M'M''=MM

SinM"

Si donc M' M" est, comme on Ta supposé, infiniment petit d'ordre supérieur à MM', sin M est nécessairement infiniment petit; il en est donc de même de l'angle M, et par suite les deux directions MM', MM", se confondent k la limite. C'est précisément ce qu'il fallait démontrer.

14. Nous appliquerons le principe précédent à la solution de quelques problèmes.

Prorlème I*'. — On abaisse d'un point fixe 0 des perpendiculaires sur les tangentes d'une courbe plane; trouver la tangente à la courbe lieu des pieds de ces perpendiculaires.

Soient OP, OF les perpendiculaires abaissées du point 0, sur les tangentes en deux points voisins M et M', la ligne PP' est (5) un infiniment petit de même ordre que MM', que nous regarderons comme l'infiniment petit principal. D'après

cela, dans la détermination de la direction PP', on peut substituer au point F un autre point qui en soit ( 13) à une distance infiniment petite du second ordre. Menons donc par le point M une parallèle à la tangente M' F; cette parallèle coupe OP' en un point P", qui peut être substitué à F, car FP" est égal à la distance de M à la tangente en M' et est (8) infiniment petit du second ordre. Mais les points P et P" sont situés sur une circonférence de cercle décrite sur OM comme diamètre;

la direction PP a donc pour limite la tangente à cette circonférence. La tangente cherchée est donc également tangente au cercle qui passe par les points 0, M» P, et la perpendiculaire à la tangente que l'on nomme la normale s'obtiendra par conséquent en joignant le point P au milieu de OM.

On peut remarquer que les rayons vecteurs OM et OP, menés du point 0 aux deux courbes lieux des points M et P, les coupent Tune et l'autre sous des angles OMP et OPT qui sont égaux comme ayant même mesure dans le cercle MPO.

Problème II. — On abaisse d'un point 0 des perpendiculaires sur les tangentes d'une courbe plane f et Ton prolonge chaque perpendiculaire OP Jusqu'en un point Q, tel que OP . OQ = a*, a étant une constante ; trousser la tangente à là courbe lieu des points Q.

Soient Q et Q' deux points infiniment voisins du lieu considéré et correspondant à deux tangentes MT, MT dont les points de contact sont M et M'. On sait (5) que la distance QQ' est infiniment petite de même ordre que MM', que nous prendrons pour infiniment petit principal. Menons par le point M, comme dans la solution du problème précédent, une parallèle MP" a la tangente M' F, et nommons P"

le point ou cette parallèle coupe OP'. FF sera, comme on l'a remarqué (8), infiniment petit du second ordre. Déterminons ensuite un point Q" tel, que OF'. OQ" = a*; Q'Q'' sera infiniment petit du second ordre, car OQ' est une fonction de ÔF, et OQ'' est la même fonction de OP*'; on passe donc de l'une de ces lignes à l'autre en attribuant à la variable OF, dans cette fonction, l'accroissement infiniment petit du second ordre FF', et la fonction s'accroît alors (2) d'une quantité Q'Q" infiniment petite du même ordre, c'est-à-dire du second.

D'après cela, on peut substituer au point Q' le point Q", et la tangente cherchée est la direction limite de QQ". Or les points P et F sont situés sur la circonférence de cercle décrite sur OM comme diamètre, et l'on sait qu'en portant sur les cordes d'un cercle issues de l'extrémité d'un diamètre des longueurs inversement proportionnelles à ces -cordes elles-mêmes, le lieu des points obtenus est une ligne droite perpendiculaire à ce diamètre. Les points Q et Q" sont donc sur une droite perpendiculaire à OM, et la tangente cherchée est par conséquent la perpendiculaire

i2 PREMIERE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL.

QK, abaissée du point Q sur OM. Les triangles OQK, OMP étant évidemment semblables, on a

OM.OK = OP.OQ = a',

et il en résulte qu'en opérant sûr la courbe lieu des points Q, comme on l'a fait sur la courbe proposée» on reproduirait cette courbe même, en sorte que les deux courbes peuvent être regardées comme conjuguées.

Problème III. — Sur les normales à une courbe plane on porte une longueur constante à partir du point où chaque normale perce la courbe; trouver la tangente au Heu des points ainsi obtenus.

