rf. = o
xdx -hydy
-H 2rf«=0.
entin on a
(5) x\ -hy] -h z\=x^ -f-/* -t- zK
En différentiant les équations (i) et (5) et leur adjoignant l'équation (3) on a
— [xdxx-^ydy^ -j- zdzi)z=ixidx -^Xidy-}- Ztdz,
(6) o = ^£dx^^dr+^dz,
Xidxi -\- jridy^-{- Zidz = xdx -{- ydy -f- zdz.
Mais les équations (2) (3) et (4) étant compatibles, montrent que le r/e/ermman/ des coefficients de dx^ dy^ dz, dans les seconds membres des équations (6), est égal à zéro, et, par conséquent, il existe trois facteurs, i, /i, m, tels, que les seconds membres multipliés par ces facteurs jdonnent une somme identiquement nulle; il en est donc de même pour les premiers, et Ton a
(7) [mxi —.x) dxi + (/nj, ^ y) dy^ H- (mz, — z)dzi = o.
m étant défini par les équations
Xi -f- mx H- /i -— = o, dx
dff
d9 2i + /nz -f- /i -7-^ =0,
dont Tune est la conséquence des deux autres.
On verra, comme dans les problèmes précédents, que, d'après l'équation (7), la normale à la surface lieu des points x^,y^ , z, fait, avec les axes, des angles dont les cosinus sont proportionnels à mx^ — a?, my, — y, /wjs, — z. Le problème proposé est donc résolu. Mais ce résultat peut être interprété, comme il suit, d'une manière élégante.
Considérons le triangle OMK formé parla droite OM, la normale MN et la ligne OP.
En écrivant que la somme des projections des côtés de ce triangle sur les axes des
iOi PREMIÈRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL,
coordonnées est nulle, on a
OKz, . "^"rf^ 20M
y/TT+rï+li ^ //rf«\' . /dffY . /rff\' v'^
■ vW^TiîMS)'
et, par conséquent, en remarquant que xf +^* +2* = x* -hy* + z*, on satisfait aux équations (8) en prenant
„ OM KM ^*î-«-r;+-»î
Les cosinus des angles que la normale en P forme avec les axes sont donc proportionnels à
or.OM-i-^OK, r«0M4-j0K, z.OM-l-^OK.
Or en portant sur OM une longueur OK' = OK, et, sur OP prolongé, une longueur OM' = OM, on voit que ces trois expressions sont proportionnelles aux projections sur les axes de la ligne K'M' qui joint les points ainsi obtenus; cette ligne K'M' est donc parallèle à la normale cherchée, or il est clair, par la géométrie élémentaire, qu'elle est dans le plan MOP et perpendiculaire à MK. C'est le résultat que nous avions trouvé (14).
102. Appliquons enfin la théorie des plans tangents à la détermination de la loi suivant laquelle se déplace le plan tangent a Une surface réglée, aux différents points d'une même génératrice rectiligne.
Soient
les équations d'une génératrice qui, par la variation du paramètre a, occupe dans l'espace une suite de positions dont l'ensemble forme la surface considérée. Pour simplifier, sans changer en rien la loi que nous cherchons, supposons que, pour une valeur de a, a= o par exemple, la génératrice coïncide avec l'axe des r; il
faut et il suffit pour cela que Ton ait
?(o)=0, 4;(o) = 0, /(o)=0, F(o)=rO.
Cherchons comment varient les plans qui louchent la surface aux différents points de l'axe des z. Tous ces plans devant évidemment contenir l'axe des z, la coordonnée parallèle à cet axe ne figurera pas dans leur équation^ et l'on ne peut pas faire usage de la formule
car les coefficients T-et-j- sont nécessairement infinis. Il convient donc de chandx dy
ger les coordonnées les unes dans les autres, ce qui est permis, car rien ne les distingue essentiellement, et nous adopterons la formule
L'équation ne devant pas renfermer la lettre v, coordonnée parallèle k l'axe de z, m\ doit avoir ^ = o. Mais le calcul même va d'ailleurs nous l'apprendre.
