I I COS X COS X COS X

3 /,4sin»^a:^ 3ri— 4 ^i— cos>ia:^l 3 ^4cos»^a: — 3^

c'est-k-dire

COS^= 4 COS* -rX — 3cos-^x,

ce qui est exact.

62. Passons à un cas plus compliqué. Supposons que j" et z soient deux fonctions de X liées à la variable par les équations

Si ces équations étaient résolues par rapport à y et à z, en y remplaçant les varia- ^ blés par leurs valeurs en fonction de a;, elles deviendraient identiques, chacun des premiers membres aurait par conséquent une différentielle. rigoureusement égale à zéro, on a par conséquent

grf^4-^rfr+grf-' = o.

d'où l'on déduit

dx ^ dr dz

d^ d^ d^ d-it dff d-^ df d^^ d^ d'if dy d-h dy dz dz dy Tz dx dxliz dx dr dy dx

et ces équations font connaître les différentielles dy, dz, ou, ce qui revient au même, les dérivées

dy __ dz dx

d^d^ dx dz

dz ^dxïïy

di?d^ dyli

dx """ dff d^ dy dz

rf^P d^ dz dy

dx df d^ dydz^

dffd^ ^Tzl}

63. Si le nombre des équations, toujours égal à celui des fonctions inconnues, devenait plus grand que deux, la marche a suivre serait la même, et il n'y aurait rien à changer au raisonnement. Les rapports des différentielles s'obtiennent dans chaque cas par la résolution d'un système d'équations du premier degré, et l'on sait que Ton ne doit pas chercher autre chose que ces rapports, puisque l'une des diflerentielles est essentiellement arbitraire.

UVB£ PREMIER. - ÉTUIffi DES DIFFÉRENTIELLES ET DES DÉRIVÉES. SS

Si Ton a, par exemple,

ff, {x,Xf Zy a, i')=o, les dîiTérentielles dx, dy^ dz^ du, dv sont liées par les équations

eC ces équations, déterminant le rapport de deux quelconques de ces difTérentielles, permettent de calculer la dérivée de Tune des variables par rapport à une autre variable désignée» que Ton prendra pour variable principale.

64. Lorsque les fonctions implicites que Ton considère dépendent de plusieurs variables indépendantes, il n'y a rien à changer à ce qui précède. Le calcul de la dérivée de la fonction par rapport a l'une des variables, peut se faire comme si toutes les autres variables indépendantes étaient constantes et en les traitant dans les calculs comme des paramètres constants.

Supposons, par exemple, que u eiç soient deux fonctions de a? et de ^ définies par les équations

t Kr» «»«') = o-

Pour calculer les dérivées -^ et ^» on fera absolument le même calcul que si, y étant une constante, il s'agissait de deux fonctions d'une seule variable. Un second calcul fera connaître 3-- et j^»

Les dérivées -t-? t^^? se déduiront des équations ax dx ^

rfF , rfF , rfF , dx du dv

-yî- rf^ H- -7^ du -4- -^ rff = o, dx du dv

et les dérivées j- » -r se déduiront des deux suivantes : d'y dy

rfF . rfF . rfF .

T- «T-»- -r du-^ -7^ rfv = o.

Il est bien entendu que dans les équations (li), du et dv n'ont pas la même signification que dans les équations (3). Dans les premières, les différentielles sont prises par rapport à x, et dans les deux autres, elles le sont par rapport a j'. Ce qui a été dit (48) n'est pas applicable ici : la différentielle d'une fonction est indépendante de la variable par rapporta laquelle on la prend, lorsque la fonction dépend d'une seule variable et que l'on substitue a cette variable une variable nouvelle qui en dépende ; mais ici les deux variables â; etj sont indépendantes et leurs différentielles dx et dy ont un rapport entièrement indéterminé.

65. On peut procéder d'une autre manière et calculer k la fois les quatre dérivées 7~' 5"' ^' T'' *' ^^^^ P^^^ ^^'^ prendre pour inconnues les différentielles totales du et dv. Si dans les équations ( f ) on donne simultanément k a? et à y les accrois- \ sements dx et dy^ il en résultera pour ue^Xv des accroissements que Ton pourra regarder, en négligeant les infiniment petits du second ordre, comme égaux k du et dv (54), et les fonctions F et y ne variant pas, on aura, en négligeant toujours les infiniment petits du second ordre,

^F, rfF , rfF , rfF^

-7- dx H j- dy H — y— du -\ — r- dv = o,

dx dy * du • dv

d^ j do , d« , do j

-j- dx -h -r- dy -i — r^ du -f- -r- di.' =z o.