Soient M et M' deux points intiniment voisins de la courbe donnée, et F, F les points correspondants que l'on en déduit, de telle sorte que MF, MT' étant deux

normales, on ait MF = M'P" = /. Joignons MM' et FF' et abaissons des points M et F des perpendiculaires MK et FK' sur M' F', on aura

KK' = MPcos«p=:/cosç,

(f étant l'angle de deux normales considérées; on en déduit

M'P' — KK' = M'K — P'K'=/(i— costp)=:2/sin'î. ^

L'angle (f étant (6) infiniment petit du premier ordre, M'K— F'K' est, d'après cela, infiniment petit du second ordre. Or on a M'K = MM' cos MM'K ; MM' est infiniment petit du premier ordre, l'angle MM'K est infiniment peu diflférent d'un droit, donc M'K est infiniment petit d'un ordre supérieur au premier; il en est donc de même de F'K', dont la différence avec M'K est du second ordre. Mais on a

P'K'=:PP'cosPP'K,

et il faut par conséquent de deux choses l'une, ou que FF' soit infiniment petit d'un ordre supérieur au premier, ou que FF'K diffère infiniment peu d'un angle droit. Dans la première hypothèse (5), la courbe se réduit à un point, et par suite la ligne MM' est un cercle de rayon /; dans la seconde hypothèse, qui, dans le cas général, est la seule admissible, l'angle FF'K étant droit à la limite, FF' est perpendiculaire a K'F,c'e8t-à-dire à M'F' qui à la limite ne diffère pas de MF, la tangente à la courbe lieu des points F est par conséquent parallèle à la tangente au point correspon-

dant de la courbe proposée^ les deux courbes ont donc les mêmes normales, et sont dites des courbes. partzUéles.

Problème IV. — Un angle de grandeur constante est circonscrit à une courbe donnée ; trouver la tangente à la courbe lieu des positions de son sommet.

Soient P un des points du lieu, M et N les points de contact correspondants des deux tangentes qui s'y rencontrent; F un second point du lieu infiniment voisin de P, M'.etN' les points de contact qui correspondent a ce second point. Les coordonnées du point P étant des fonctions déterminées de l'abscisse du point M, les distance PF et MM' sont (5) des infiniment petits de même ordre; nous les regarderons comme du premier ordre. Cela posé, menons par les points M et N des parallèles aux tangentes en M' et N', nous obtiendrons un parallélogramme PKP'L

dont les côtés sont (8) infiniment petits du second ordre, et l'on pourra (13} substituer à F le sommet opposé P" de ce parallélogramme. Mais P et P"" sont situés sur un segment capable de l'angle P décrit sur MN comme corde, et PF est à la limite tangente à ce segment, d'où l'on conclut que la courbe cherchée a la même tangente en P que ce segment, lequel est circonscrit au triangle MNP.

Problème V. — Déterminer la tangente à la cycloïde.

La cycloïde est une courbe fort remarquable ; nous la prendrons souvent pour exemple de l'application des méthodes générales. Commençons par donner sa définition.

La cycloïde est engendrée par un point d'une circonférence qui roule sans glisser sur une de ses tangentes supposée fixe (*).

Soient OM une position du cercle générateur, et M la position du point qui décrit

(*) On dit qu'une courbe mobile roule sans glisser sur une ligne fixe, lorsque cette courbe se déplace en restant constamment tangente à la ligne fixe qu'elle vient toucher par ses différents points et suivant une loi telle, que chaque arc de courbe mobile soit égal en longueur à l'arc de la ligne fixe sur lequel ses points se sont successivement appliqués. Il résulte de raisons physiques qui ne seraient pas ici à leur place, qu'une roue de voiture roule à très-peu près sans glisser sur le sol, et que, celui-ci étant rectiligne, la courbe décrite par un point de la roue est une cycloïde.

la cycloïde. Considérons le cercle dans une position voisine 0' M', le point M étant transporté en M' et l'arc 01 s'étant appliqué sur la droite d'égale Ipngueur 00'; de telle sorte que 00' soit égal à la différence O'M' — OM.

Le point I de la circonférence MOI devant, par suite du mouvement, venir se placer en 0', pour servir de point de contact à la droite et au cercle ; on peut faire passer la circonférence MO de sa position actuelle à la position nouvelle 0'M\ à l'aide de trois mouvements successifs.

i*' Une rotation autour du point de contact actuel 0, et dont l'angle égal à 100' soit tel, que le point I vienne se placer en I' sur la droite 00'.

-^ Par suite de ce premier mouvement, la circonférence mobile estjdevenue sécante à la droite AOO' sur laquelle elle détache la corde 01' ; une rotation égale à la première et effectuée autour du point \ la rendra de nouveau tangente à cette droite.

3° Pour amener enfin la circonférence mobile dans la position désirée, il suffit de faire parcourir a tous Jes points des droites égales et parallèles kl' 0', de manière à amener en 0' le point primitivement placé en I, qui sera alors évidemment le point de contact de la droite et du cercle.