Pour calculer^» difPérentions les équations (i), en y traitante comme constant ; il vient
rfa: = [Z(p'(a)-hf (a)]rfa, dfj=[z/(«)H-F(«)]rf«,
flfj:""2f («)4-f (a)'
OÙ il faut supposer a = o.
Pour calculer -^y et prouver qu'il est nul, différentions les deux équations ( i ), * en y considérant a? comme constante; nous aurons
o = [z (p' (a) -h +' (a)] rfa + (j) (a) rfz, rfj=[^/'(«)H-F(«)]rfa4-/(a)dz,
et de là, en éliminant doLy
ce qui, pour a = o, devient nul, à cause des hypothèses 9 (o) = o,/(o) = o.
L'équation du plan tangent cherché est alors
•^ ^ ' 2 ep' (O) -h ^^' (o)
en posant
f[o]=a, F(o)=ft,
on voit que l'angle ô, formé par ce plan avec le plan des ZX, est donné par la formule
tang ô =
mz-\-n
Si Ton substitue, au plan des ZX, un nouveau plan formant avec lui l'angle 9, l'inclinaison $' sur ce nouveau plan sera donnée par la formule
«, * /« \ («-3-h6)— lang(p(m2-h/i)
langô' = tang 0 — 9) = ) k , .x -^
^ e V T/ (mz-h/i) H-(aj3-+-6)lang«p
et si l'angle f est choisi de telle sorte que
m 4- û tang y = o.
on aura
laiifir 0' = (a~mtang(p)z ^ (ft-ntangy) (/ï-f-ftlangf) (/n-ftung«p)'
Ainsi la tangente de l'angle formé par le plan tangent, avec un plan fixe conduit par la génératrice, est exprimée par une fonction de la forme
et si l'on transporte l'origine des coordonnées au point de l'axe des z dont l'ordonnée actuelle est
on devra remplacer 2? par 2 H- z\ et l'expression de tang 6' deviendra simplement
Nous voyons donc que la tangente de l'angle formé par le plan tangent avec un plan fixe, est proportionnelle à la distance du point de contacta un point convenablement choisi sur la génératrice.
103. Dans certains cas, la constante désignée par G est nulle et le même plan est tangent en tous les points de la génératrice.
. Cherchons la condition nécessaire pour qu'il en soit ainsi, non*seulement pour une génératrice isolée, mais pour toutes les génératrices d'une surface.
Reprenons les équations
qui représentent une génératrice quelconque. Pour que le plan tangent soit le même tout le long de cette génératrice , il faut que les deux coefficients différentiels
^ et T- soient fonctions de la seule variable a et conservent la même valeur tant
que Cf. ne change pas.
dz Calculons, par exemple, ^z' ®t, pour cela, difîérentions les deux équations ( i )
en y considérant y comme constant. Nous aurons
dx=:dZf^ [oi]-\-[Zfi' (a)-hip'(a)]rfa, 0 = rfz/(«)-f.[z/(«)-^F(«)]rfa,
d'où Ton déduit, en éliminant du,
dz ' I
Pour que cette fonction dépende de a seulement, et soit indépendante de z, on doit avoir
dz en écrivant que -i- est indépendant de z, on retrouverait la même condition, qui
exprime par conséquent la propriété en question.
Cette condition s'interprète géométriquement d'une manière remarquable: elle exprime que ta génératrice dont les équations sont
coupe la génératrice infiniment voisine représentée par
X=iZ^ (a) + ^f' (a) rfa -h 1^ (a) ■«h+' (a) rfa,
yz=zf[aL] -hz/(a)rfa-HF(a) +F'(a) Ja.
Nous n'insistons pas ici sur les conséquences de ce résultat et sur la manière dont il doit être entendu, notre but n'étant en ce moment que de donner une application de la théorie des plans tangents à une classe importante de surfaces.
