Appliquons ce qui précède à quelques exemples. Soit
on en déduit
La dérivée de la foifetion x"^ par rapport à x est donc l'inverse de la dérivée de y* par rapport à y, c'est-à-dire ' ,» et en remplaçant y par sa valeur, cette
dérivée est — ^— -> c'est-à-dire — x'«
mx *"
Ainsi la dérivée de x'^ est —af'^ 'm étant un nombre entier quelconque.
Soit encore
j:=sin7; on en déduit
j=arcsina:.
La dérivée de arc sin x par rapport à x est donc l'inverse de celle de sin y par rapport à y, elle est donc » c'est-à-dire
cos^ ^l—X'
En posant
X r= cos/,
on verrait de même que la dérivée de arc cos x est -
Ce résultat, qui est fort important, exige quelques explications.
La fonction sin x est une fonction bien définie, c'est-à-dire que, pour chaque valeur de a?, sin x a une valeur unique et déterminée : il n'en est pas de même de la fonction arc sin x. Car, à un même sinus, correspondent un nombre infini d*arcs différents; si a désigne l'un d'entre eux, les autres sont compris dans les formules aKTT-f-a et (aK -h 1)71 — a, K étant un entier arbitraire, et l'on conçoit
3i PREMIÈRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL. .
dès lors que Texpression générale de leur dérivée doit avoir le signe ±. Si d'ailleurs on considère en particulier Tun des arcs compris parmi ceux que représente l'expression arc sin oc, la détermination du signe de la dérivée sera toujours facile. En posant, en effet,
jr = sinr,
la dérivée de y par rapport à x est » et il n'y a dans cette expression aucune
ambiguïté. Le signe ± se présente seulement lorsqu'on remplace cos y par ±1 v/i — o?^, et l'on voit que le signe du radical doit être celui de cos y. De même, en posant
X = cos r,
j^=arccosj:,
et la dérivée de y par rapport à a? est r^» c'est-à-dire "*~' ^ le signe de l'ex-
sm y V I — ^*
pressipn. étant contraire à celui de sin j.
En posant
X = tang V, on a
y= arc tangj:.
Donc la dérivée dey par rapport à x est
cos'j-
i-hx^
Ici il n'y a pas d'ambiguïté, et cela tient à ce que les arcs qui ont même tangente ayant pour expression générale Ktt -f- a, ils différent les uns des autres par une partie constante, et ont tous même dérivée.
35. La considération des fonctions inverses permet de déduire l'une de l'autre les dérivées des fonctions a' et log x, qui ont été trouvées séparément. Si l'on a
X =a^, on en déduis
yz=:\ogX.
Par conséquent la dérivée de log j? par rapport à x est l'inverse de celle de a^ par rapport à j, c'est-à-dire, les logarithmes étant pris dans la base a,
log g log g
Dériçées des fonctions de fonctions.
36. Si la lettre u désigne une fonction donnée de la Variable x, toute fonction de u sera une fonction de x que l'on désigne sous le nom de fonction de fonction. L'origine de cette dénomination s'aperçoit immédiatement.
Ainsi donc si Ton a
y considéré comme dépendant de x est une fonction de fonction.
Nous allons montrer que si les fonctions 9 et F sont de telle nature qu'on sache former leurs fonctions dérivées, on pourra trouver aussi la dérivée de y par rapport à a?.
Supposons, en effet, que l'on donne ài a? un accroissement Aa? et qu'il en résulte
pour u un accroissement \u, pour j un accroissement Aj,
on a identiquement
^x Ix lu
en passant a la limite, Ao? tendant vers zéro, le premier membre de cette équation a, par définition, pour limite la dérivée dey par rapport à x, et les deux facteurs du second membre tendent respectivement vers la dérivée de u par rapport à x, et vers celle dey par rapport à u. En désignant donc ces deux dérivées par ?' {x) et par F' (i/), on voit que la dérivée dey par rapport a x est
?'WF'(«],
résultat que l'on peut énoncer de la manière suivante :
La dérivée d'une fonction de fonction est le produit des dérivées des fonctions simples qui servent à la former^ prises chacune par rapport à la variable dont elle dépend immédiatement.
Exemples. — Soit la fonction y = cos a? = sin f - — a? ) • Cette expression peut être considérée comme une fonction de fonction. En posant, en effet,
ir
on aura
y =: sin tt.
3i PREMIÈRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL.
L'application de la règle générale donne pour la dérivée de y par rapport à x
( — i)cosa= — s\wxy
résultat conforme à ce qiri a été trouvé* (30).
Soit la fonction y = cota? = tang (- — a:]- En posant
TT
on aura
j=lang«i.
^application de la règle donne pour la dérivée de^
cos'« sin'^
Soit encore la fonction l^r*. Posons
L'application de la règle donne pour la dérivée de j
et, en effet, Vx^ étant égal a 5 la;, il est clair que sa dérivée doit être égale à cinq fois celle de l.a?.
