes.

Le dernier Chapitre de ce volume traite des lignes tracées sur une surface quelconque ; les résultats principaux en sont empruntés à l'im des plus beaux et des plus célèbres Mémoires de Gauss. Ils sont relatifs à la déformation des surfaces suivant une loi telle, que la longueur des lignes qui y sont tracées reste sans altération. Dansune telle déformation, le produit des rayons de

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courbure reste invariable en chaque point; mais la réciproque n'est pas exacte, et les points d'une surface peuvent correspondre un à un à ceux d'une autre surface, de telle sorte que le produit des rayons de courbure soit le même aux points correspondants, sans que pour cela les lignes correspondantes aient la même longueur; d'autres conditions sont nécessaires pour que deux surfaces soient applicables l'une sur l'autre ; leur étude successivement perfectionnée par plusieurs géomètres habiles, a conduit à une méthode très-simple qui permet de décider si deux surfaces sont applicables l'une sur l'autre, sans sortir des limites du calcul différentiel.

Le même Chapitre contient enfin quelques résultats remarquables relatifs à l'élément nommé par M. Liouville courbure géodésique^ et qui joue dans l'étude des lignes tracées sur une surface un rôle tout analogue à celui de la coiu-bure dans l'étude des lignes planes.

Tel est le résumé succinct des vingt-six Chapitres qui composent ce premier volume ; il y reste d'importantes lacunes et des imperfections nombreuses que je ne me dissimule pas. En comparant ce que j'ai pu faire avec le plan que je m'étais tracé, je sais mieux que personne combien je suis resté loin du but que j'aurais voulu atteindre. Je voudrais pouvoir ofFrii' aux jeunes géomètres le moyen d'étudier les travaux des maîtres delà science sans être jamais arrêtés par l'ignorance des principes sur lesquels ils reposent ; mais un tel programme s'étendrait presque sans limites, et j'ai dû me borner, dans la mesure de mes forces et dé mon érudition, à aplanir pour eux les premiers pas. On peut faire beaucoup mieux sans doute, mais sans parvenir, j'en ai la conviction, à surmonter toutes les difficultés. Peut-être même aurait-on tort de le regretter; rien ne peut suppléer à l'étude directe des grands maîtres, et en aidant les jeunes gens à s'en affranchir trop longtemps, il pourrait arriver qu'en facilitant leurs études, on retardât chez eux, pour bien longtemps peut-être, le développement de l'esprit d'invention.