Courbes et surfaces enveloppes.
104. Lorsque l'équation d'une courbe plane contient un paramètre arbitraire, la courbe peut prendre, par suite de la variation de ce paramètre, une infinité de formes et de positions différentes. On nomme courbe enveloppe de cette courbe mobile, une ligne fixe à laquelle elle reste tangente dans toutes ses positions. La courbe mobile à laquelle l'enveloppe est constamment tangente, reçoit alors le nom de courbe enveloppée.
Il est facile de voir géométriquement que la courbe enveloppe est le lieu des points d'intersection de chaque courbe mobile avec la courbe infiniment voisine.
Si l'on considère, en effet, la série des courbes enveloppées obtenues en attribuant successivement au paramètre variable de très-petits accroissements, lespoints d'intersection de chaque courbe avec la courbe voisine formeront les sommets d'un polygone curviligne dont chaque côté sera un petit arc appartenant à l'une des courbes. La limite de ce polygone touche évidemment toutes les courbes proposées et passe par le point d'intersection de chacune d'elles avec la courbe infiniment voisine.
D'après cela, pour trouver l'équation de la courbe enveloppe, soit
l'équation de la courbe mobile enveloppée, dans une de ses positions, l'équation de la même courbe, dans la position infiniment voisine, est
(2) <p(^, j,a-hrfa)=:o,
et ppur avoir les coordonnées d'un point de l'enveloppe, il faut résoudre les équations (i) et (2). On peut évidemment substituer à l'une d'elles, l'équation obtenue, en les retranchant l'une de l'autre et divisant la différence par rfa, c'est-à-dire
^^^ rfô -'''
et l'équation du lieu des points de contact ainsi obtenus, c'est-à-dire la courbe enveloppe cherchée, s'obtiendra en éliminant a entre les équations (i) et (3).
Par conséquent : l'équation de l'enveloppe des courbes représentées par l'équation (p (a?,j,a)=o s'obtient en éliminant la constante a entre l'équation et sa dérivée par rapport à la constante.
105. On peut démontrer analytiquement que l'équation obtenue en éliminant a entre
^^^ Ta -'''
représente une courbe tangente à chacune des enveloppées proposées.
Supposons» en effet, que dans l'équation (i) on remplace a par sa valeur déduite de (a); l'élimination sera faite, et Ton obtiendra une équation de la forme
A désignant une fonction de a? et dey. Or je dis qu'en chaque point de la courbe représentée par cette équation (3), la tangente est la même que celle de la courbe
enveloppée qui y passe. Le coefficient angulaire -p est donné, en effet, pour la
courbe (3), par l'équation
rfjp d^dr d^ldk dkdr\^ dx dy dx dk\dx dy* dxj '^ '
or pour la courbe représentée par l'équation (i) dans laquelle on attribue à a la valeur numérique que prend A au point considéré, le coefficient angulaire est fourni par l'équation
d (f df dy^
dx dy dx '
qui s'accorde avec la précédente, a cause de l'équation -y^ = o, qui est satisfaite en tous les points de la courbe enveloppe.
106. Lorsque l'équation d'une surface contient un paramètre arbitraire, cette surface peut prendre, par suite de la variation de ce paramètre, une infinité de formes et de positions différentes. Le lieu des intersections de chaque surface avec la surface infiniment voisine, touche, suivant une courbe, chacune des surfaces considérées et se nomme la surface emeloppe de celles-ci, qui reçoivent alors le nom de surfaces enveloppées.
Si l'on attribue, en effet, au paramètre arbitraire une série d'accroissements successifs extrêmement petits, on obtiendra une série de surfaces^ dont chacune coupera la précédente, et, sur chaque surface, on aura deux courbes voisines provenant de ses intersections avec la surface qui la précède et avec celle qui la suit; entre ces deux
courbes est comprise une zone, et l'ensemble de ces zones forme à la limite une surface lieu des intersections successives des surfaces proposées et qui les touche toutes suivant une courbe, puisqu'elle est la limite d'une réunion de zones respectivement empruntées à chacune d'elles.