37. Comme dernier exemple, formons la dérivée de la fonction j= a?", m et n désignant des nombres entiers. Cette fonction peut être considérée comme une fonction de fonction. En posant, en effet,
on aura
En appliquant la règle générale et se rappelant les résultats obtenus (26), (34), on trouve pour la dérivée de y
1 m — II m
et par conséquent la dérivée de a?" s'obtient par la même formule que lorsque l'exposant—est entier.
38. Od peut étendre la règle donnée pour former la «dérivée d'une fonction de fonction à des expressions liées à la variable x au moyen de plusieurs fonctions intermédiaires. Posons, en effet,
et cherchons la dérivée de y par rapport à x. Soient A a? un accroissement attribué a x\ iiu, A^, A«^, Aj, les accroissements correspondants de m, ^, wr\ y : on a identiquement
Aar A-tv Ai^ Am Ao:
et l'on voit que si Aa? tend vers zéro, le premier membre a pour limite la dérivée de y par rapport à x, et les facteurs du second membre tendent vers les dérivées de /, Mt', (?, M, prises, pour chacune d'elles, par rapport à la variable dont elle dépend immédiatement. On en conclut que la dérivée dey est le produit obtenu en multipliant les dérivées des diverses fonctions 7, «', f', u, prises, pour chacune, par rap- . port à la variable dont elle dépend immédiatement.
Dérwée d'un produit.
39. Soient a, v, w, des fonctions données d'une même variable a?, nommons y leur produit dont on veut avoir la dérivée. On a
On en conclut, en prenant les logarithmes népériens des deux membres,
et si l'on prend les dérivées des deux membres, on trouve, en appliquant la règle des fonctions de fonctions et désignant pary, u\ v\ w\ les dérivées dey, m, v^ sv,
- v'rr:-. u' -{ /H (vS
d'où l'on déduit
Ainsi, la dérivée d'un produit est la somme des produits obtenus en multipliant successivement la dérivée de chaque facteur par le produit de tous les autres.
Dêrwée d'un quotient.
40. Soient u eiv deux fonctions d'une même variable x, nommons y leur quotient dont on veut avoir la dérivée. On a
on trouve, en prenant les logarithmes des deux membres,
et si Ton prend les dérivées des deux membres, cette équation donne, en adoptant les mêmes notations que précédemment,
d'où Ton déduit
yu' yV vu' — ui^'
Telle est la formule qui donne la dérivée d'un quotient-) lorsque Ton connaît les dérivées u' et v' de ses deux termes.
Dérivée d'une puissance.
41. Soient u une fonction de x, et m un exposant quelconque, positif ou négatif. Si l'on pose
en prenant les logarithmes des deux membres on en conclut,
lj=miM,
et si l'on prend les dérivées des deux membres par rapport à a?, on a, en adoptant toujours les mêmes notations,
y mu\
d'où l'on déduit
niYu' , ,
Remarque. — Si l'on suppose w = a?, on aura u'= i, et la formule précédente montre que la dérivée de la fonction it?"* est maf^"^ . Ce résultat avait été obtenu dans le cas d'un exposant entier (26) ou fractionnaire et positif (37). On voit qu'il est entièrement général, car la démonstration précédente s'applique a toutes les valeurs positives ou négatives de m sans exception.
Dérivée de u\
42. Considérons enfin l'expression composée a*', dans laquelle a et i' désignent des fonctions de la variable a;. Posons
En prenant les logarithmes des deux membres on en conclut
et si l'on prend les dérivées par rapport a x des deux membres de cette équation, en appliquant au second la règle donnée (39) pour la dérivée d'un produit, on a
d'où l'on déduit
Si l'on suppose, par exemple,
on aura
et la dérivée de af est
Quelques applications.
43. Les résultats obtenus dans ce chapitre permettent d'obtenir la dérivée, d\ine fonction explicite formée d'une manière quelconque au moyen des opérations simples. Il est important de se familiariser avec ces premiers principes que nous résumerons en en donnant quelques applications.
I ^ Dérivée de arc tang \ , ~ ,. = y
Posons
a(a'^3x')'^^' on aura
j = arctangw,
et y est une fonction de fonction, dont la dérivée est le produit de — —^ par la dérivée de u. Or en appliquant la règle (40) on trouve pour dérivée de u
a(a^ — ix'Y ~a(a»— 3^^)»' d'ailleurs
la dérivée demandée est donc, toutes réductions faites,
Ce résultat était facile à prévoir, car les formules connues de la trigonométrie montrent que la fonction j est égale à 3 arc tang - et, en récrivant ainsi, on trouve immédiatement l'expression précédente pour dérivée. 2"* Dérivée de \/- — ^^ = r.