Le point M pour venir occuper la position M', qui est celle d'un point voisin sur la cycloïde, aura donc parcouru deux arcs de cercle de même angle ayant respectivement leurs centres en 0 et en \ et une droite égale et parallèle à l'O'.

On voit tout d'abord que cette dernière droite l'O', égale à la différence entre un arc infiniment petit et sa corde, est infiniment petite du troisième ordre (*), et n'influe pas par conséquent (13) sur la direction limite de MM'.

Quant aux deux arcs de cercle, leurs normales étant dirigées vers les points infiniment voisins 0 et F, l'angle sous lequel ils se réunissent tend vers zéro, et la ligne qui réunit la première extrémité de l'un a la seconde extrémité de l'autre a pour direction limite une perpendiculaire à la normale commune, c'est-k-dire à la ligne MO.

( ^ ) On démontre, en étudiant la trigonométrie, que la différence entre un arc et son sinus est moindre que le sixième du cube de Tare, et la différence entre Tare et sa corde est double de Texcès de Tare moitié moindre sur le sinus correspondant .

UVRE PREBOER. ~ ÉTUDE DES DIFFÉRENTIELLES ET DES BfÈRIVÉES. 15

La normale à la cycloide est donc dirigée vers le point où le cercle générateur touche la droite sur laquelle il roule.

Déterminaiion de quelques plans tangerUsi

15. Le plan tangent d'une surface en un point est le plan qui, en ce point, contient les tangentes à toutes les courbes tracées sur la surface. Démontrons d'abord l'existence d'un tel plan. Soient M un point pris sur une surface donnée, et MP, MQ deux courbes quelconques qui se croisent en M sur cette surface; je dis que les tangentes à ces courbes sont dans un même plan avec la tangente a une troisième courbe MR menée arbitrairement sur la même surface. Considérons, en effet , cette troisième courbe MR comme la position limite d'une courbe R'R'' constamment située sur la surface et qui, coupant MP et MQ respectivement en A et B, s'approche d'une manière continue de sa position limite MR. Les droites MA, MBet AB sont toujours dans un même plan, qui est celui des trois points M, A, B; leurs directions limites sont donc aussi dans un même plan; or la limite de MA est la tangente à la courbe MP, celle de MB la tangente a la courbe MQ, et AB, réunissant deux points infiniment voisins de la courbe R'R", est a la limite tangente à cette courbe, c'est-à-dire à MR. Le théorème est donc démontré. On voit cependant qu'il peut souffrir quel^ ques exceptions en des points singuliers, parce que la ligne qui réunit deux points infiniment voisins d'une courbe n'est pas nécessairement tangente lorsque l'un de ces points n'est pas fixe ; il pourra donc arriver que la ligne AB ne soit pas, à la limite, tangente à MR. Une pareille exception n'indique pas du reste une imperfection de la démonstration, car le théorème étant en défaut dans quelques cas singuliers, il faut bien que la démonstration laisse voir la possibilité de ces cas exceptionnels.

16. Le plan tangent a une surface S est à une distance infiniment petite du second ordre de tout point M' de la même surface situé à une distance infiniment petite du premier ordre de son point de contact M. Si l'on conçoit en effet un plan P mené suivant la droite MM' et perpendiculaire au plan tangent en M> ce plan coupera la surface S suivant une courbe MM', et la distance du point M' au plan tangent en M est évidemment la même que la distance à la tangente à cette courbe MM'; elle est par conséquent (8) infiniment petite du second ordre.

17. Pour déterminer le plan tangent à une surface en un point M situé sur la surface, il faut considérer avec ce point M deux autres points infiniment voisins, N et P, et chercher la limite du plan MNP. MNet MP sont, en effet, à la limite, des tangentes à deux courbes tracées sur la surface et par suite leur plan est le plan tangent en M.

i6 PREMIÈRE PARTIE. ~ CALCUL DIFFÉRENTIEL.

On verra , absolument comme (13), que les points N et P étant supposés situés a des distances infiniment petites du premier ordre de M» on peut leur substituer d'autres points N' et F tels, que NN' et PF soient infiniment petits d'un ordre supérieur. Une telle substitution n'altérant pas la direction limite des droites MN et MP, ne change pas non plus la limite du plan MNP.

Problême I. — On abaisse d'un point 0 des perpendiculaires sur les plans tangents d'une surface donnée ; trousser le plan tangent à la surface lieu des pieds de ces perpendiculaires.

Soient OP la perpendiculaire abaissée du point 0 sur le plan tangent en A, OQ et OR, les perpendiculaires respectivement abaissées du même point 0 sur les plans tangents aux points B et G, infiniment voisins de Â. P, Q, R sont trois points infiniment voisins de la surface considérée, et le plan qui les contient est k la limite le plan tangent cherché.

