MM M
dans lequel les éléments sont définis par l'équation
qui fait connaître l'un quelconque d'entre eux lorsque les nombres ^et i reçoivent successivement toutes les valeurs i , 2, 3, . . . , n.
Nous regarderons les deux théorèmes précédents comme bien connus, et nous ne nous arrêterons pas a les démontrer.
Définition du déterminant d'un système de fonctions. 71 . Si l'on considère n fonctions de n variables indépendantes
les dérivées de ces fonctions, prises par rapport aux diverses variables, sont au nombre de /?*, savoir
d(fi rfy, rfy, rfyi
^y^c, f/j;, flfjTa r/x.
rf?, rf«p, </ÇJ
'rfo, rfç, r/ç.
W*ï* I ^Jt7 2 UÛC^
dx„
Le déterminant du système de .ces n* dérivées a été nommé par Jacobi le déterminant du système des fonctions, et, en adoptant la notation proposée par quelques géomètres, nous le représenterons par
li \X\j Xi^ Xif ..., X„j
Si, par exemple, 9(^>/) et à(x,y) sont deux fonctions des variables x et y, on aura d'après cette notation
D [xy y) dx dy dy dx
72. Le déterminant d'un système de fonctions joue, dans l'étude simultanée de plusieurs fonctions contenant un nombre égal de variables, un rôle analogue à celui que joue la dérivée dans l'étude d*une fonction d'une seule variable. Le but de ce chapitre est d'indiquer cette analogie, qui se manifestera mieux encore par la suite.
La dérivéB d'une fonction est la limite du rapport de l'accroissement infiniment petit de cette fonction k l'accroissement correspondant de la variable.
Le déterminant d'un système de fonctions peut recevoir une définition analogue qui résulte du théorème suivant :
Si Ion considère n fonctions ç,, Ça» ?j> • • «^ ^n> contenant chacune n variables Xt , X2, x^j . . ,, x„, et que l'on attribue à chaque variable un accroissement infiniment petit, il en résultera, pour chaque fonction, un accroissement correspondant. Si Ion choisit arbitrairement n systèmes 'différents d'accroissements pour les variables, il en résultera pour les fonctions n systèmes d'accroissements correspondants. Le déterminant du système des fonctions est égal au rapport du déterminant du système d'accroissements des fonctions au déterminant du système correspondant d'accroissements des variables.
Soient, en effet,
0| Xi, Ut Xi, > . • , (*i Xnj UiXi, UiXif • . •, UiX^,
"« ^1, "h Xi, • • . , d„ Xny
les n systèmes d*accroissements infiniment petits attribués successivement aux n variables, x^,X29 x^, . , ^, a-,,; l'accroissement d'une fonction çi (a?,, x.^, . . . , x„] est (56) de la forme
qui représente successivement tous les accroissements considérés, quand on y
attribue aux indices * et i toutes les valeurs entières.depuis i jusqu'à n; mais d'après celle expression de rf^y,, on voit (70) que le déterminant du système
d'ffif rf'<pj, .. . , rf>„,
dffi
dxr
dx^
'■' dx^
dXi
rf-ç,, rf-(p„ ..., rf"<p„, est le produit de deux autres déterminants, savoir ceux des deux systèmes
et
U\ X\ y cl\ Xi y , , . % (l\ jr„, (/,x,, rfoj:, ,. . . , diX^,
On en conclut que le déterminant du système B, c' est-a-dire le déterminant du système des fonctions proposées, est le rapport du déterminant du système (A) au déterminant du système (C), c'est-a-dire le rapport du déterminant du système d'accroissements infiniment petits des fonctions, au déterminant du système d'accroissement correspondant des variables. Le théorème est donc démontré.
Cas où le déterminant est nul.
73. Lorsqu'une fonction d'une variable est constante, sa dérivée est nulle. Il existe pour un système de fonctions un théorème analogue.
Lorsque plusieurs fonctions ne sont pas distinctes, c est-à-dire lorsquil existe entre cites une relation nécessaire y leur déterminant est égala zéro.