Considérant/ comme la puissance - de la fraction . — et traitant cette fonction par la règle donnée (41 ), on trouve pour dérivée de y
1 • cosj:(i--sina:)-4-cosa:(i-f-sinj?) 2C0Sj:
-smj:
(i-sin^)^ 2(1— sînj:)\^(i — sin':r) i — sin:r
-smx
On peut parvenir au même résultat en remarquant que
i/— ^— ; — =tang U-H- :
V I — sm^ ° \4 2 y
la dérivée de tang (7 H- f ) est égale à ^ ^, et cette expression est
équivalente à celle qui précède.
3*" Admettant la formule
n -h I , nx
sm :r.sm —
sm:r-hsm2^-f- ... -h sm/ia:= ?
sm -
en déduire l'expression de la somme
cosa:-l-2COS2j: -h. . .-h w cos/ix.
Il suffit de prendre les dérivées des deux membres et Ton a
n-hi . X . 2n-i-i I . ./1-+-I sm - sm X sm'
cosa7-i-2COS2^-+- 3cos3^ -+-... -H ncos/iar=
sm' -
4^ En admettant la formule
. / ^\ . / 2«\ . / [m — i)ir\ smmx sin ^ . sm Lr H ) sm hc H ... sm Le 4- — ) == — z-r '
en déduire Texpression de la somme
col .r -h col ( a; + — ) -h ...-+- col ( ^ H | ir.
Il suffit de prendre les logarithmes, puis les dérivées des deux membres de l'équation; on trouve
cot j; -h col ( ^ H- — j H- ... 4- col { a: -H ^ ' tt j == m col mx,
Emploi des dérivées pour l'étude des fonctions .
44. Lorsque Taccroissement infiniment petit d'une fonction est de même signe que celui de la variable, on dit que cette fonction est croissante; elle est décroissantedansle cas contraire. En adoptant ces définitions et disant, par exemple, qu'une fonction est croissante, cela signifie évidemment croissante avec la variable.
Lorsqu'une fonction 9 [x) est croissante, sa dérivée est positive, car la fraction
^ Ti — ^"^ ^^"* cette dérivée est la limite, est constamment positive; si la fonction (f [x) est au contraire décroissante, la dérivée est négative. Ces remarques évidentes sont souvent utiles dans l'étude des valeurs successives d'une fonction;. nous en donnerons quelques exemples :
i*^ Considérons la fonction
la dérivée est
, xQosx — smoT
et comme, entre les limites a? = o, a? = -> on a toujours x < tang œ, et par suite a^cos a? — sin x <o, cette dérivée est négative : la fonction est donc décrois-
sante ; et cette fonction étant d'ailleurs égale à l'unité pour «r = o, et a - pour ^ = -^ elle est, pour toute valeur intermédiaire de x, plus petite que l'unité et plus grande
a** Soit la fonction
j = /(i-f-d?) — j:; la dérivée est •
Elle est négative pour les valeurs positives de x, la fonction est donc décroissante, et comme elle est nulle pour a: = o,*on a pour toute valeur positive de x '
/f i-ha:) —x<Co,
3"* Considérons enfin la fonction
dont la dérivée est
cette dérivée étant positive pour les valeurs positives de a?, la fonction est croissante, et comme elle est nulle pour x = o, elle est constamment positive et Ton a
en sorte que, pour toute valeur positive de a:, / ( i-f- a?) est compris entre xeiœ —
Bx^
on peut par conséquent le représenter para- , 6 étant moindre que l'unité.
Ordre de grandeur dune dérivée infiniment petite.
45. Considérons une fonction de x, tf (a;), qui s'annule pour x= o. La dérivée y' (^), pour la valeur zéro de la variable,. est égale, par définition, à lim ti^lzili— 1,
c' est-a-dire a la limite du rapport 5^^- Elle est nulle par conséquent toutes les
fois que pour de trèsrpetites valeurs de x, <p {x) est infiniment petit d'ordre supérieur à celui de x.
On peut aller plus loin : lorsque x étant infiniment petit du premier ordre, 9 (x) est infiniment petit de l'ordre n^f'{x) est infiniment petit d'ordre n — i . On peut en effet, dans ce cas, représenter cp (x) de la manière suivante :
(i) rf(x) = x'*{X-ht),
A étant une constante et £ une fonction de x qui s'annule avec la variable. On aura par suite, en nommant s! la dérivée de g,
(9.) <ï)' (^) =nj:»-"' (A -h g) H-J7"i'. .
Or je dis que x^' tend vers zéro. Cela est évident lorsque s' ne croit pas indéfiniment. Examinons donc seulement le cas où e' est infini lorsque x est nul; considérons la courbe dont l'équation est y = s , cette courbe passe par l'origine et est en ce point tangente à l'axe des y.
