INFINIMENT PETITS DES DIFFÉRENTS ORDRES, LEUR USAGE EN GÉOMÉTRIE

Définitions.

1 . On nomme infimmenl petit ou quantité infiniment petae^ un nombre ou une grandeur variable qui diminue indéfiniment et s'approche autant qu'on veut d'une limite nulle» sans jamais l'atteindre.

Lorsque l'on considère simultanément plusieurs infiniment petits, on choisit arbitrairement l'un d'entre eux comme infiniment petit principal ; cela fait, on adopte les définitions suivantes.

On nomme infiniment petit du premier ordre tout infiniment petit dont le rapport I. I

2 • PREMIÈRE PARtiE. - CALCUL WFTÉRENTIEL.

à rinfiniment petit principal tend vers une limite finie lorsqu'ils s'approchent tous

deux indéfiniment de zéro.

On nomme infiniment petit du second ordre tout infiniment petit dont le rapport au carré de l'infiniment petit principal tend vers une limite finie.

On nomme en général infiniment petit de V ordre n un infiniment petit dont le rapport à la puissance n^'"^ de Tinfiniment petit principal a une limite finie.

Il ne faut pas croire que tout Infiniment petit soit nécessairement d*un ordre déterminé; nous rencontrerons en effet des infiniment petits tels, qu'aucune puissance de l'un d'eux ne soit du même ordre que l'autre. Soient a et p de tels infiniment petits : le rapport g ne peut pas avoir une limite finie, car sans cela ils seraient

de même ordre. Lorsque cette limite est nulle, on dit que Y ordre de a est supérieur a celui de ^ et c'est le contraire si la limite est infinie.

Il résulte évidemment des définitions précédentes que si deux infiniment petits a et |3 sont l'un de l'ordre n et l'autre de l'ordre n', leur produit a/3 est de l'ordre n -^ n\

2. Soit (p [x] une fonction quelconque d'une variable x; si l'on donne à a; un accroissement infiniment petit A, que nous regardons comme infiniment petit principal, l'accroissement infiniment petit correspondant de la fonction, 9 (x -+- A) — © (a;) . est un infiniment petit 'de premier ordre, et il ne peut y avoir exception que pour des valeurs particulières de la variable x.

Si, en effet, il en était autrement, le rapport ^^-^ — . ) ~ vi^J aurait, pour chaque valeur de œ, une limite nulle, ou infinie. Je dis que ces deux hypothèses sont inadmissibles.

Supposons d'abord que le rapport considéré ait constamment pour limite zéro, lorsque x reste compris, ent^e certaines limites. Soient a et b deux valeurs de x choisies arbitrairement entre ces limites ; partageons l'intervalle 6 — a en n parties

égales et nommons h la valeur de chacune de ces parties ; posons :

f,\ y(a-h:iA) — y(g-i-A) ^ ( I j y^ — *-'»

Si n augmente indéfiniment, h tend vers zéro, et d'après notre hypothèse il en

est de même de £«, E^ ,..., Ë„. Gela posé, ajoutons membre à membre toutes

les équations ( i ) après avoir multiplié par h les deux membres de chacune d'elles;

nous aurons

<p (a-h n/i) — <,;(«)=: tp (frj - ? (a) = A (E,H-E,-4-...-+- EJ.

Soit yj la plus grande en valeur absolue des quantités E^, Eg ,..., E^ (>9 est infiniment petit), nous pouvons conclure de l'égalité précédente que ç [b) — (p(aj est plus petit en valeur absolue que le produit h,ny\^ c'est-à-dire (à cause de nh = h — a), que cette différence ? (*) — 9 («) est moindre en valeur absolue que le produit vj (é — a) et comme vj est infiniment petit, il est impossible que la différence ? (è) — 9 (a), qui ne dépend nullement de A, ait une valeur finie quelconque; cette différence est donc nulle, deux valeurs de la fonction y, choisies arbitrairement, sont donc égales entre elles, par conséquent cette fonction est constante.

Il est démontré par là que les accroissements d'une fonction qui ne se réduit pas à une constante ne peuvent pas être des infiniment petits d'un ordre supérieur aux accroissements correspondants de la variable, si ce n'est toutefois pour des valeurs exceptionnelles de cette variable. On peut en conclure immédiatement que le rapport

ne peut pas non plus croître indéfiniment lorsque h tend vers zéro, ou, en d'autres termes, que l'accroissement h de la variable ne peut pas être un infiniment petit d'ordre supérieur à l'accroissement de la fonction.