Si les distances AB, AC sont infiniment petites du premier ordre, il en sera de même (7) des distances PQ, PR, et par conséquent on peut substituer aux deux points Q et R d'autres points Q, et R4 tels, que QQi et RR, soient infiniment petits du second ordre.

Nous obtiendrons ces jpoints Qi et R| en menant par le point A des plans parallèles aux plans tangents en B et G et abaissant sur ces plans des perpendiculaires OQj, 0R| : chacun de ces nouveaux plans est, e.n effet (16), à une distance infiniment petite du second ordre du plan tangent auquel il est parallèle, et la perpendiculaire commune -à ces plans les coupe en deux points que l'on peut substituer Tun à l'autre; le plan tangent cherché est donc la limite du plan PQ4R4 lorsque les points Q« etR, se rapprochent indéfiniment du point P. Mais le lieu des pieds des perpendiculaires abaissées du point 0 sur ious les plans possibles menés par le point A est une sphère décrite sur OA comme diamètre, et le plan PQ4 R, qui passe par trois points infiniment voisins de cette sphère, lui est tangent à la limite, en sorte que le plan tangent cherché est tangent en P à la sphère décrite sur OA comme diamètre.

Problème II. — O/i abaisse d'un point fixe 0 des perpendiculaires sur les plans tangents à une surfacCy et l'on prolonge chaque perpendiculaire OP jusqu'en un point Q tel, que k produit OP.OQ soit égal à un carre donne a' ; trouver le plan tangent à la surface lieu des points Q.

Par des raisonnements tout semblables à ceux qui ont servi dans la solution du problème précédent, on trouvera que le plan tangent demandé au point Q est perpendiculaire sur la droite OA qui Joint le point 0 au point de contact du plan tangent sur lequel OQ est perpendiculaire et qu'il coupe le rayon OA en un point B, tel, que OA.OB = a', en sorte que la surface proposée et la surface lieu des points Q

UVRE PREMffiR: - ÉTUDE RES DIFFÉRENTIELLES ET DES DÉRIVÉES. * 17

peuvent être considérées comme conjuguées, c'est-à-dire qu'en opérant sur la seconde comme on l'a fait sur la première, on reproduirait précisément celle-ci.

Nous ne développerons pas les raisonnements qui ne peuvent offrir aucune difficulté à ceux qui ont bien compris le commencement de ce chapitre.

Problème III. •— Une surface S étant donnée, on détermine une seconde surface S' dont chaque point se déduit de l'un des plans tangents à la surface S, à l'aide d'une certaine construction bien déterminée. On demande de déterminer le plan tangent en un point de la surfa^ce S' . .

Soient A un point de la surface S, MN le plan tangent en ce point, et P le point de la surface S' déduit du plan MN par la construction convenue.

Le plan tangent cherché passe par le point P et par deux points, Q et R, déterminés à l'aide de la même construction appliquée aux plans qui touchent la surface S en deux points B et C infiniment voisins de A. Or on peut, à ces plans tangents aux points B et G, substituer les plans parallèles menés par le point A, qui en sont (16) situés a des distances intiniment petites du second ordre, et remplacer Q et R par les points Q, et R^ déduits de ces nouveaux plans. Il est clair, en effet, que les coordonnées de l'un de ces points, quelle que soit la construction qui le donne, dépendent des coefficients de l'équation du plan dont on le déduit, et que ces coefficients subissant un changement infiniment petit du second ordre, le changement correspondant des coordonnées est un infiniment petit (2) de même ordre.

Mais les points P, Q«, R,, sont trois points infiniment voisins, situés sur la surface lieu des points déduits a l'aide de la construction convenue de tous les plans menés par le point A; le plan tangent cherché n'est donc autre chose que le plan tangent à cette dernière surface.

On voit, d'après cela, que le plan tangent à la surface S' pourra se déterminer en substituant aux plans tangents a la surface S des plans passant par un point fixe. Cette substitution fait disparaître la difficulté provenant de la nature plus ou moins compliquée de la surface donnée.

Cette remarque générale comprend implicitement la solution des problèmes I et II et celle d'une infinité d'autres <iu même genre. 11 faut bien remarquer toutefois que la construction, entièrement arbitraire d'ailleurs, à l'aide de laquelle s'obtiennent les points du lieu considéré, doit être indépendante de la position du point de contact.