Soient MT la tangente à cette courbe en un point M infiniment voisin de 0, et MQ l'abscisse du point M. £' est la tangente de l'angle QMT, donc a^e' est égal à QT, il est, par suite, moindre que QO, c'est-à-dire moindre que î; î tendant vers zéro avec œ, il en est donc de même de xf. D'après cela a^e est infiniment petit par rapport à af^\ et l'expression (2) de ç' (a?) est un infiniment petit de l'ordre
/i — I . On voit aussi que le rapport "^-^ a pour limite nA.
Cette remarque a été utilisée par M. 0. Bonnet dans la démonstration de plusieurs propositions importantes dont nous parlerons plus tard.
Différentielle cT une /onction d'une seule variable.
46. Si l'on représente par 9 [x) une fonction de la variable x, eV par (p' {x) sa dérivée, on a
rt'[x]^ hm 1^ 1^ ^^ ' ,
h étant infiniment petit. Par conséquent, en désignant par £ un autre infiniment petit,
9' {x) étant une quantité finie, ht est infiniment petit par rapport à h(p' [x], et la différence (p {x -^ h) — f [x) est égale à hf' {x), en négligeant une portion infiniment petite de sa valeur.
Le produit Ay' [x) peut par conséquent (11), lorsque h est infiniment petit, élre substitué à l'accroissement ç [x-hh) — y (a?), dans tout problème où il s'agit de calculer un rapport ou une somme d'infiniment petits; on donne à ce produit le nom de différentielle de ff[x) et on le représente en écrivant la lettre d devant la fonction.
Conformément à cette notation, la différentielle tle x se confond avec l'accroissement même de cette variable, puisque la dérivée est dans ce cas égale à l'unité. En substituant donc, à la lettre A, l'expression équivalente dx^ la différentielle d'une fonction 9 [x] prendra la forme
d .if[x) = ç' (x) dx.
C'est celle dont nous ferons babituellement usage.
Cette différentielle rf. y (a;) n'est pas, ainsi qu'on l'a expliqué, rigoureusement égale à l'accroissement de 9 [x], mais elle peut le remplacer lorsqu'il est infiniment petit, et il n'en résulte aucune erreur sur les liuiites des sommes ou des rapports dans lesquelles il figure.
47. La représentation géométrique des résultats ajoutant presque toujours à la L 6
clarté, il est bon d'indiquer ici la signification géométrique de la diflerentielle. Considérons la courbe dont Téquation en coordonnées rectilignes est
le coefficient angulaire de la tangente au point dont les coordonnées sont x ety est (24) f' (x), et Téquation de la tangente, en nommant t eiu les coordonnées courantes de cette droite, c'est-à-dire les coordonnées de l'un quelconque de ses points,
Si donc, à partir du point de contact dont les coordonnées sont x et j, on attribue à l'abscisse d'un point de la tangente un accroissement t -- œ = hf l'accroissement correspondant de l'ordonnée est
et la différentielle A 9' (a;) est l'accroissement de l'ordonnée j', correspondant k un accroissement A de l'abscisse, lorsqu'on substitue à la courbe sa tangente. Lors donc qu'on remplace l'accroissement y (a; -h A) — y (x)^ de la fonction (p{x), par la différentielle ç' {x) A, cela revient à remplacer un arc de courbe infiniment petit par sa tangente. Ces deux substitutions sont équivalentes, et permises dans les mêmes circonstances.
48. La différentielle d'une fonction f {x), étant, d'après ce qui précède, le produit delà dérivée ç' {x) par l'accroissement dx de la variable, il semble que l'emploi de la différentielle, identique au fond k celui de la dérivée, ne pourra présenter aucun avantage spécial, si petit qu'il soit.
La remarque suivante montrera pourtant qu'il en est autrement et que l'emploi des différentielles peut être plus commode que celui des dérivées.
De la relation
on déduit
(A) ffy'== ^' {^) dxy
dx est arbitraire, dy l'est donc également; le rapport 4- est seul déterminé et égal
k la dérivée (f' {x), on peut donc dire que :
y étant une fonction de x, l'une des différentielles dy et dx est arbitraire y et son rapport à la seconde est égal à celui des accroissements infiniment petits que peuvent prendre simultanément xety.
Or cette définition, évidemment équivalente k celle que nous avions adoptée d'à-
bord, a Favantage très-réel que les deux quantités, x et 7, y figurent absolument de la même manière. Donnons sur ce point quelques développements.