Un peu de réflexion fait apercevoir l'identité de cet énoncé avec le précédent. Quand on considère, en effet, à la fois une fonction y (a?) et la variable x dont elle dépend, rien n'empêche de désigner cette fonction par une lettre j et de regarder y comme une variable dont a? est une fonction ^ {y). Cette vérité acqiiiert . une complète évidence si l'on regarde ç [x) comme l'ordonnée d'une courbe ayant pour équation/ = 9 {x) : cette courbe étant construite, il est clair que l'on peut régarder l'abscisse de l'un de ses points comme fonction de l'ordonnée, tout aussi bien que l'ordonnée comme fonction de l'abscisse; et du moment qu'il est prouvé, d'une manière générale , que l'accroissement infiniment petit de l'une de ces quantités ne peut être d'un ordre supérieur à celui de l'autre, la proposition s'applique nécessairement a l'un et à l'autre, et l'on doit en conclure que les deux accroissements sont de même ordre.

3. Quelle que soif la fonction <p (a?), le rapport lifjt-ijziiif ' a, d'après ce qui précède, une limite finie lorsque h tend vers zéro; cette limite est une nouvelle

fonction de x que Ton nomme la démée de la fonction cp; on la représente souvent

en marquant d'un accent le signe de cette fonction. <p' (a?) est la dérivée de 9 (a?). ♦

La recherche et Tétude des dérivées ont une grande importance dans le calcul

infinitésimal; nous y consacrerons plusieurs chapitres. Notre seul but en ce moment

est de donner quelques exemples d'infiniment petits de divers ordres.

Nous indiquerons immédiatement quelques conséquences géométriques de la

proposition précédente.

4. Si les coordonnées des points d'une courbe s'expriment en fonction dune varia-ble a, ce qui pour une courbe quelconque peut évidemment être réalisé d'une infinité de manières i la distance de deux points infiniment voisins de la courbe est un infiniment petit de même ordre que la différence des valeurs de a auxquelles ils correspondent.

Si l'on nomme en effet x et y les coordonnées de l'un des points» et x -+- h, y -h k les coordonnées de l'autre, â désignant l'accroissement de a, puisque x et y sont fonctions de a, il résulte du théorème général que leurs accroissements h et k sont l'un et l'autre de même ordre que â. Or on a

-/ÎjFW)''

et par conséquent ce rapport a une limite finie, ce qui prouve la proposition énoncée, car sj h^ -^ k^ est la distance des deux points considérés.

La même proposition s'applique aux courbes à double courbure; si x, y, z sont les coordonnées d'un point d'une telle courbe et fonctions toutes trois d'une même variable a, en donnant k a un accroissement infiniment petit ^, x,y, z deviendront rf -h A, 7 -h *, j3 -h /, et A, *, / seront de même ordre c^. Or on a

=\/(i7^(iMïr-

et par conséquent le rapport de la distance de deux points infiniment voisins à l'accroissement correspondant de a a une limite finie.

5. Si les points d'une courbe correspondent un à un à ceux d'une autre courbe, de telle sorte qu'un point de l'une des courbes étant choisi, son correspondant se trouve déterminé, la distance de deux points infiniment voisins de l'une des courbes est de même ordre que celle des points correspondants sur l'autre.

Si Ton suppose, en effet, que les coordonnées x, y, z des points de la première courbe soient exprimées en fonctions d'une variable a, les coordonnées x^^y^,z^A\x point correspondant de la seconde courbe sont également fonctions de a. Si donc on veut considérer deux pointS^ infiniment voisins de l'une des courbes et leurs

correspondants sur l'autre, il suffit d'attribuer à a deux valeurs infiniment voisines, a et a + ^. D'après ce qui précède, les distances des points ainsi obtenus seront l'une et l'autre de même ordre que e^, et par conséquent 'ce sont des infiniment petits de même ordre.

D'après cela, s'il était démontré, dans un cas particulier, que la distance de deux points infiniment voisins de la seconde courbe est constamment un infiniment petit d'ordre supérieur a la distance des points correspondants de la première, il faudrait conclure que les coordonnées des points de la seconde courbe sont constantes et que celle-ci 3e réduit à un point.

6. Si une ligne droite se déplace dans l'espace suiçant une loi continue quelconque, de telle sorte que chacune de ses positions corresponde à une valeur attribuée à une variable a, f angle de deux positions infinifnent voisines de cette droite est de même ordre que la différence des valeurs correspondantes de a.

Pour le démontrer, supposons que par l'origine 0 des coordonnées on mène des parallèles aux diverses droites considérées, qui évidemment formeront entre elles les mêmes angles que celles-ci. Nous obtiendrons ainsi un cône dont les génératrices répondent aux diverses valeurs de la variable a. Si l'on coupe ce cône par une sphère concentrique dont le rayon soit égal à l'unité, à chaque valeur de a correspondra un point de la courbe d'intei'section. Si donc on considère deux va-* leurs infiniment rapprochées de cette variable, a et a -h c?, les points M et M' qui leur correspondent sur la courbe sont (4) à une distance de même ordre que ù, et par suite, dans le triangle isocèle OMM', l'angle 0 est de même ordre que c?, car

0 MM'

on asm — = •

7. Siles points d'une surface correspondent, un à un, à ceux d'une autre surface^ de telle sorte qu'un point de l'une étant choisi, son correspondant se trouve déterminé sur l'autre, la distance de deux points infiniment voisins de F une des surfaces est de mérne ordre que celle de leurs correspondants.