Montrons d'abord l'analogie de ce théorème avec celui dont nous le rapprochons et dont l'énoncé parait très-différent.
Lorsqu'une fonction ç {x) d'une seule variable n'est pas constante, k chaque valeur (le la fonction correspond une valeur déterminée de la variable, et l'équation
peut être résolue par rapport à x. Si au contraire la fonction 9 est constante, en donnant sa valeur, on ne détermine pas a: dont cette valeur est indépendante, et l'équation ( 1 ) ne peut plus être résolue par rapport à x.
Si l'on considère maintenant deux fonctions ®, fo-,, .ra), ©^ (.r^, x^) et que Ton pose
ces deux équations peuvent être résolues par rapport à Xt et à x.^, pourvu que les fonctions (p< et 92 soient distinctes et indépendantes; mais s'il existe entre elles une relation nécessaire, l'une des équations devient une conséquence de l'autre, ou bien elles sont incompatibles, et dans l'un et l'autre cas il n'est pas possible de les résoudre par rapport a a?^ et à a^a.
L'analogie que nous avons signalée consiste,. on le voit, en ce que, dans les deux cas, les valeurs des fonctions étant supposées connues, ne déterminent pas les valeurs correspondantes des variables ; il en est évidemment de même pour n fonctions, lorsqu'il existe entre ces fonctions une relation indépendante des valeurs assignées aux n variables dont elles dépendent.
Démontrons actuellement le théorème énoncé : lorsque plusieurs fonctions ne sont pas distinctes, le déterminant du système de ces fonctions est égal à zéro.
Soient <p,, Ça, ?s» • • • ♦ ?« l^s fonctions considérées, et (3) F ((p., ^,..., ?i.) = o
une relation a laquelle elles satisfont identiquement, c'est-a-dire quelles que soient les valeurs attribuées aux variables a?,, 0:3» • •» ^« dont elles dépendent.
De l'équation (3) on déduit, pour un système d'accroissements infiniment petits quelconques de Çi, ^2» • • • » ?«>
d¥ ^ dF , d¥ .
difi acpa don '
en sorte que, si l'on considère n systèmes d'accroissements attribués aux fonctions 9o ?2. • • • » ?;i» et qu'on les dispose sur n lignes horizontales, afin de former le numérateur de la fraction qui représente (71 ) le déterminant du système de fonctions, il existera une même relation linéaire entre les n termes de chaque ligne horizontale. On sait qu'un tel déterminant est nul, le déterminant du système de fonctions, dont il est le numérateur, est donc égal à zéro. C'est ce qu'il fallait démontrer.
74. Réciproquement, si le déterminant du système de n fonctions qp,, ©0» • • • » ?«• est égal à zéro, il existe entre ces n fonctions une relation indépendante des valeurs attribuées aux variables.
ce PREMIÈRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL.
Supposons, en efTet, qu'une telle relation n'existe pas; on pourra alors attribuer à ?i » ?2» • • • f ?/i des valeurs arbitraires et indépendantes les unes des autres, et il en résultera pour x^, x^, * - .,x„ des valeurs correspondantes déterminées, Posons donc
Si nous attribuons à ces fonctions des accroissements infinim|nt petits, c/©,, rfço » • • . > d<p„, j?,, 072, . . . , ^« prendront des valeurs nouvelles, et recevront des accroissements déterminés ^tr,, dx^, . . . , dx„ qui satisferont (56) aux relations
-j^dXi-h-j—dx^-i- ... +-7-^rfx„ = rfç,,
lesquelles sont par conséquent compatibles, quels que soient d(f^, rfça, . . . , d^,i. Or cela ne peut être, puisque, par hypothèse, le déterminant du système des coefficients est égal à zéro; il y a donc contradiction à admettre que ç,, ©j? • • •» ?/? puissent recevoir des accroissements arbitraires, c'est-à-dire à regarder ces fonctions comme indépendantes.