^Ày est une fonction de x, x est, par cela même, une fonction de y, et rien n'oblige à prendre Tune de ces variables plutôt que l'autre, ou que toute fonction de l'une et de l'autre pour variable principale. Or l'emploi des dérivées exige absolument que l'on fasse un pareil choix, parce que la dérivée n'a de sens déterminé que lorsqu'on indique quelle est la variable dont on prend la dérivée et la variable principale par rapport à laquelle on la prend. Si l'on considère au contraire la différentielle de y définie par la relation
cette équation nous fait connaître le rapport des différentielles dy et dx, c'està-dire celui des accroissements infiniment petits que l'on peut simultanément attribuer à ;r et à j' ; l'une de ces difTérentielles est arbitraire, mais rien n'indique cfue ce soit dx plutôt que dy, la relation ( A ) pouvant aussi bien s'écrire
dxz= — dy-y
et donnant, sous cette forme, la différentielle de la variable x considérée comme fonction de la variable y et correspondant à une valeur arbitraire de dy.
Il y a plus : la différentielle d'une fonction reste la même, quelle que soit la variable par rapport a laquelle cette fonction soit exprimée. Soit en effet
une fonction de u dans laquelle la lettre u désigne elle-même une fonction de x,
La différentielle dej, en considérant 7 comme fonction de x, est le produit de fifcc par la dérivée dey (36), et' (m) 9' (a?), on a donc
dy='^' [u]f^' [x)dx.
Or la différentielle dey, considérée comme fonction de u, est
dy=i'^' [u] du,
ce qui est précisément la même chose, pourvu que, dans cette dernière équation, on remplace la différentielle du par la valeur
du=z(f' [x] dxy
qui résulte de la définition même, lorsque u est considéré comme fonction de x.
On voit dans ce cas, comme dans le précédent, que x, y, m, désignant trois variables susceptibles de s'exprimer au moyen de Tune d'entre elles, les relations
du^^^ [x)da:y
qui lient les différentielles dx, dy, du^ laissent Tune de ces différentielles arbitraire, et font connaître seulement les rapports des accroissements infiniment petits que peuvent prendre simultanément x, /♦ et m, rien d'ailleurs n'imposant l'obligation de choisir l'une d'elles pour variable principale de préférence a une autre.
49. La même remarque s'étend à un nombre quelconque de variables x^y, s, u, v^ w, pourvu qu'elles soient tellement liées, qu'on puisse les considérer comme des fonctions de l'une quelconque d'entre elles. Si l'on calcule dy^ dz, du, dv, dw, en considérant x comme variable principale, on obtiendra des résultats de la forme
dy zz^ydxy dz = z^dxy du = u' du, dv = v' dx, dw = w' dx,
ou, ce qui revieat au même,
dy dz du dv ^ dw dx
y "" 2' "~ m' "~ 1/' "^ iv' "" I '
et l'on pourra, sans nouveau calcul, adopter une nouvelle variable principale, u par exemple, les rapports des différentielles dy, dz, du, dv, dw, dx, resteront les mêmes, il suffira de regarder du, et non plus dx, comme recevant une valeur arbitraire.
Pour calculer les dérivées des diverses variables prises par rapport à la variable principale u, il suffit de diviser par du les différentielles de ces mêmes variables. Les dérivées sont par conséquent
dy ^y dz^z^ dv i^' rfw __ (v' dx ^ i
du^ u'^ du'^ u'^ du ït'' 5w""17' 5w "*" î?'
ces résultats sont parfaitement d'accord avec ceux que l'on déduirait de la théorie des fonctions de fonctions.
Dérwées partielles des fonctions d^ plusieurs variables.
50. Lorsqu'une fonction dépend de plusieurs variables indépendantes les unes des autres, on peut en prendre la dérivée par rapport à l'une quelconque de ces variables, en considérant dans cette opération toutes les autres comme des constantes. Une dérivée prise de cette manière se nomme une dérivée partielle ,
La recherche d'une dérivée partielle se fait absolument comme celle de la dérivée d'une fonction d'une seule variable et n'exige aucune explication nouvelle.
Si y (a;,y, z) est une fonction de trois variables a?, y, z, les dérivées partielles par rapport a ces trois variables s'écrivent de la manière suivante :
dff d^ dff dx djr dz
Le sens qu'il faut attacher à ces expressions résulte de ce qui précède. ^ est la limite du rapport de l'accroissement infiniment petit de y à l'accroissement corres-
dr dz'
pondant de x^ lorsque y etz restent constants ; de même, dans le calcul de ^> xeiz sont tous deux constants, a; et/ le sont dans le calcul de-r^-
51. La fonction considérée f restant la même, peut être exprimée d'une infinité de manières différentes, car on peut substituer aux variables x,y, z, trois variables nouvelles qui en soient des fonctions déterminées. En posant, par exemple,
la fonction y pourra être exprimée au moyen de u, ç, w, et il y aura lieu de considérer les dérivées partielles ^» -^j -r^- Nous verrons plus loin le moyen de les calculer sans qu'il soit nécessaire de former explicitement l'expression nouvelle de la fonction ç. Mais il est bon de remarquer dès à présent que, pour déterminer la
valeur de ^, il ne suffit pas de connaître la fonction ç et la variable u. Cette dérivée
dépend aussi du choix des deux autres variables v et çp que 4'on adjoint k u pour exprimer 9, et qui doivent rester constantes dans la différentiation. Considérons, par exemple, la fonction
on a
^=:x^x-^X'{-z)xz; -jî = 2^ [x -^^ X -^ z) jrz -i-x^yz.