Considérons, en effet, deux points A et B de la première surface et leurs correspondants P et Q sur la s.econde. Supposons que B se rapproche de A en suivant une certaine courbe sur la première surface, Q se rapprochera en même temps de P en suivant une courbe correspondante. Si nous portons exclusivement notre attention sur ces deux courbes» nous rentrons dans le cas examiné plus haut, et nous pouvons conclure de ce qui a été dit (5) que les distances AB et PQ sont des infiniment petits de même ordre.

8. Donnons maintenant un exemple d'inf^iiment petit du second ordre. Considérons une courbe plane quelconque et la tangente en un point M. Si d'un point M'

situé sur la courbe à une distance infiniment petite du premier ordre de M on abaisse sur cette tangente une perpendiculaire MT, M'P sera un infiniment petit du second ordre.

Et d'abord il est facile de voir, par la considération du triangle MM'P, que M'P est un infiniment petit d'un ordre supérieur au premier; on a, en efret,»dans ce triangle,

|^ = si„PMM',

et comme l'angle PMM' est évidemment infiniment petit, MM' étant du premier ordre, M'P est (1 ) un infiniment petit d'un ordfe supérieur. Il nous reste à prouver que sin PMM' ou; ce qui revient au même, l'angle PMM' est un infiniment petit du premier ordre, car, cela étant, M'P sera le produit de deux infiniment petits du premier ordre et par conséquent du second ordre. Pour faire cette démonstration, considérons la tangente en M' à la courbe donnée, et soit I le point où elle coupe la tangente en M. Si l'on nomme £ l'angle formé par ces deux tangentes, on a évidemment

e = lMM-hlM'M,

en sorte que e est de même ordre que les angles IMM' et IM'M. Il suffit donc d'établir que cet angle 6 est du premier ordre. Or cela résulte de ce qui a été démontré ^6}. En effet, la direction de la tangente en M est déterminée par l'abscisse du point M ; si donc cette abscisse augmente d'une quantité infiniment petite du premier ordre, la tangente s'infléchira de manière à former avec la position voisine un angle du premier ordre, et cet angle est précisément s.

Nous signalerons une conséquence immédiate de la proposition précédente. Si d'un point 0 on abaisse une perpendiculaire OP sur une ligne droite AB, et que l'on joigne ensuite le même point 0 k un point F de la même ligne infiniment voisin de P, PP' étant considéré comme infiniment petit principal, la différence OP' — OP est du second ordre, car elle est égale a la portion de la ligne OP' comprise entre le cercle décrit du point 0 comme centre avec OP pour rayon et la tangente à ce cercle qui est précisément PP'.

9. La même proposition s'étend aux courbes a double courbure. Si en un point M d'une courbe à double courbure on Aène une tangente à cette courbe, la distance de cette tangente à un point M', situé sur la même courbe et infiniment voisin de

UVRE PREMIER. - ÉTUDE DES DIFFÉRENTIELLES Et DBS DÉRIVÉES. 1

M, est infiniment petite du second ordre, lorsque MM' est considéré comme infiniment petit principal.

II est clair, en effet, que la distance d'un point a une droite est de même ordre que celle de la projection du point à celle de la droite sur un plan choisi arbitrairement. On peut donc substituer à la courbe donnée sa projection sur un plan sans altérer l'ordre de la distance^ qui nous occupe, et par suite, en vertu du théorème relatif aux courbes planes, cette distance est du seconci ordre.

10, La géométrie nous fournit également des exemples simples d'infiniment petits d'un ordre supérieur au second.

Considérons une courbe plane quelconque et sa tangente en un point M. Si sur cette tangente on porte une longueur infiniment petite MT, et qu'on élève en T une perpendiculaire TM', terminée en M' sur la courbe, TM' sera (8) un infiniment petit du second ordre. Si donc on pose MT = A, on aura TM' = KA*, K ayant une limite finie lorsque h tend vers zéro. Considérons actuellement un cercle de rayon R,

tangent en M à la courbe donnée et situé du même côté qu'elle par rapport à la tangente. Prolongeons la ligne TM' jusqu^à ce qu'elle rencontre le cercle en M*'; on aura, par la propriété connue du cercle,

^ ""aR-TM''""2R-TM'''

et par suite .

M'M" = TM"-™'=A' (^-^-I^-k).