Déterminant d'un système de fonctions de fonctions.
75. La dérivée d'une fonction de fonction F (a) par rapport à une variable x dont u dépend, est le produit de la dérivée par rapport a a^ -r- par la dérivée -^.
de u par rapport à x.
Ce théorème se généralise de la manière suivante :
Si n fonctions Çi» Ça, ...,?/i dépendent immédiatement de n variables i/,, w.^, ..., Un et que w, , .w.^, . . . , i/„ soient eUeS'-mêmes des fonctions de x^ , x^, . . . , av, ; le déterminant du système des fonctions 9, , Çj, . . . , (p„, par rapport aux variables x^.x^^ . . . , ^/i, est le produit du déterminant de ce système de fonctions par rapport à a,,!/^, ..., u„^parle déterminant des fonctions w,, m^» •••» ''«» por rapport à a;,, ^a» •••> ^«- ^^ sorte que l'on a
D(x„:r„ . . . ,^-„) '~" D(«,,Ma, . . ., w«j D(x,, X,, . . ., x„) Donnons en effet aux variables x^,x^, . . . , *r„, n systèmes d'accroissements infini-
ment petits
dt X\ «2 X di x^ ,
f^H Xi lin Xj • • • ii/i Xff f
il en n'îsullera pour u^^u^, ..., w„ des accroissements déterminés
rf, Ui di Ui ... rf, ««, d,u, d^Uj ... rf, M«,
et pour 9,, f .,, ..., y« les accroissements correspondants
dy tj>, rf, f 2 ... rf, <p« , rfa y, djifi , , , rfj y„ ,
Le déterminant de 94, Çat • • • » ?«> par rapport à a;,, o-j, . . . , .r„, est égal au rapport du déterminant du système (C) a celui du système (A).
Le déterminant de ç,, ©2, . . . jfn* par rapport à w,, w^, . . . , ««, est égal au rapport du déterminant du système (C) à celui du système (B).
Le déterminant de w, , a^, . . . , w^,, par rapport à x^ , jTa, . . . , a;,,, est égal enfin au rapport du déterminant du système (B) à celui du système (A). Et il est évident, d'après cela, que le premier de ces trois déterminants est égal au produit des deux autres. Ce qui démontre la proposition énoncée.
Déterminant d'un système de Jonctions inverses,
76. La dérivée par rapport a x d'une fonction 9 (x) est l'inverse (32) de la dérivée de x par rapport a ç.
Ce théorème se généralise de la manière suivante :
Si <po ?2» •••»?« sont fonctions de x^^x^^ -..t^/i» réciproquement x^,x.,, ...yX„
peuvent être considérés comme des fonctions fife 94, 92» •••» f/i- ^ déterminant des
fonctions 91, Ça, . . . , 9«, par rapport à x^, x^-^ . . . , ic„, est égala C unité divisée par
le déterminant des fonctions ic^ , ^r^, . . . , Xny par rapport aux variables 9^ ?2> • • • > 9/i-
Soient, en effet,
^1 Xy rf, Xi ... rf, .r, ,
diXy diXi ... diXny
dnXx d„Xi . . dnXn^
(iH PREMIÈRE PARTIE. ^ CALCUL DIFFÉRENTIEL.
d^ ?, dx 9î ... fi?, 7„ ,
rf|l<Pl Û?H<Ï>2 ■ . </«<?«,
7i systèmes d'accroissements des variables jj^j^Pj, ..., x„, et les accroissements correspondants de Ço ©2, . . ., 9„. Le déterminant de ©,, çi^, . . . , ?«, par rapport aux variables ic^ , o^j, . . . , a:,,, est ( 71 ) le rapport du déterminant du système ( B) à celui du système (A); et le déterminant de x^^ x^, ..., ^,i, par rapport à ç?,, 92» •••» p« considérées comme variables, est le rapport du déterminant du système (A) à celui du système (B), ce qui rend la proposition évidente.