Si, par exemple, on abaisse d'un point 0 une perpendiculaire OP sur le plan tangent à une surface donnée, et que l'on porte, sur cette perpendiculaire, une longueur OQ égale k la distance OM du point Q au point de contact, le plan tangent au lieu des points Q ainsi définis ne peut pas s'obtenir à l'aide de la remarque précédentCy parce que la position de ce point Q ne dépend pas seulement de celle du I. 3

18 PREMIÈRE PARTre. - CALCUL DfFFÉRENTflEL.

plan tangent qui a servi à le déterminer, mais aussi de celie du point M où ee plan

touche la surface.

Problème IV. — D* un point fixe 0^ on mène à un point quelconque M d*une surface donnée S, un rayon vecteur OM, par le point M on mène la normale MN à la surface S, et par le point 0, dans le plan OMN, une droite OP perpendiculaire et égale en longueur OM. On demande le plan tangent à la surface 2 Ueu des points P.

Soit MT la projection de OM sur le plan tangent en M à la surface S. Cette ligne esl évidemment tangente à la courbe d'intersection de la surface S par le plan OMN. Supposons que le point M se déplace sur -cette courbe, où pourra admettre, en négligeant les infiniment petits du second ordre, qu'il se transporte en un point M, situé sur MT. Si la normale en M, à la surface S était située dans le plan OMN, le point correspondant de la surface 2 serait situé dans le même plan à l'extrémité d'une droite PQ, perpendiculaire et égale en longueur à MM,. Il est clair, en eflet, que les triangles OMM< et OPQ seraient égaux et auraient les côtés perpendiculaires. Mais les deux points M et M, étant situés sur 1^ surface S, a une distance in-

finiment petite du premier ordre l'un de l'autre, la normale en M, fera en général un angle infiniment petit du premier ordre avec la normale en M et aussi avec le plan OMN; le point P, de la surface 1 qui correspond à M», ne coïncidera donc pas avec Q, il s'obtiendra en élevant une droite OP, égale et perpendiculaire à OM,, dans un plan passant par OM, et formant avec le plan OMNPQ un angle infiniment petit, et il est clair que pour obtenir cette droite il suffit de faire tourner OQ, sans changer sa longueur, d'un angle infiniment petit autour de OM,; mais, dans cette rotation, le point Q décrit un arc de cercle infiniment petit QP, qui peut, si on néglige les infiniment petits du second ordre, être remplacé par sa tangente, laquelle est perpendiculaire au plan QPOMM,, et par suite le plan P, QP est perpendiculaire à MT, et il en est de même de la ligne PP, qui, réunissant deux points infiniment voisins de la surface 2, est tangente à cette surface.

Nous allons montrer qu'une seconde tangente de la surface 2 est perpendiculaire à MT.

Pour trouver cette seeonàe tangente, supposons que le point M se déplaee sur la surfaee S et vienne en un point que nous nommerons Ma, situé à Textrémité d'une perpendiculaire de longueur infiniment petite MM^, élevée en M au plan OMM*- Le point W^ ainsi défini peut être considéré, aux infiniment petits du second ordre près, comme appartenant à la surface S, car la ligne MM, étant perpendiculaire au plan OMN, est aussi perpendiculaire à la oorm^ile MN et par suite située dans le plan tangent.

Pour construire le point de la surface 1 qui correspond a Mj, il faut joindre OMj et élever au point* 0, dans le planjnconnu qui passe par OM, et par la normale MjNj à la surface S, une perpendiculaire à OMj égale en longueur à cette ligne. Quelle que soit la direction inconnue de la normale MaNj, cette perpendiculaire, que nous nommerons OPj, est située dans le plan II, mené par le point 0 perpendiculairement à OMa ; or ce plan contient OP, et forme avec le plan POM un angle infiniment peu différent d'un droit; d'ailleurs on a (8), en négligeant les infiniment petits du second ordre,

OM,= OM, et par suite

Pa et P sont donc sur la circonférence d'un cercle décrit du point 0 comme centre dans le plan n dont nous avons parlé; par suite, la ligne infiniment petite PPa est, dans ce plan, perpendiculaire au rayon OP, et comme le plan II fait avec le plan POM un angle infiniment peu différent d'un droit, la direction PPa est, a la limite, perpendiculaire au plan POM, et par suite, comme nous l'avions annoncé, perpendiculaire à MT.

Nous avons donc trouvé deux tangentes à la surface 2, toutes deux perpendiculaires à MT; par conséquent lé plan tangent cherché, qui les contient toutes deux, est lui-même perpendiculaire à MT.