dx
Posons
ff prend la forme
x+y+z = u, yz:=.v\
^:=X*UVy
Mi PREMIÈRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL,
et sous cette forme on a
On voit donc que la même fonction 9 peut avoir, par rapport à la même variable x, des dérivées partielles très-différentes, et que ces dérivées dépendent du choix des variables que l'on adjoint à x pour exprimer ç et qui restent constantes dans Topération. •
52. L'exemple précédent ne peut laisser aucun doute sur l'exactitude de la proposition énoncée. Nous croyons utile cependant d'ajouter quelques explications pour faire mieux sentir la raison de la différence que nous signalons.
Considérons, pour plus de clarté, une fonction de deux variables seulement
cette fonction z peut s'exprimer également au moyen de x et d'une nouvelle variable ayant avec les deux premières une relation connue. Si l'on choisit une varia* ble u définie par l'équation
on peut, entre les équations (i) et (2), éliminer/ et en dédjiire une relation de la forme
La dérivée ^ prise dans l'équation (i) est la limite du rapport de l'accroissement de z à celui de x^ lorsque y reste constant.
La dérivée ^ prise dans l'équation (3) est la limite du rapport de l'accroissement de s a celui de x, lorsque u reste constant.
Or il est clair que, y restant constant, u est variable, et, u restant constant, y est
variable; les deux valeurs de ^ déduites des équations (i) et (3) n'ont donc pas la
même définition, et il est tout simple qu'elles ne soient pas égales.
Si l'on considère l'équation (i) comme représentant une surface, -y^ est la limite
du rapport de. l'accroissement de z à celui de x lorsqu'on se déplace sur la surface sans changer y, c'est-à-dire sur une section parallèle au plan des ZX. En déduisant
dz au contraire^ de l'équation (3), on calcule le rapport de l'accroissement de z à
celui de x, lorsqu'on se déplace sur la surface en laissant à u une valeur constante,
c*est-k-dire en suivant une certaine courbe qui dépend de la nature de cette fonction u. Or le rapport de raccroissement de « à celui de x n'est pas le même pour toutes les courbes que Ton peut tracer sur une même surface à partir d'un point donné. Cela est si vrai, qu'en choisissant la courbe qui résulte de l'intersection de la surface avec le plan parallèle à celui de XY, pour laquelle z est constant, ce rapport peut toujours être rendu égal a zéro. Lors donc que z contient deux variables et que rien n'indique la variable adjointe à or et supposée constante dans l'opération, -r- n'est pas déterminé.
Différentielle d' une fonction de plusieurs variables,
53. L'accroissement infiniment petit d'une fonction de plusieurs variables peut s'exprimer comme celui des fonctions d'une seule variable, au moyen d'une expression fort simple qui n'en diffère que d'une portion infiniment petite de sa propre valeur. Considérons d'abord une fonction ç {x^y) de deux variables indépendantes l'une de l'autre. Donnons a chacune de ces variables des accroissements infiniment petits du premier ordre h et A:, l'accroissement de 9 sera
(p (a: -h A, j -h A-) — (p ( j:, j) = f ( j; + A, j 4- Ar) — y ( j: -h A, y) -h <p{:r -+■ A, j) — <p [Xy j].
Or la différence
peut être considérée comme l'accroissement de la fonction ç (a? + A, y) dans laquelle la variable j a reçu l'accroissement k. On aura donc (46), en négligeant les infiniment petits du second ordre,
y (j7 -h A, j ■+- A-) — y (j; -f- A, 7) = kff^ [x -h A, j).
De même; en négligeant les infiniment petits du second ordre^ on a
^[x^h,y)—f^[x,y)^hff'^[x,y),
ix ^^ 9y désignant les dérivées de 9 prises par rapport à a; et par rapport à j. D'après cela on a, en négligeant toujours les infiniment petits du second ordre,
y(.rH-A, J4-A-)— (p(j:, j)=A-ç^ [x-^-hy y)^ h^*^{x,y).
Maisç/, [x-^-h^ y) diffère infiniment peu de ç'^ (a?, y), le produit par k de la différence de ces expressions peut donc être négligé, et l'on peut écrire, en négligeant toujours les infiniment petits d'un ordre supérieur au premier,
^[x -k- hy y+k) — fi[x, y) ^ h^\[x, y) -¥ kff^ [x,y].