Exemple. — Si l'on a deux équations
et que l'on en déduise on aura la relation
jc = 4/, (m, c),
dffx d<f2 d^x df2 I
dx dy dy dx dx dy dx dy du dv dv 3â
On peut vérifier directement cette formule au moyen des règles données (64) pour la diflerentiation des fonctions implicites.
Pour calculer, en effet, -^t -^ 1 ^j ^, au moyen des équations (i), prenons successivement les dérivées de ces équations par rapport à w, en traitant v comme constant, puis par rapport à^^, en traitant u comme constant. Nous aurons
d^, dx d^x dx du dy
dy dii-
dfi dx df, dx du dy
dy
d(fi dx ^ d<fx dx dv dy
dr
dv~
</<P2 dx df-i dx dv dy
dy
OD en déduit
dx dy
dx
dv ""
dr
dy
du dyx d^2 d(^x dt^t^ dx dy dy dx
dy dx
dif, df, df, dif2 dx dy dy dx
. d<f, dx
du difi rffi d<f,d^j' dx dy dy dx
dx dy dy dx
et la substitution de ces valeurs dans la formule (3) la rend identique. Réduction du déterminant à un monôme.
77. Le théorème au moyen duquel on a transformé (71) la définition du déterminant, laisse arbitraires les n systèmes d'accroissements infiniment petits attribués aux variables aj^ j?», . , ., Xn\ il permet, par conséquent, de donner au déterminant plusieurs formes distinctes : nous nous bornerons a indiquer la plus remarquable, qui le réduit à un seul terme.
Parmi les un quantités, a?,, x^^ . . •,^«, /0/2» •••»//!» on peut en choisir n k volonté, les autres sont alors déterminées. Si donc on suppose que n — i d'entre elles restent invariables, toutes les autres devront changer a la fois et les rapports de leurs accroissements infiniment petits seront déterminés. Cela posé, nous supposerons que les n systèmes d'accroissements simultanés attribués aux variables soient compris dans le tableau suivant :
diXifdiX2y,.,y...,dtX^, dxfx, o, o, ...» o,
o«, diXi, . . . , . . . , diX„, dïfx , rf-i/i, o, . . . , o,
(A) o, o, d^x^, ..., d^Xn, d^fi, dsfty ^3/3, .., o,
o, o, . . ., o, d^x„y d„fx,dnf2, dnfi, .., d„f„,
La première ligne de ce tableau indique que les premiers accroissements infiniment petits attribués à a?,, ^r», ...,a7,„ sont tels, que /a, /a, ..../i ne changent pas, ce qui, comme on Ta dit, détermine complètement leurs rapports. La seconde ligne montre que les seconds accroissements adoptés, savoir d^x^^ d^x^y . . . , ^2^/1» sont tels, que/3,/4, ...,/, ne changent pas, et Ton suppose, de plus, d^x^ =0. Cela détermine encore les rapports de tous les accroissements, puisque, comme. dans le cas précédent, n — 1 des quantités considérées sont supposées invariables. Enfin la dernière ligne montre que dans le /i'*'"'' système d'accroissements, x^y a?.^, . . . , ar„, restent invariables.
Après avoir profité ainsi de la liberté laissée par l'énoncé dans le choix des accroissements simultanés, on aura (71) l'expression du déterminant du système, en divisant le déterminant des quantités contenues dans le carré de droite par celui des quantités contenues dans le carré de gauche, mais, à cause des termes nuls, chacun de ces déterminants se réduit évidemment au produit des termes placés dans la diagonale, et leur rapport est
^^^ dxfy d,f^ d,f,
^ ' dxXx d^Xi diX^
, . dnXn \dixj \d2xj \d^x„)
l\ est donc, comme nous l'avions annoncé, réduit a un seul terme. Pour comprendre la signification des rapports (;t^)» ( j""^)' "•' (zv )' ^''^^^^^^ reporter au tableau (A).