On peut faire au sujet du théorème précédent une remarque curieuse. Les deux surfaces S et 2 sont réciproques l'une de l'autre : c'est-à-dire que si, considérant la surface 2 comme donnée, on opère sur elle comme on l'a fait sur la surface S, on reproduira précisément celle-ci. En menant, en eff*et, le rayon vecteur OP, puis par le point P la normale à la surface 2, cette normale est parallèle àMT; le plan qui contient ces deux lignes est donc précisément POM, et dans ce plan, la perpendiculaire menée à OP par le point 0 est OM ; si l'on porte sur elle une longueur égale à OP, on obtient le point M.

Longueur de quelques arcs de courbe.

18. Dans l'évaluation d'une somme d'infiniment petits on peut, sans altérer la limite (11), négliger les infiniment petits d'ordre plus élevé que chacun de ceux que

l'oQ considère. Ce principe est fréquemment employé dans le calcul infinitésimal. Nous en donnerons dès à présent l'application a la détermination de la longueur de quelques arcs de courbe.

Nous regarderons la longueur d'un arc de courbe comme la limite dont s'approche le périmètre d'un polygone inscrit lorsque ses côtés diminuent indéfiniment. Il est facile de voir que cette définition est légitime et que la limite ne dépend pas de la loi suivant laquelle on fait augmenter le nombre des côtés du polygone inscrit.

Soit, en effet, AB un arc de courbe. Rapportons-le à deux axes rectangulaires OX, OY, et partageons en un nombre infiniment grand de parties égales la portion PQ de l'axe des X sur laquelle il se projette. Si l'on inscrit dans l'arc AB deux polygones différents se terminant l'un et l'autre aux points A et B, les limites des périmètres de ces polygones seront égales, car les portions infiniment petites comprises entre deux parallèles à l'axe des Y menées par deux points de division consécutifs ont un rapport dont la limite est l'unité. Ces deux portions infiniment petites de polygones ont,en effet, mêmes projections sur l'axe des X, et ces projections sont évidemment égales à la somme des longueurs projetées, multipliée par une valeur moyenne des cosinus des angles formés avec l'axe par les divers côtés ou portions de côtés qui les composent. Mais ces angles difTerent tous infiniment peu de l'inclinaison sur l'axe de la tangente au point correspondant de l'arc AB. Or des longueurs qui, multipliées par des cosinus finis et infiniment peu différents, donnent le même produit, ont évidemment un rapport dont la limite est l'unité.

19. La différence entre un arc de courbe et sa corde est, d'après ce qui précède, infiniment petite du troisième ordre lorsque l'arc est lui-même infiniment petit du premier ordre.

Pour le démontrer, considérons un arc infiniment petit AMB et sa corde AB. L'arc AMB est, par définition, la limite d'un polygone inscrit dont le nombre de côtés augmente indéfiniment. Si l'on projette chacun de ces côtés sur la corde AB, la somme des projections sera la corde AB elle-même; mais la projection de chaque côté est égale à la longueur de ce côté multipliée par le cosinus de l'angle qu'il forme avec AB, et comme cet angle est infiniment petit du premier ordre, la différence de son cosinus avec l'unité est infiniment petite du second ordre : cela résulte

évidemment de la formule i — cos a? = 2 sin* - 00. Si donc on remplace le polygone

inscrit par sa projection AB, Terreur commise est égale à la somme de ses côtés multipliés respectivement par des infiniment petits du second ordre; elle est donc égale au périmètre infiniment petit du polygone» multiplié par une moyenne entre des infiniment petits du second ordre, et par conséquent elle est du troisième ordre.

20. Arc de çychîde. — Les considérations qui nous ont fait connaître la tangente en un point de la cycloïde permettent d'évaluer la longueur d'un arc quelconque de cette courbe.

Soient ÂB la position du cercle mobile lorsque le point générateur est situé sur la droite fixe, et M, M' deux points infiniment voisins correspondant aux positions du cercle mobile dont les points de contact sont respectivement C et C. On a vu (14) que pour transporterie point M de la cycloïde sur le point voisin M', on peut lui faire subir deiix rotations successives de même angle, Tune autour du point C et l'autre autour d'un point situé à une distance infiniment petite du troisième ordre du point C, suivies d'une translation infiniment petite du troisième ordre parallèle à CC. Il résulte des théorèmes précédemment démontrés, que la translation infiniment petite du troisième ordre peut être négligée, et que l'on peut aussi regarder les deux arcs de cercle comme ayant tous deux le rayon CM et, par conséquent, comme égaux; en modifiant ainsi la longueur du chemin MM', on ne retranche en effet qu'une portion infiniment petite de sa propre valeur, et la limite de la somme des arcs infiniment petits n'est pas altérée. Évaluons donc l'arc de cercle de rayon CM, et dont l'angle au centre (14, Problème V) a pour mesure, dans le cercle générateur, la moitié de Tare égal à CC Or en menant par les points M et M' des parallèles à la base, elles vont rencontrer la position primitive du cercle générateur en deux points M, et M', tels, que l'arc M, M^ est, d'après la génération de la cycloïde, égal a CC, en sorte que l'angle M| AM\ est égal à l'angle au centre de l'arc que nous voulons évaluer; le rayon de cet arc étant d'ailleurs égal à M, A, l'arc infiniment petit MM' de cycloïde peut être remplacé par le double de l'arc M< P, décrit du point Acomme centre et compris entre AM, et AM'j . Si l'on joint le point M| au point B diamétralement opposé à A sur le cercle générateur, BM< est tangent à Mi P, et la portion M,/ de cette droite comprise entre AM, et AM', peut remplacer l'arc M, P. Mais BM'^ étant perpendiculaire à AM', , est égal à B/ (8), si l'on néglige les infiniment petits