54. L'expression précédente est fort remarquable : elle montre que pour les valeurs des variables infiniment peu différentes de valeurs données x et r, Tacci^oissèment de la fonction est une fonction du premier degré des accroissements h et k respectivement attribués à a? et k j. On suppose toujours, bien entendu, que les infiniment petits du second ordre soient négligés.
Si l'on représente par dx et par dy les accroissements arbitraires h et k, et que l'on remplace en même temps les dérivées ç>'^, <f , par les notations convenues
-~ et -~j l'expression de l'accroissement de la fonction ç devient
dx dy
Cette expression se nomme la différentielle totale de ç, et on la représente par la notation rfo, en sorte que l'on a, par définition,
Cette différentielle d<f est, en négligeant les infiniment petits du second ordre, l'accroissement de la fonction 9 correspondant aux accroissements infiniment petits dx et dy attribués à j? et à 7.
A peine est-il nécessaire de faire observer que, dans le second membre de l'équation précédente, les numérateurs des fractions ~^> ^> ont des significations différentes, et que ni l'un ni l'autre ne doivent être confondus avec la différentielle totale d(f qui s'écrit de même.
Le numérateur de -7^ est la différentielle de (p par rapport à .r, considérée comme
seule variable.
Le numérateur de -X est la différerrtielle de 9 par rapport à y, considérée comme
seule variable.
Enfin le premier membre est la différentielle totale qui est la somme des deux autres.
Il y a certainement un inconvénient à écrire de la même manière des quantités essentiellement différentes, mais le lecteur bien prévenu n'y verra pas de difficulté sérieuse.
55. Des raisonnements tout semblables montrent que l'accroissement infiniment petit d'une fonction de trois variables çp(^, y, z), lorsque x, v, z reçoivent des
accroissements infiniment petits du premier ordre, h, k, /, peut être représenté, en négligeant les infiniment petit3 du second ordre» par
dx dy dz
et en posant h = dx, k = dy, l=:dz, cette somme se nomme la différentielle totale de ç ; on a donc par définition
(i) . d, = ^da;-^^dr-^^^dz.
Lorsque dœ, dy, dz sont infiniment petits du premier ordre, d(p représente, en né-^ gligeant les infiniment petits du second ordre, T accroissement de <p correspondant • aux accroissements infiniment petits dx, dy, dz des trois variables.
On doit faire ici la même remarque que dans le cas des fonctions de deux variables, l'expression rfç a dans l'équation ( i ) quatre significations distinctes.
56. Le théorème et la définition précédente s'étendent sans difficulté au cas d'un nombre quelconque de variables. L'accroissement infiniment petit d'une fonction qp {x, r, z, u, v) correspondant aux accroissements infiniment petits A, k, /, m, n des variables, est égal, en négligeant les infiniment petits du second ordre, à
c/9 , do , dfD . d9 do
dx dy dz du dv
et si, dans cette somme, on représente les accroissements A, k, /, m, n par dx, dy, dz, du, dv, on obtiendra l'expression
que l'on nomme différentielle totale de 9 et que l'on représente par df : cette différentielle peut remplacer l'accroissement de la fonction lorsque dx, dy, dz, du, dy sont infiniment petits.
57. D'après ce qui précède, u désignant une fonction de plusieurs variables indépendantes, que nous supposerons, pour fixer les idées, au nombre de trois, si l'on attribue à ces variables trois accroissetnents infiniment petits dx, dy, dz, l'accroissement de u sera donné , en négligeant les infiniment petits du second ordre^ par la formule
du={^£^d.^{^l^dy^{^-^)^dz,
( 3"" ) ' \d\ ' (^ ) ^^^^^ ^^^^^ fonctions de x, y et s^ indépendantes de dx, dy et h ^ 1
dz. On peut énoncer ce résultat en disant : Si l'on donne k x^ y, z et u^ quatre accroissements infiniment petits simultanés, il existe, en négligeant les infiniment petits du second ordre, une équation du premier degré entre ces quatre accroissements, et trois quelconques^d'entre eux restent arbitraires.
Cette forme de l'énoncé est importante, parce que la fonction u n'y est plus distinguée des variables dont elle dépend ; x^ y, z etu sont quatre variables liées par une équation ; chacune d'elles peut être considérée comme fonction des trois autres.
L'équation du premier degré qui lie dx, dy^ dz et rfw, étant successivement résolue par rapport a chacune de ces différentielles, fera connaître les dérivées de la variable correspondante, par rapport aux trois autres considérées comme indépen- ' dantes. Si l'on a, par exemple,
(i) rfM = Prfa:-+-Qdf/+Rûf^,
en regardant u comme fonction de Xy y et z, on aura
p==: Ëîi, Q = — , R = — '
dx^ dy^ dz
Or l'équation ( i ) donne
^^"^àu-'^^dx^'^dz.