On voit par ce tableau que -4^ est le rapport de l'accroissement de /, à celui
de ^,, lorsque /2,/j, ... ,/, sontsupposés invariables; il fautdonc, pour le calculer, exprimer /^ en fonction des variables a?4, /a,/,, ..,/,, et prendre la dérivée du
résultat par rapport àa?< : de même ^-^ est le rapport de l'accroissement de/, à
celui de .Tj, quand a?,,/,,/4, ... ,/„ sont invariables; il faut donc, pour le calculer, exprim<îr/a en fonction des variables a;,, a;,, /s, . . . ,/,, et prendre la dérivée du résultat par rapport à. r^. En continuant ainsi» on verra que pour calculer les facteurs du produit (i), il faut mettre les équations qui lient les ^n variables a , , l'o, . . . , .r„, /< , /a, . . . , /„ sous la forme suivante :
J2^= r i[Xif X>f J3f . . . , ...,/«),
J.>^=^ '^iiXi , X2, Xi fji , . . . >./»]>
f„ = F„{x,,Xi, ... x„]j
et le produit des dérivées ^» -7^7 •••> h^» est alors le déterminant cherché. * ctXi dxi ax„
Comme application, cherchons le déterminant du système suivant :
x = p eus 0, ^•=psin ôsinvî^, :; = ûsinOcos ^j/,
,c, 6 et à étant les variables indépendantes.
UVRE PREftlER. - ÉTUDE DES DIFFÉRENTIELLES ET DES DÉRIVÉES. 71
On déduit de ces équations,
z =.\içi^ — x"^ — J^
X = p cos ô,
j = p sin ô sin \[*.
Sous cette forme, l'expression de z ne contient que Tune des variables p, 5,\i;, celle de x en contient deux, et celle de y enfin les contient toutes trois. Le déterminant est donc, en vertu du théorème précédent,
dz dx dr ù . ^x . « , , • a
EXERCICES
1. La condition nécessaire et suffisante pour que deux fonctions d'un nombre quelconque de variables dépendent Tune de Tautre, est que. leurs dérivées partielles, par rapport aux mêmes variables, soient proportionnelles.
2. La condition nécessaire et sufQsante pour que n fonctions de n-t-/? variables aient entre elles une relation indépendante de ces variables, est que les déterminarus des n fonctions, par rapport à n quelconques des variables, soient égaux à zéro.
3. Si deux angles m et v sont liés à deux autres angles 0 et >]/, et à trois constantes m, n,p, par les équations
cosi/ sintfcosi^ __ sin m sin i>
m cos 0 n sin ô cos ^ /? sin 9 sin ^
le déterminant des fonctions u et v, par rapport à 9 et >p, est
mnp sin 9
sin u ( m» cos* ô -h n' sin' 0 cos' -^-^-p^ sin' 9 sin' >p ) ^
&•. Soient z^,, i/, , . . . , i/„, n fonctions distinctes de n variables j:, , ^3, . • . , ^n. Si l'on établit entre ces fonctions une relation
F, (m„ m,, . . .,tt«) =0,
on pourra, en vertu de celte relation, exprimer Tune des variables, x^ par exemple, en
fonction des /i— i autres, et il sera permis de regarder «,, «j,. . ,««,, comme fonctions de
X,, jt,, . . . yXn~.x ; on aura alors
D (/!„ U^y, ..,U^i) __ rftf, D (tf., Ifa,. . . ,11,)
f la dérivée -y—' étant prise en ayant égard à ce que w,, «,,. , . ,«, sonl des fonctions de x„.
5. Les données étant les mêmes que dans la question précédente, si l'on se donne une seconde relation
et que l'on regarde, par suite, i/i, Mj, . . . , w«„ comme fonctions dex,, x,, . . . ,x„2, on aura
D(F.,FO D(£/.,K,,...,«,.,)^ D(F., FQ D(^/., u, u,)
D (or^, ^,,) *D (x,, JT,,. . .,a:„,) D (w„, //„,) 1) (a-,, a;.. » • • .,^«)