do second ordre, en sorte que M, t peut être remplacé par la différenee BM, — BM', , et Ton peut considérer l'arc de cycloide comme égal an double de cette différence. Si Ton évalue de même les arcs infiniment petits compris entre le point M et le point S le plus élevé de la courbe, leur somme, c' est-a-dire l'arc MS, est, d'après cela, égale au double de la somme des diminutions que subit la ligne BM4 en variant de BM, à zéro, c'est-k-dire enfin qu'elle est égale k 2BM,, ou, ce qui revient au même, au double de la portion de tangente MT comprise entre le point M et la tangente au sommet.

21 . Variation de longueur dune ligne droite. — Lorsqu'une droite se déplace dans Tespace et vient occuper une position nouvelle, la variation de sa longueur est la somme des variations subies dans chacun des déplacements infiniment petits dont la succession peut être considérée coiome produisant le déplacement total. Nous allons faire connaître un théorème souvent utile, à l'aide duquel on peut former, en négligeant les infiniment petits du second ordre, l'expression de ces variations infiniment petites.

Soient AB et A'B' deux positions infiniment voisines, faisant (6) un angle infiniment petit du premier ordre dont le cosinus ne diffère de l'unité que d'un infiniment petit du second ordre. En négligeant les infiniment petits du second ordre, A'B' est donc égal à sa projection PQ sur AB, et par conséquent la différence A'B' — AB est égale a PQ - AB, c'est-à-dire à QB - AP, ou à BB' cos B'BQ — AA' cos A' AP,

ou, enfin, à la somme des déplacements AA' et BB' subis par ses extrémités et multipliés respectivement par les cosinus des angles qu'ils forment avec la droite AB, considérée comme dirigée de A vers B quand il s'agit de déplacement BB', et de B vers A quand il s'agit de AA'.

Nous signalerons deux cas remarquables.

Lorsque la droite reste constamment normale à la ligne parcourue par l'une de ses extrémités, le terme proportionnel au déplacement de cette extrémité contenant ( n facteur le cosinus d'un angle droit est égal à zéro, et l'accroissement infiniment petit de la longueur est réduit alors à un seul terme.

Lorsque la droite reste constamment tangente à la courbe parcourue par l'une de ses extrémités, )e terme proportionnel au déplacement de cette extrémité contient en facteur le cosinus d'un angle nul, et il se réduit par conséquent au déplacement lui-même, c' est-a-dire k Tare infiniment petit de la courbe k laquelle la droite considérée reste tangente.

22. Arc de développée, — Les deux cas précédents peuvent se présenter en même

temps. Si l'on considère deux courbes dont Tune ait pour tangentes les normales

de Tautre, la droite MP, se déplaçant en i*estant normale à la première et tangente à la seconde, de manière à passer de la position MP a la position NQ, son accroissement, égal d'après ce qui précède à là somme des arcs élémentaires qui Composent Tare PQ, sera précisément l'arc PQ lui-même : on a par conséquent

arcPQ = NQ~MP.

Réciproquement, si l'on considère une courbe quelconque PQ, et que Ton porte sur chaque tangente RT une longueur RT égale à une constante augmentée de l'arc RQ qui sépare le point de contact du point fixe Q, la courbe MTN, lieu

des points T, aura pour normales les tangentes de la proposée. Si l'on considère, en effet, l'accroissement de la ligne QN, lorsque, coïncidant successivement avec les diverses tangentes dont la longueur a été définie, elle prend la position finale RT, son accroissement total est, par hypothèse, égal à l'arc RQ, c'est-à-dire à la somme des termes infiniment petits proportionnels au déplacement de l'extrémité Q dans l'expression générale de l'accroissement élémentaire. Il faut donc que les autres termes, ceux qui sont proportionnels aux déplacements de l'extrémité N, aient une somme constamment nulle et qu'ils soient par conséquent égaux à zéro. Or il faut pour cela que le cosinus par lequel on multiplie le déplacement du point N soit égal a zéro, et par suite que la droite mobile forme toujours un angle droit avec la courbe que parcourt son extrémité.