Par suite
du du
dy I dy dx dy dz
du ""* du dx du dz du
dy dy dy
La première V de ces équations est évidente, car les deux quotients -j- ^^ -r-
représentent tous deux le rapport des accroissements infiniment petits que peuvent prendre simultanément (48) y et a, lorsque z eXx restent constants.
Dérivées des fonctions composées.
58. Une fonction composée est une fonction dont la définition implique des opérations à exécuter sur d'autres fonctions qu'il faut préalablement former. Soient m et i' deux fonctions de la variable œ. Toute fonction de la forme
est une fonction coniposée de x.
Nous allons nous proposer de chercher la dérivée d'une fouction composée. Un tel problème serait plus naturellement placé après les règles relatives à la détermination des dérivées , mais nous avons dû en différer la solution à cause des simplifications apportées à cette recherche par les théorèmes démontrés dans les paragraphes précédents.
Si l'on donne a a? un accroissement infiniment petit àx^ il en résultera, pour u et p, deux accroissements Au et A(^, et, en négligeant les infiniment petits du second ordre, l'accroissement Aj de j sera (54)
d'où l'on conclut
Ay d^ Au df Açf Ax du Ax dv Ax^
lorsque Ax tend vers zéro, les limites des deux membres sont rigoureusement égales puisque dans l'équation (i) on n'a négligé que les infiniment petits du second ordre ; on a donc
dr rfy du df dv
dx dudx dv dx
On verrait de même que u, v^ w désignant trois fonctions de Xy la dérivée de la fonction composéej'= ç (a, v^ w) est exprimée par la formule
dr __ df^ du d^ dv d^ dw dx du dx dv dx dw dx
Généralement, la dérivée d'une fonction composée d'un nombre quelconque de fonctions
est exprimée par la formule
rfr rfy du rff dv df dw rf© dz df^ dt
dx du dx dv dx dw dx dz dx dt dx
ce que l'on peut énoncer en disant : la dérivée d'une fonction composée est la somme des résultats obtenus en prenant les dérivées de la fonction proposée dans laquelle on considère successivement chacune des fonctions dont elle dépend comme variant seule avec a?, toutes les autres étant traitées comme des constantes et la dérivée se réduisant alors k celle d'une fonction de fonction.
59. Le théorème précédent peut s'appliquer k la détermination déjà obtenue de la dérivée d'un produit ou d'une expression de la forme it.
Considérons d* abord le produit
Uy Vy w désignant des fonctions de la variable x. Ce produit peut être considéré comme une fonction composée de m, de ^ et de w^ et Ton a, en appliquant le théorème précédent,
dr du dv dw
dx dx dx dx,
ce qui s^accorde avec le résultat obtenu (39), De même en posant
uet ç désignant des fonctions de x^ on peut considérer y comme une fonction composée et Ton a
dr dr du dr dv , , du . dv
dx du dx dv dx dx dx
"ce qui s'accorde avec le résultat déjà obtenu (41).
Dérwées des fonctions implicites.
60. On désigne sous le nom de fonction implicite toute fonction bien définie dont l'expression analytique n'est pas donnée.
Parmi les fonctions implicites, nous considérerons seulement ici celles qui sont définies par des équations non résolues.
Considérons d'abord le cas le plus simple, celui d'une fonction y définie par une équation entre cette fonction et la variable x,
Pour déduire d'une telle équation la dérivée, ou, ce qui revient au même, la différentielle de j^, remarquons qu'en supposant y remplacé par sa valeur en x, la fonction 9 sera identiquement nulle ; sa différentielle sera donc égale à zéro, et Ton aura
on en déduit,
dt^ dy ^ dx dx'^ d^^ Ty et le problème est résolu.
Il faut bien observer que l'équation (2) est une conséquence rigoureuse de l'équalion (1). Gomme, en faisant le raisonnement d'une manière incomplète, on pourrait être conduit à penser le contraire, nous insisterons sur ce point important.
L'équation
ç ( jr, j) = o
ayant lieu identiquement lorsqu'on y a remplacé y par sa valeur en a?, l'accroissement de cette fonction est rigoureusement nul ; il semble donc que sa valeur
dans laquelle on néglige (53) les infiniment petits du second ordre, n'est pas égale à zéro, mais seulement infiniment petite du second ordre, en sorte que l'on a rigoureusement
£ étant infiniment petit du second ordre. Cette équation serait suffisante pour fournir la valeur de^» car -^ est nul à la limite; mais on peut démontrer que e est
rigoureusement nul et que l'équation (2) a lieu sans aucune erreur. Remarquons en effet que, y étant une fonction de x (peu importe qu'elle soit connue ou inconnue), dy est de la forme Krfa?; le premier membre de l'équation (2) est donc le produit de dx par un certain coefficient fonction de a;; or il faut que ce coefficient soit nul pour que le produit soit infiniment petit d'un ordre supérieur au premier, et dans ce cas il est rigoureusement égal a zéro.