107. La courbe d'intersection de deux surfaces infiniment voisines correspondant aux valeurs a et a H- ^ du paramètre a, est représentée par les deux équations
^(jc,r, if, a-f-rfa) = o, que l'on peut remplacer, absolument comme (104), par
'^'^ da ~
On peut démontrer analytiquement que la surface dont l'équation résulte de l'élimination de a entre les équations (i) (2), est tangente à toutes les surfaces proposées. Supposons, en effet, que dans l'équation ( 1 ) on remplace a par sa valeur déduite de (a). L'élimination sera faite et l'on obtiendra une équation de la forme (3) <p(j:,7, z,A)=o,
A désignant une fonction de a?, y, z. Or je dis qu'en chaque point, cette surface a même plan tangent que la surface enveloppée qui y passe. Les deux
coefficients -t-^^-t- de l'équation du plan tangent sont donnés en effet pour la
surface (3) par les équations
rf(p dfdz df /d\ dkdz\ __ dx^dldi^dli\di'^~dzTx) ~"°'
d^ d(fdz df /rfA dk dz\ d^'^Tzd^'^'dkXdx'^ dz dx)"'''
et ceux du plan tangent à celles des surfaces enveloppées pour laquelle la constante est égale à la valeur numérique que prend  au point considéré, le sont par les équations
dfdtfdz
dx dz dx '
rf^ d(f dz
dy dz dy
or ces équations rentrent dans les précédentes à cause de la condition ^=10,
UVRE PREMIER. - ÉTUDE DES DIFFÉRENTIELLES ET DES DÉRIVÉES. Hl
qui est satisfaite en tous les points de la surface enveloppe, et par conséquent les deux plans tangents se confondent.
108. On peut encore chercher l'enveloppe des surfaces représentées par l'équation
F(:r, j, z, tf,A)=o,
a et 6 désignant deux constantes arbitraires. Il faut, pour obtenir Téquation d'une telle enveloppe, éliminer à et h entre les trois équations
, , rfF rfF
La surface représentée par l'équation résultante touche toutes les surfaces proposées, chacune en un seul point, ce qui distingue ce cas du précédent, dans lequel chaque enveloppée avait, avec l'enveloppe, une courbe de contact. Il est clair, en effet, que pour des valeurs données des constantes a et 6, les équations ( i j et ( 2 ) n'ont qu'un nombre limité de solutions, et les points représentés par ces solutions sont ceux où la surface qui correspond aux valeurs choisies de a et de 6 est touchée par l'enveloppe. Il est facile de faire voir qu'en chacun de ces points les deux surfaces ont même plan tangent.
L'équation de la première est, en effet,
et celle de la seconde en diffère, parce que aeih sont remplacés par deux fonctions, A et B de x, j, z, qui sont les valeurs de a et 6 déduites des équations (2). Pour calculer les coefficients de l'équation du plan tangent à la surface ( i ), il faut faire usage des équations
dx dz dx '
rfF dFdz__ dy dz dy '
auxquelles, pour calculer ceux du plan tangent à la surface représentée par l'équation
il faut substituer les suivantes :
d¥ rfFrfz rfF/rfA dkdz\ dF/dB dBd^\^
dx dz dx rfA \dx dz dx) rfB \dx dz dx) ~ '
d¥ dFdz rfF/rfA dAdz\ dF/dB dBdz\^
dy dz djr dx \ dy dz dy) rfB \ dr dz dy) '
mais les fonctions A et B sont telles, que, pour chaque point de la surface enveloppe, on a TT = ^» ^ = ^» ^t, par conséquent, les valeurs de ^, -j- déduites des équations ( 1 ) ne différent pas de celles que fournissent les équations (4).
Application à quelques exemples.