L'étude des courbes telles que PRQ et MTN, dont la première a pour tangentes

2é PREMIÈRE PARTIE. - CMJÙUL DIFFÉRENTIEL.

les normales de la seconde, joue un rôle important dans la géométrie. Nous ne les considérons ici que comme exemple simple de courbes rectifiables. Bornonsnous à ajouter que la première, PRQ, se nomme la développée de la courbe MTN, et la courbe MTN est dite la développante de PRQ. Il résulte évidemment des explications précédentes qu'une courbe n'a qu'une développée et qu'elle a, au contraire, une infinité de développantes. Mais nous reviendrons longuement sur cette théorie importante.

EXERCICES

1. Quelle que soit la fonction de la variable x désignée par f [x), h désignant un infmiment petit du premier ordre, l'expression

est infiniment petite du second ordre.

2. Étant donnés une courbe plane et son cercle osculateur en un point, prouver que la portion d'une parallèle à la tangente commune interceptée entre les deux courbes est infi* niment petite du second ordre, lorsque les distances du point de contact aux deux points d'intersection sont du premier ordre.

3. Si d'un point 0 situé dans le plan d'une courbe plane on abaisse des perpendiculaires sur les tangentes à cette courbe, et que sur chacune on porte, à partir de 0, une ligne proportionnelle à sa longueur, que Ton opère de la même manière sur la courbe ainsi obtenue, et que Ton répète indéfiniment la même construction, la courbe limite correspondant à un nombre infini d'opérations coupera sous le même angle tous les rayons vecteurs issus du point 0.

4. D'un point 0 situé dans le plan d'une courbe plane on mène des rayons vecteurs aux points de cette courbe, et Ton prolonge chacun d'eux d'une longueur constante à partir de la courbe donnée. Déterminer la tangente à la courbe lieu des points ainsi obtenus et prouver que la normale à cette courbe, la normale au point correspondant de la courbe donnée, et la perpendiculaire au rayon vecteur mené par le point 0, se rencontrent en un même point.

5. D'un point 0 situé dans le plan d'une courbe plane on mène des rayons vecteurs aux différents points de celte courbe et l'on porte sur chacun d'eux, à partir du point 0, une longueur inversement proportionnelle à celle du rayon, fléterminer la tangente à la courbe Heu des points ainsi obtenus. Prouver que si deux courbes se coupent, celles que l'on en déduit par cette construction se coupent sous le même angle.

6. Si tous les plans tangents d'une surface la touchent suivant des lignes, ces lignes sont nécessairement droites.

7. D'un point fixe 0, on mène des rayons vecteurs aux différents points d'une surface, sur chacun d'eux on porte» à partir de 0, une longueur inversement proportionnelle à celle du rayon vecteur ; trouver le plan tangent à la surface lieu des points ainsi obtenus.

Les normales aux points correspondants des deux surfaces se rencontrent. Si deux surfaces se coupent sous un certain angle, celles que l'on en déduit se coupent sous le même angle.

8. Si l'on considère dans un plan deux courbes quelconques, que l'on regarde comme correspondants les points pour lesquels les tangentes sont parallèles, él que par un point fixe on mène des droites égales et parallèles à celles qui réunissent deux points correspondants, la tangente à la courbe lieu des points ainsi obtenus est parallèle aux tangentes aux points correspondants des courbes données, et l'arc de cette courbe est la somme ou la différence de ceux qui lui correspondent sur ces courbes données.

9. Prouver par des considérations analogues à celles qui ont été employées pour trouver (20) la longueur de l'arc de cycloTde, que la surface comprise entre la cycloïde et sa base est triple de celle du cercle générateur.

10. Si une courbe plane quelconque roule sans glisser sur une droite fixe, un point du plan lié invariablement à cette courbe et entraîné dans son mouvement, décrit unç courbe dont la normale en un point quelconque passe par le point de conuct de la droite fixe avec la position correspondante de la courbe mobile.

11. Si d'un point 0 situé dans le plan d'une courbe plane, on abaisse des perpendiculaires sur les tangentes à cette courbe, la longueur d'un arc de la courbe lieu des pieds de ces perpendiculaires, est égale à celle de la courbe engendrée par le point 0 lié invariablement à la courbe donnée, pendant que l'arc correspondant de celle-ci roule sans glisser sur une droite fixe.