dx dy ' du dv

On peut d'ailleurs démontrer que ces équations, qui se présentent k nous comme exactes, aux infiniment petits du second ordre près, sont rigoureusement vraies. En effet, du et dv étant des différentielles, sont, par définition, l'un et l'autre de la forme M ê&c -i- N rf^, et par suite les deux premiers membres des équations (4; sont de la forme

Prfjc-f-Q(/r,

P et Q étant des fonctions de x et de j; et comme, «tr et dy sont indépendants l'un de l'autre, une pareille somme ne peut être infiniment petite d'un ordre supérieur au premier que si l'on a P = o, Q == o, et alors elle est rigoureusement nulle.

En résolvant les équations (4) par rapport k du et ta dv, on en déduira pour ces différentielles des valeurs de la forme

di^=^X'dx'^Wdx, et par conséquent (53),

— =rA — ==B — = A' — =:B' dx ' dy ^ dx ^ ^ dy

En exécutant les calculs, on trouve

d±d¥__d^d¥^ d^(I¥__df^d¥

du^__dx dv dv dx du Uy dv dv dy

dx'^ djd¥djdV' IJ'^djdY^^djdF'

di/ du du di' dv du du di/

dfd^^dFdj djdF^djd¥

di' dx du du dx di^ ^^' ^'' ^" ^X

dx ^ d (f d¥ d^ d¥ dy'^ d<^ d¥ dtf dF

dv du du dv du dv dv du

66. On peut également déduire des équations (4) rf^ et dy exprimés en fonctions de du et dv, et si Ton a

rfjc = A, dw-f-B, dv, dy = A', du H- B', dv.

on en conclura

dH-^'' rf;;-^" Tu^^^^' Tv-^^

11 fiiut bien remarquer que Ton n'a pas ici, comme (33),

dx __ 1

du^ I du \

Les accroissements dont t- exprime le rapport ne sont pas, en effet, les mêmes que ceux qui figurent dans ^- Lorsque Ton calcule la dérivée partielle -j^» m et a: va-

ri^nt, y restant constant. Dans le calcul de y? œ est considéré comme fonction de

u et de (^, en sorte que x et u varient, v^ restant constant; or pour que ^ reste constant, il faut nécessairement que y change, et par suite les variations considérées sont autres que dans le cas précédent.

Cette remarque étant importante, et Terreur dans laquelle on tomberait en l'omettant étant des plus graves, nous donnerons ici un exemple.

Soient

les relations proposées entrer,/, a, v\ on en déduit

et par conséquent

flfjr du I

on n'a donc pas

flfj: 1

5ii~ /r/tt\

67. Il existe cependant des relations simples qui, dans le cas des fonctions de

, . , 1 I- * 1 j' • ' dx dx dr dr a- - > - du dv

deux variables, lient les dérivées -;-? -n-) :/-' tt' aux dérivées inverses -7-» t-»

dtt ai' du dv . a^r cfor

V^i -jî^ • Ces relations sont dy dy

__ rfjr du dx dv du dx dv dx^

dy du dy do

"~ du dy dv dy

^ dx du dx dv du dy dv dy^

dy du dy dv

du dx dv dx

Leur démonstration est extrêmement simple; .si Ton suppose ^r ety exprimées en fonctions de u et de v^, puis a et f' remplacés, dans ces expressions, par leurs valeurs en fonctions de or et dej, on aura deux identités équivalentes a a:=£r, j=:y, et dont les seconds membres se présenteront sous forme de fonctions composées contenant u et V, qui elles-mêmes contiennent x et j. Or en prenant les dérivées de ces identités par rapport à x, puis les dérivées par rapport à j, les premiers membres

donneront pour résultat ^ = ^» ^^ ~ ' ' ^ ^ ^' 5^ ^ ^* et les seconds membres.

par Tapplication de la règle des fonctions composées, donneront précisément Jes seconds membres des formules ( i ).

On formerait aisément des relations analogues pour un nombre quelconque de fonctions, dépendant d'un nombre égal de variables.

1. Trouver ]a dérivée de arc sin x, el celle de arc tang x, sans les considérer comme des fonctions inverses el au moyen des formules

arc sin (j: -h A) — arc sin a; = arc sin [(x-^ /i)^i — x^ — jry i — (^-4-/0']. arc lang [x -h h) — arc tang x = arc lang v ^ .

I "T* fiX "J" X

2. P et Q désignant deux fonctions entières de x, telles que Ton ait

on a nécessairement

rfP dx

Vi — P» ^ ^i - JC»

n désignant un nombre entier.