DÉTERMINANT DTN SYSTÈME DE FONCTIONS

Définition des déterminants.

68. Lorsqu*on résout un système d'équations du premier degré en nombre égal à celui des inconnues, les formules qui expriment les diverses inconnues ont un dénominateur commun que Ton nomme le détemùnant du système des coefficients. D'après cette définition, toutes les fois que le système de n^ quantités est disposé en groupes de n lignes contenant chacune n de ces quantités, il y a lieu de considérer le déterminant du système. On représente habituellement un déterminant en écrivant la lettre D k la gauche du carré où sont inscrits les coefficients qui servent à le former; on a, par exemple,

^aV--^ba'

fl, 6, c a\ b\ c'

ab' c" — a d b" -^bc'a''---b a' c" + c a' b" — c a" b' .

La théorie des déterminants appartient a l'analyse algébrique. Nous nous bornerons à rappeler l'énoncé des théorèmes fondamentaux qui seront invoqués dans ce chapitre.

69. Pour quun déterminant soit égal à zéro y il faut et il suffit quil existe une même relation linéaire entre tous les termes d'une même ligne j soit verticale, soit horizontale. Ainsi, par exemple, pour que l'on ait

a", b\ c% rf" a', *', c', d'

il faut et il suffit qu'il existe quatre facteurs, X,, Xo, )«8» '^\* tels que l'on ait

>.* a 4- >ï «' 4- ^3 fl" H- >4 a'" =^ o, lib-^\,b' -}- \, b" + >4 b" = o, /, c H- >2 c' -h >3 c" -H l'i c'" = o, ^. d+ >, cf' + ).8 d" 4- >4 d'' = o.

70. I^ produit de deux déterminants formés par un même nombre de lettres peut être mis sous forme de déterminant.

Si Ton considère les deux déterminants

^ll

al

fti,..

leur produit est égal au déterminant

e if ^' 2 j • • • > ^11 e i9 Cj , ..., c ^