Si donc on détermine R de telle sorte que ( tt— !tm''""^) ^^tp^^^^l^n^îtczéro,

c'est-à-dire, en nommant K, la limite de K, si l'on prend R = -^» la distance M'M"

sera un infiniment petit d'un ordre supérieur au second.

Il existe donc, en chaque point d'une courbe plane, un cercle tangent qui dans le voisinage du point de contact est infiniment plus voisin de la courbe que celle-ci ne l'est de la tangente. Ce cercle, qui joue un grand rôle dans l'étude des courbes, se nomme cercle osculateur.

Remarque. — Les théorèn>es précédents peuvent être en défaut pour des points

exceptionnels; c'est ainsi que le rapport ^ ^"^^Vy dont la limite ne peut pas

être constamment nulle, peut tendre vers zéro pour une valeur particulière de la

variable.

Substitution des infiniment petits.

11. Lorsqu'on emploie les infiniment petits, c'est presque toujours comme intermédiaires, et ils figurent dans les raisonnements, soit par leurs rapports qui ont des limites finies, soit par la.somiAe d'un nombre indéfiniment croissant d'entre eux. Lorsque l'on a ainsi en vue la recherche de la limite d'un rapport ou de celle d'une somme, on peut souvent simplifier la question à l'aide du principe suivant :

Dans la recherche de la limite dun rapport ou de la limite dune somme, on peut remplacer un infiniment petit par un autre dont le rapport au premier ait pour limite r unité.

Soient, en eiTet, « et j3 deux infiniment petits, et a\ ^' deux autres, tels que

lim-^ = i, Hm-|^ = i, on a identiouement i

* — £ ± êl

et en passant à la limite, puisque 4 6t|/ ont pour limite l'unité,

lîm^=lim^.

Soit maintenant

une somme d'infiniment petits dont le nombre n augmente indéfiniment, à mesure qu'ils tendent vers zéro, de telle sorte que la somme converge vers une limite finie. Soient |3|, Ps,.., Pa d'autres infiniment petits, tels que

• lim^ = i, lim^=i,..., lim^ = i.

p. Pa P-

Je dis que la somme (A) aura même limite que la somme

Soient, en effet,

8,, £2,..., Sff, étant par hypothèse des infiniment petits. On déduit de ces équations

Pi -f-pi-h . .. -î-p„ = a, 4-a, 4- .. . 4:«,.-haiii -h^aSi-h . • . 4-an««.

Soit v} la plus plus grande en valeur absolue des quantités €«, s^,..., £„ (y? est infiniment petit), il est clair que la différence

p. -f- p3 4- . . . 4-'pi,— {«.4- a, . . . -^a„)

est moindre que

>ï (a, -haa-t- . . . -f-K/,).

Or ti tend vers zéro, et le second facteur a par hypothèse une limite finie, en sorte que les deux sommes (A) et (B) ont même limite.

12. Pour que deux infiniment petits oc et ^ puissent être substitués l'un à l'autre, il suffit, d'après ce qui précède, que la limite du rapport -soit l'unité, en d'autres termes, il suffit que l'on ait

6 étant infiniment petit, ou, ce qui revient au même,

c'est-à-dire que la différence j3 — a soit infiniment petite par rapport à a. Le théorème (11) peut donc être énoncé comme il suit :

Deux infiniment petits a et ^ peuvent être substitués l'un à Vautre^ et ton peut négliger leur différence, soit dans la recherche dune limite de rapport^ soit dans celle d'une limite de somme ^ pourvu que cette différence soit infiniment petite par rapport à tun d'eux.

Ce théorème, quelle que soit la forme que l'on donne à son énoncé, est d'un grand usage dans le calcul infinitésimal.

Emploi des infiniment petits dans la solution de quelques problèmes. Détermination de ta tangente à quelques courbes.

13. Nous montrerons immédiatement l'utilité des infiniment petits dans la solution de plusieurs problèmes de géométrie, et nous déterminerons d'abord la tangente à quelques courbes.

Pour déterminer en un point la tangente à une courbe, il faut, comme on sait, joindre le point de contact donné à un point voisin situé sur la même courbe, et chercher la limite de la direction ainsi définie lorsque le second point se rapproche indéfiniment du premier : en d'autres termes, et plus brièvement, il faut joindre le point de contact donné au point infiniment voisin de la courbe, l'expression infiniment voisin exprimant suffisamment le rapprochement indéfini de deux points considérés.

Le théorème suivant est souvent fort utile pour la détermination des tangentes.

Si l'on considère un point M d'une courbe et un point M' situé sur la même courbe à une distance infiniment petite du premier ordre de M» la direction limite de MM' ne change pas lorsqu'on substitue au point M' un autre point W\ situé hors de la courbe^ mais à une distance de M' infiniment petite d^ordre supérieur au premier.

Considérons, en effet, le trianglç MM'M"-

Les côtés de ce triangle étant proportionnels aux sinus des angles opposés, on a

sinM